Теми рефератів
> Авіація та космонавтика > Банківська справа > Безпека життєдіяльності > Біографії > Біологія > Біологія і хімія > Біржова справа > Ботаніка та сільське гос-во > Бухгалтерський облік і аудит > Військова кафедра > Географія
> Геодезія > Геологія > Держава та право > Журналістика > Видавнича справа та поліграфія > Іноземна мова > Інформатика > Інформатика, програмування > Історія > Історія техніки
> Комунікації і зв'язок > Краєзнавство та етнографія > Короткий зміст творів > Кулінарія > Культура та мистецтво > Культурологія > Зарубіжна література > Російська мова > Маркетинг > Математика > Медицина, здоров'я > Медичні науки > Міжнародні відносини > Менеджмент > Москвоведение > Музика > Податки, оподаткування > Наука і техніка > Решта реферати > Педагогіка > Політологія > Право > Право, юриспруденція > Промисловість, виробництво > Психологія > Педагогіка > Радіоелектроніка > Реклама > Релігія і міфологія > Сексологія > Соціологія > Будівництво > Митна система > Технологія > Транспорт > Фізика > Фізкультура і спорт > Філософія > Фінансові науки > Хімія > Екологія > Економіка > Економіко-математичне моделювання > Етика > Юриспруденція > Мовознавство > Мовознавство, філологія > Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Система натуральних чисел. Принцип математичної індукції. Теореми математичної індукції

Реферат Система натуральних чисел. Принцип математичної індукції. Теореми математичної індукції

п.1. Аксіоматична система натуральних чисел.

Визначення. Системою натуральних чисел (системою Пеано) називається алгебра, де - бінарні операції, - унарний операція (Функція В«проходженняВ»), - виділений елемент в множині, для якої виконані наступні аксіоми:

Для, (елемент називається наступним за).

Для,,.

,.

Для,.

,.

Для,.

Аксіома індукції: Нехай. Якщо безліч задовольняє умовам:

а);

б) для,;

то.

Система аксіом Пеано володіє тим властивістю, що ні одна з аксіом системи не є наслідком інших аксіом.

Із системи аксіом Пеано можна вивести всі відомі нам властивості натуральних чисел.

п.2. Теореми математичної індукції.

Теорема 1. (Принцип повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істина В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Доказ. Позначимо через множину всіх тих, для яких істина. Перевіримо, що задовольняє умовам аксіоми індукції.

Т.к. - Істина, то.

Якщо, то - істина і по другій умові теореми індукції - істина. Тому.

Безліч задовольняє умовам аксіоми індукції. Тому.

Позначення. Безліч цілих чисел складається з натуральних чисел, нуля і чисел протилежних натуральним.

Для позначимо.

Теорема 2. (Узагальнення принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, де, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істина В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Теорема 3. (Сильна форма принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Теорема 4. (Узагальнення сильної форми принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на, де, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Числа Фібоначчі

Визначення. Числа Фібоначчі, для, визначаються рекуррентно

(1),;

для всіх.

З визначення чисел Фібоначчі випливає, що

,,,,,,,,,,.

Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне

(3),.

З (1) та (2) випливає, що індукційне припущення, при доказі формули Біне, повинно припускати справедливість (3) для і, і значить, початкові умови повинні вимагати виконання (3) для і. Тому доказ формули Біне може проводитися за наступною теоремою математичної індукції.

Теорема 5. Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істини.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

Проведемо доказ формули Біне по теоремі 5.

Для і рівність (3) приймає вигляд

,.

Очевидно, що ці рівності вірні.

Припустимо, що рівність (3) істинно для чисел і. Тоді з (2) випливає, що

.

Після простих перетворень правій частині одержимо, що

За індукції формула Біне доведена.

Теорема 6. Нехай - одномісний предикат на, який задовольняє умовам:

- істина.

(- істини В® - істина).

Тоді предикат тотожно істинна на.

п.3. Основна властивість асоціативних операцій.

Теорема. Якщо бінарна операція на безлічі асоціативна, то при будь розстановці дужок, що задають порядок виконання операцій у творі значення творів будуть однаковими, тобто значення твору не залежить від способу розстановки дужок.

Доказ. Проводиться індукцією по. Перевіримо затвердження теореми для і .

Для - очевидно, так як порядок виконання операцій единственен.

Для твір може бути обчислено двома способами: або. В силу асоціативності - ці твори рівні.

Припустимо, що теорема доведена для всіх чисел, де.

Доведемо теорему для числа. При будь розстановці дужок в творі, такий твір є твір двох дужок (1), де. Всередині кожної дужки розставлено свої дужки. Так як в кожній дужці множників, то по індукційному припущенням значення твору в дужках не залежить від того, як у них розставлені дужки. Тому твір (1) можна записати у вигляді, застосовуючи закон асоціативності і індукцірованія до множників. Отримаємо, що твір (1) одно і так далі продовжуючи, отримаємо, тому твір (1) не залежить від способу розстановки дужок.

Список літератури

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичне посібник. 2002

В.Є. Маренич. Журнал В«АргументВ». Задачі з теорії груп.

Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.1 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000

Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.2 Основи алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000

Кострикін А.І. Введення в алгебру. Ч.3 Основні структури алгебри. - М.: фізмат літ-ра, 2000

Кострикін А.І. Збірник задач з алгебри. Вид. третє - М.: фізмат літ-ра, 2001

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/

Групи. Приклади груп. Найпростіші властивості груп. Гомоморфізму і ізоморфізми груп. Підгрупи

Дано визначення групи, абелевих, нескінченною, адитивної, мультиплікативної і комутативної груп, гомоморфізм та ізоморфізм груп, наведені приклади груп і їх найпростіші властивості з доказами.

п.1. Поняття групи.

Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарний операція, називається групою, якщо виконані 3 аксіоми:

- асоціативно, тобто.

Аксіома існування правого нейтрального елемента:

Аксіома існування правого зворотного елемента:, - правий зворотний елемент до.

Визначення. Група називається комутативною (Абелевих), якщо операція комутативна, тобто.

Визначення. Порядком групи називається число елементів в множині, якщо - кінцеве безліч. Якщо - нескінченна безліч, то група називається нескінченною.

Адитивна форма запису групи.

Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарна операція, називається адитивної групою, якщо виконані аксіоми:

операція асоціативна, тобто

існування правого нейтрального елемента, тобто

існування правого протилежного елементу, то є

Визначення. Група називається абелева, якщо операція - комутативна операція, тобто.

Мультиплікативна форма записи групи.

Визначення. Алгебра, де - бінарна операція, - унарна, називається мультиплікативної групою, якщо виконуються наступні аксіоми:

Операція множення асоціативна, тобто.

Аксіома існування правого одиничного елемента:.

Аксіома існування правого зворотного елемента:.

Визначення. Група називається комутативною, якщо операція - коммутативна, тобто.

п.2. Приклади груп.

Адитивні групи.

1) Розглянемо безліч натуральних чисел і операції. - Бінарна операція на безлічі (сума двох натуральних чисел - натуральне число), - не є унарний операцією на множині, - Не є алгеброю не група.

2). - Бінарна операція на множині, - унарний операція на безлічі, є алгеброю. Перевіримо аксіоми адитивної групи:

- виконується за властивостями цілих чисел.

- виконується за властивостями цілих чисел.

- виконується за властивостями цілих чисел.

Значить, є групою, абелева група, так як нескінченна група називається адитивною групою цілих чисел.

3). - Бінарна операція, - унарна операція, є алгеброю.

- виконується за властивостями дійсних чисел.

виконується за властивостями дійсних чисел.

.

Значить є групою, абелева група, , Нескінченна група називається адитивною групою дійсних чисел.

4). не є алгеброю не є групою.

Мультиплікативні групи.

1). -Бінарна операція н...


Страница 1 из 2 | Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Замовлення реферату
Поиск
Товары
загрузка...