Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки
Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Система натуральних чисел. Принцип математичної індукції. Теореми математичної індукції

Реферат Система натуральних чисел. Принцип математичної індукції. Теореми математичної індукції

Категория: Математика

п.1. Аксіоматична система натуральних чисел.

Визначення. Системою натуральних чисел (системою Пеано) називається алгебра, де - бінарні операції, - унарний операція (Функція В«проходженняВ»), - виділений елемент в множині, для якої виконані наступні аксіоми:

Для, (елемент називається наступним за).

Для,,.

,.

Для,.

,.

Для,.

Аксіома індукції: Нехай. Якщо безліч задовольняє умовам:

а);

б) для,;

то.

Система аксіом Пеано володіє тим властивістю, що ні одна з аксіом системи не є наслідком інших аксіом.

Із системи аксіом Пеано можна вивести всі відомі нам властивості натуральних чисел.

п.2. Теореми математичної індукції.

Теорема 1. (Принцип повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істина В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Доказ. Позначимо через множину всіх тих, для яких істина. Перевіримо, що задовольняє умовам аксіоми індукції.

Т.к. - Істина, то.

Якщо, то - істина і по другій умові теореми індукції - істина. Тому.

Безліч задовольняє умовам аксіоми індукції. Тому.

Позначення. Безліч цілих чисел складається з натуральних чисел, нуля і чисел протилежних натуральним.

Для позначимо.

Теорема 2. (Узагальнення принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, де, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істина В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Теорема 3. (Сильна форма принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Теорема 4. (Узагальнення сильної форми принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, де, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Числа Фібоначчі

Визначення. Числа Фібоначчі, для, визначаються рекуррентно

(1),;

для всіх.

З визначення чисел Фібоначчі випливає, що

,,,,,,,,,,.

Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне

(3),.

З (1) та (2) випливає, що індукційне припущення, при доказі формули Біне, повинно припускати справедливість (3) для і, і значить, початкові умови повинні вимагати виконання (3) для і. Тому доказ формули Біне може проводитися за наступною теоремою математичної індукції.

Теорема 5. Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істини.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Проведемо доказ формули Біне по теоремі 5.

Для і рівність (3) приймає вигляд

,.

Очевидно, що ці рівності вірні.

Припустимо, що рівність (3) істинно для чисел і. Тоді з (2) випливає, що

.

Після простих перетворень правій частині одержимо, що

За індукції формула Біне доведена.

Теорема 6. Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

п.3. Основна властивість асоціативних операцій.

Теорема. Якщо бінарна операція на безлічі асоціативна, то при будь розстановці дужок, що задають порядок виконання операцій у творі значення творів будуть однаковими, тобто значення твору не залежить від способу розстановки дужок.

Доказ. Проводиться індукцією по. Перевіримо затвердження теореми для і .

Для - очевидно, так як порядок виконання операцій единственен.

Для твір може бути обчислено двома способами: або. В силу асоціативності - ці твори рівні.

Припустимо, що теорема доведена для всіх чисел, де.

Доведемо теорему для числа. При будь розстановці дужок в творі, такий твір є твір двох дужок (1), де. Всередині кожної дужки розставлено свої дужки. Так як в кожній дужці множників, то по індукційному припущенням значення твору в дужках не залежить від того, як у них розставлені дужки. Тому твір (1) можна записати у вигляді, застосовуючи закон асоціативності і індукцірованія до множників. Отримаємо, що твір (1) одно і так далі продовжуючи, отримаємо, тому твір (1) не залежить від способу розстановки дужок.

Список літератури

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичне посібник. 2002

В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.

Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000

Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000

Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000

Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/

Групи. Приклади груп. Найпростіші властивості груп. Гомоморфізму і ізоморфізми груп. Підгрупи

Дано визначення групи, абелевих, нескінченною, адитивної, мультиплікативної і комутативної груп, гомоморфізм та ізоморфізм груп, наведені приклади груп і їх найпростіші властивості з доказами.

п.1. Поняття групи.

Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарний операція, називається групою, якщо виконані 3 аксіоми:

- асоціативно, тобто.

Аксіома існування правого нейтрального елемента:

Аксіома існування правого зворотного елемента:, - правий зворотний елемент до.

Визначення. Група називається комутативною (Абелевих), якщо операція комутативна, тобто.

Визначення. Порядком групи називається число елементів в множині, якщо - кінцеве безліч. Якщо - нескінченна безліч, то група називається нескінченною.

Адитивна форма запису групи.

Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарна операція, називається адитивної групою, якщо виконані аксіоми:

операція асоціативна, тобто

існування правого нейтрального елемента, тобто

існування правого протилежного елементу, то є

Визначення. Група називається абелева, якщо операція - комутативна операція, тобто.

Мультиплікативна форма записи групи.

Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарна, називається мультиплікативної групою, якщо виконуються наступні аксіоми:

Операція множення асоціативна, тобто.

Аксіома існування правого одиничного елемента:.

Аксіома існування правого зворотного елемента:.

Визначення. Група називається комутативною, якщо операція - коммутативна, тобто.

п.2. Приклади груп.

Адитивні групи.

1) Розглянемо безліч натуральних чисел і операції. - Бінарна операція на безлічі (сума двох натуральних чисел - натуральне число), - не є унарний операцією на множині, - Не є алгеброю не група.

2). - Бінарна операція на множині, - унарний операція на безлічі, є алгеброю. Перевіримо аксіоми адитивної групи:

- виконується за властивостями цілих чисел.

- виконується за властивостями цілих чисел.

- виконується за властивостями цілих чисел.

Значить, є групою, абелева група, так як нескінченна група називається адитивною групою цілих чисел.

3). - Бінарна операція, - унарна операція, є алгеброю.

- виконується за властивостями дійсних чисел.

виконується за властивостями дійсних чисел.

.

Значить є групою, абелева група, , Нескінченна група називається адитивною групою дійсних чисел.

4). не є алгеброю не є групою.

Мультиплікативні групи.

1). -Бінарна операція н...


Страница 1 из 2Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Замовлення реферату
Товары
загрузка...
Наверх Зворотнiй зв'язок