Ціла і дробова частини дійсного числа » Українські реферати
Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Ціла і дробова частини дійсного числа

Реферат Ціла і дробова частини дійсного числа

Категория: Математика

Т.С. Кармакова , доцент кафедри алгебри ХДПУ

У різних питаннях теорії чисел, математичного аналізу, теорії рекурсивних функцій і в інших питаннях математики використовуються поняття цілої і дробової частин дійсного числа.

В програму шкіл і класів з поглибленим вивченням математики включені питання, пов'язані з цими поняттями, але на їх виклад у підручнику алгебри для 9 класу [1] відведено всього 34 рядки. Розглянемо більш докладно цю тему.

Визначення 1

Цілою частиною дійсного числа х називається найбільше ціле число, не перевершує х.

Ціла частина числа позначається символом [х] і читається так: "ціла частина х" або: "ціла частина від х". Іноді ціла частина числа позначається Е (х) і читається так: "Антьє х" або "Антьє від х". Друге назва походить від французького слова entiere - цілий.

Приклад.

Обчислити [x], якщо х приймає значення:

1,5; 3; -1.3; -4.

Рішення

З визначення [x] слід:

[1,5] = 1, тому 1Z, 1 1,5

[3] = 3, тому що 3Z, 3 3

[-1,3] = -2, тому -2Z, -2 -1,3

[-4] = -4, тому -4Z, -4-4.

Властивості цілої частини дійсного числа.

1 В°. [X] = x, якщо хZ

2 В°. [X] x пЂј [x] + 1

3 В°. [X + m] = [x] + m, де m Z

Розглянемо приклади використання цього поняття в різних завданнях.

Приклад 1

Вирішити рівняння:

1.1 [x] = 3

[x + 1,3] = - 5

[x + 1] + [x - 2] - [x + 3] = 5

1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0

Рішення

1.1 [x] = 3. По властивості 2 В° дане рівняння рівносильне нерівності 3 х пЂј 4

Відповідь: [3; 4)

[x + 1,3] = - 5. По властивості 2 В°:

- 5 х + 1,3 пЂј - 4 - 6,3 х пЂј - 5,3

Відповідь: [-6,3; -5,3)

[x + 1] + [x - 2] - [x + 3] = 5. По властивості 3 В°:

[x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 5

[x] = 9 вересня x пЂј 10 (по 2 В°)

Відповідь: [9; 10)

1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0 Нехай [x] = t, тоді t - 7 t + 10 = 0, тобто

Відповідь: [2, 3) [5; 6)

Приклад 2.

Вирішити нерівності:

2.1 [x] 2

[x]> 2

[x] 2

[x] <2

[x] - 8 [x] + 15 0

Рішення

2.1 Згідно з визначенням [x] і 1 В°, цьому нерівності задовольняють х

Відповідь: [2;).

2.2 Рішення цієї нерівності: х.

Відповідь: [3;).

2.3 x <3

2.4 x <2

2.5 Нехай [x] = t, тоді дане нерівність рівносильне системі

3

Відповідь: [3; 6 ).

2.6 Нехай [x] = t, тоді отримаємо.

Відповідь: (-.

Приклад 4.

Побудуйте графік функції y = [x]

Рішення

1). ООФ: х R

2). МЗФ: y Z

3). Т.к. при х О [m; m + 1), де m Про Z, [x] = m, то і y = m, тобто графік являє сукупність нескінченної кількості горизонтальних відрізків, з яких виключені їх праві кінці. Наприклад, х О [-1; 0) Ю [x] = -1 Ю y = - 1; x О [0; 1) Ю [x] = 0 Ю y = 0.

Примітка.

1. Маємо приклад функції, яка задається різними аналітичними виразами на різних ділянках.

2. Кружечками відзначені точки, що не належать графіком.

Визначення 2.

дробову частину дійсного числа х називається різниця х - [x]. Дробова частина числа х позначається символом {x}.

Приклад.

Обчислити {x}, якщо х приймає значення: 2,37; -4 ; 3,14. . .; 5.

Рішення

{2,37} = 0,37, тому {2,37} = 2,37 - [2,37] = 2,37 - 2 = 0,37.

, тому

{3,14 ...} = 0,14 ..., тому {3,14 ...} = 3,14 ... - [3,14 ...] = 3,14 ... -3 = 0,14 ...

{5} = 0, тому {5} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0.

Властивості дробової частини дійсного числа.

1 В°. {X} = x - [x]

2 В°. 0 {x} <1

3 В°. {X + m} = {x}, де m Про Z

4 В°. {X} = x, якщо х О [0; 1)

5 В° Якщо {x} = а, a О [0; 1), то х = а + m, де m Про Z

6 В°. {X} = 0, якщо х О Z.

Розглянемо приклади застосування поняття {x} в різних вправах.

Приклад 1.

Вирішити рівняння:

1.1 {x} = 0,1

1.2 {x} = -0,7

{x} = 2,5

{x + 3} = 3,2

{x} - {x} +

Рішення

За 5 В° рішенням буде безліч

х = 0,1 + m, m Про Z

1.2 За 2 В° рівняння не має коренів, х О Ж

1.3 За 2 В° рівняння не має коренів, х О Ж

За 3 В° рівняння рівносильне рівнянню

{x} + 3 = 3,2 Ю {x} = 0,2 Ю x = 0,2 + m, m Про Z

1.5 Рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь

Відповідь: х =

х =

Приклад 2.

Вирішити нерівності:

2.1 {x} 0,4

2.2 {x} 0

{x + 4} <4,7

{x} -0,7 {x} + 0,2> 0

Рішення

2.1 За 5 В°: 0,4 + m x <1 + m, де m Про Z

2.2 По 1 В°: х О R

За 3 В°: {x} + 4 <4,7 Ю {x} <0,7.

За 5 В°: m

2.4 Так як {x} 0, то {x} - 1> 0, отже, отримаємо 2 {x} + 1 <Ю Ю {x} <1 Ю x О R

2.5 Вирішимо відповідне квадратне рівняння:

{x} - 0,7 {x} + 0,2 = 0 Ю Дане нерівність рівносильно сукупності двох нерівностей:

Відповідь: (0,5 + m; 1 + m) (k; 0,2 + k),

m Про Z, k О Z

Приклад 3.

Побудувати графік функції y = {x}

Побудова.

1). ООФ: x О R

2). МЗФ: y О [0; 1)

3). Функція y = {x} періодична і її період

T = m, m Про Z, тому якщо х О R, то (x + m) Про R

і (xm) Про R, де m Про Z і по 3 В° {x + m} =

{x - m} = {x}.

Найменший позитивний період дорівнює 1, тому якщо m> 0, то m = 1, 2, 3,. . . і найменше позитивне значення m = 1.

4). Так як y = {x} - періодична функція з періодом 1, то достатньо побудувати її графік на якому-небудь проміжку, довжиною 1, наприклад, на проміжку [0; 1), тоді на проміжках, одержуваних зрушеннями обраного на m, m Про Z, графік буде таким же.

а). Нехай х О [0; 1), тоді {x} = x і y = x. Отримаємо, що на проміжку [0; 1) графік даної функції представляє відрізок бісектриси перший координатного кута, з якого виключений правий кінець.

б). Скориставшись періодичністю, отримуємо нескінченна безліч відрізків, що утворюють з віссю Ох кут в 45 В°, з яких виключений правий кінець.

Примітка.

Кружечками відзначені точки, що не належать графіком.

Приклад 4.

Вирішити рівняння 17 [x] = 95 {x}

Рішення

Т.к. {X} О [0; 1), то 95 {x} О [0; 95), а, отже, і 17 [x] О [0; 95). Зі співвідношення

17 [x] О [0; 95) слід [x] О, тобто [X] може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, і 5.

З даного рівняння випливає, що {x} =, тобто з урахуванням отриманого безлічі значень для

[x] робимо висновок: {x}, відповідно, може дорівнювати 0;

Т. оскільки потрібно знайти х, а х = [x] + {x}, то отримуємо, що х може дорівнювати

0;

Відповідь:

Примітка.

Аналогічне рівняння пропонувалося в 1 турі крайової математичної олімпіади для десятикласників у 1996 році.

Приклад 5.

Побудувати графік функції y = [{x}].

Рішення

ООФ: х О R, тому {X} О [0; 1), а ціла частина чисел з проміжку [0; 1) дорівнює нулю, то дана функція рівносильна y = 0

y

0 x

Приклад 6.

Побудуйте на координатній площині множину точок, задовольняють рівнянню {x} =

Рішення

Т. оскільки дане рівняння рівносильне рівнянню х =, m Про Z по 5 В°, то на координатній площині слід побудувати безліч вертикальних прямих х = + m, m Про Z

y

0 x

Список літератури

Алгебра для 9 класу: Учеб. посібник для учнів шкіл і класів з поглиблюючи. вивченням математики/Н. Я. Віленкін та ін, по ред. Н. Я. Виленкина. - М. Освіта, 1995 р.

В. Н. Березін, І. Л. Нікольська, Л. Ю. Березіна Збірник завдань для факультативних та позакласних занять з математики - М. 1985

А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982 р.

Журнал "Квант", 1976, № 5

Журнал "Математика в школі": 1973 № 1, № 3; 1981 № 1; 1982 № 2; 1983 № 1; 1984 № 1; 1985 № 3.



Друкувати реферат
Замовити реферат
Замовлення реферату
Реклама

Наверх Зворотнiй зв'язок