Теми рефератів
> Авіація та космонавтика > Банківська справа > Безпека життєдіяльності > Біографії > Біологія > Біологія і хімія > Біржова справа > Ботаніка та сільське гос-во > Бухгалтерський облік і аудит > Військова кафедра > Географія > Геодезія > Геологія > Держава та право > Журналістика > Видавнича справа та поліграфія > Іноземна мова > Інформатика > Інформатика, програмування > Історія > Історія техніки > Комунікації і зв'язок > Краєзнавство та етнографія > Короткий зміст творів > Кулінарія > Культура та мистецтво > Культурологія > Зарубіжна література > Російська мова > Маркетинг > Математика > Медицина, здоров'я > Медичні науки > Міжнародні відносини > Менеджмент > Москвоведение > Музика > Податки, оподаткування > Наука і техніка > Решта реферати > Педагогіка > Політологія > Право > Право, юриспруденція > Промисловість, виробництво > Психологія > Педагогіка > Радіоелектроніка > Реклама > Релігія і міфологія > Сексологія > Соціологія > Будівництво > Митна система > Технологія > Транспорт > Фізика > Фізкультура і спорт > Філософія > Фінансові науки > Хімія > Екологія > Економіка > Економіко-математичне моделювання > Етика > Юриспруденція > Мовознавство > Мовознавство, філологія > Контакти
Реклама
Українські реферати та твори » Математика » РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ п'ятиточкові МЕТОДОМ АДАМСА - Башфорта

Реферат РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ п'ятиточкові МЕТОДОМ АДАМСА - Башфорта


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ" Кафедра "Системи і Процеси Управління"

ЗВІТ

про науково-дослідну курсової роботі

з чисельних методів

на тему:

В« РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ п'ятиточкові МЕТОДОМ АДАМСА - Башфорта В»

Виконав студент

гр.І-29 Уханов Є.В.

Керівник роботи

Д.т.н. проф Бреславський Д.В.

Харків 2001

ЗМІСТ

1. Постановка завдання .................................................................. 4

2. Методи рішення .................................................................... 6

2.1. Метод прогнозу і корекції ................................................ 6

2.2 Модифікований метод Гаусса ........................................ 12

3. Опис алгоритму ............................................................... 14

4. Опис програми .............................................................. 15

5. Приклади розрахунків .................................................................. 17

5.1. Рішення одного диференціального рівняння ........................ 17

5.2. Рішення системи диференціальних рівнянь ...................... 19

Висновок .............................................................................. 20

Список використаної літератури ............................................... 21

Додаток 1 ........................................................................... 22

Додаток 2 ........................................................................... 23

Додаток 3 ........................................................................... 24

Додаток 4 ........................................................................... 25

ВСТУП

У багатьох галузях науки і техніки, а також галузях наукомісткої промисловості, таких як: авіаційна, космічна, хімічна, енергетична, - є вельми поширені завдання прогнозу протікання процесів, з подальшою їх корекцією.

Рішення такого роду задач пов'язано з необхідністю використання чисельних методів, таких як: метод прогнозу і корекції, метод Адамса-Башфорта, метод Ейлера, метод Рунге-Кута, та ін При цьому, варто завдання рішення системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку одним з методів інтегрування, на довільному проміжку часу. Одним з оптимальних методів дають високу точність результатів - є п'яти точковий метод прогнозу і корекції Адамса-Башфорта. Для підвищення точності методу використовується трьох точковий метод прогнозу і корекції з автоматичним вибором кроку, що призводить до універсального методу інтегрування систем диференційних рівнянь довільного виду на будь-якому проміжку інтегрування.

Розробка програмних засобів реалізують розрахунок точного прогнозу перебігу процесів, є важливим допоміжної науково-технічної завданням .

Метою даної курсової роботи є розробка алгоритму рішення систем лінійних диференціальних рівнянь першого майже п'ять точковим методом прогнозу і корекції Адамса-Башфорта.

1. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ

Розглянемо довільну систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

(1.1)

тоді як:

А = (1.2)

де А задана матриця розміром N x N.

- вектор з N координатами, який підлягає визначенню;

N - довільне ціле число;

- задані вектора правих частин з N координатами.

З використанням методу прогнозу і корекції Адамса-Башфорта п'ятого порядку, необхідно одержати значення невідомих для заданих тимчасових інтервалів. Для стартования методу необхідно використовувати метод прогнозу і корекції третього порядку зі змінним кроком, на заданих тимчасових проміжках ..

2. МЕТОДИ РІШЕННЯ

2.1. Метод прогнозу і корекції

Метод прогнозу і корекції належить до завдань класу Коші, саме до чисельних рішень багатокрокових методів.

Розглянемо задачу Коші:

, (2.1.1)

Підставимо в (2.1.1) точне рішення y (x), і проінтегруємо це рівняння на відрізку, тоді отримаємо:

(2.1.2)


де в останньому член припускаємо, що p (x) поліном, апроксимує f (x, y (x)). Щоб побудувати цей поліном, припустимо, що - наближення до вирішення в точках. Будемо вважати для початку, що вузли Xi розташовані рівномірно з кроком h. тоді fi = f (xi, yi), (i = k, k-1, k-2, ..., kN) є наближення до f (x, y (x)) в точках і ми ролі P візьмемо інтерполяційний поліном для вибору даних (xi, fi),

(i = k, k-1, k-2, ..., k-N). Таким чином, P - поліном ступеня N, задовольняє умовам P (xi) = fi, (i = k, k-1, k-2, ..., kN). В принципі, можемо проінтегрувати цей поліном явно, що веде до наступного методу:

(2.1.3)

У найпростішому випадку, коли N = 0, поліном P є константа, рівна fk, і (2.1.3) перетворюється на звичайний метод Ейлера:

(2.1.4)

Якщо N = 1, то P є лінійна функція, через точки

(xk-1, fk-1) і (xk, fk), тобто

(2.1.5)

інтегруючи цей поліном від Xk до Xk +1, отримаємо наступний метод:

(2.1.6)

який є двухшаговим, оскільки використовує інформацію в двох точках xk і xk-1. Аналогічно, якщо N = 2, то P - є кубічний інтерполяційний поліном, а відповідний метод визначається формулою:

(2.1.7)

Відзначимо, що метод (2.1.6) - є метод Адамса-Башфорта другого порядку, (2.1.7) - метод Адамса-Башфорта четвертого порядку.

Для стартования методу (2.1.7) необхідні інформацію про чотирьох попередніх точках. Відповідно даний метод вимагає обчислення стартующих даних. Скористаємося перебування другий точки однокроковим методом Ейлера, який має вигляд:

Таким чином, підставляючи початкові умови, ми знаходимо другу точку. Слід зауважити, що ступінь точності збігається з ступенем точності інших методів, що є істотним чинником у стартовании методу прогнозу і корекції.

Зважаючи на те, що стартові методи мають більш низький порядок, на початку доводиться вважати із меншим кроком і з допомогою більшого проміжку часу. В даному випадку метод Ейлера для подальшого інтегрування не відшкодовується. Для цього скористаємося трехшаговим методом прогнозу і корекції зі змінним кроком.

Міркуючи також, як методу Адамса-Башфорта, який викладається в роботах: [1], [2], [3], ми ми дійшли до формул:

Прогноз:

(2.1.8)

Корекція:

(2.1.9)

де h - крок інтегрування, змінюється на малому проміжку часу у відповідності з умовами Рунге:

,

де в свою чергу - мале конкретне значення, при невиконанні умови якого збільшується крок h = h * N а - мале конкретне значення , При невиконанні умови крок відповідно зменшується h = h/N, де N - деяке ціле число більше одиниці.

Оптимально, для обчислення нової точки, з допомогою методу прогнозу і корекції, використовується формула:

(2.1.10)

Таким чином, ми скористалися простим трьох кроковим методом прогнозу і корекції, для стартования методу Адамса-Башфорта. Переваги даного методу полягають: у його високій точності, авто доборі кроку, що у багато підвищує точність самого методу Адамса-Башфорта, і робить його оптимальним для завдань такого роду.

Метод Адамса-Башфорта використовує вже полічені значення точці Xk й у попередніх точках. В принципі, при побудові інтерполяційного полінома, ми можемо використовувати і точки Xk +1, Xk +2, .... Найпростіший випадок у цьому состаит використання точок Xk +1, Xk, ..., Xk-N

і побудови інтерполяційного полінома ступеня N +1, задовольняє умовам P (Xi) = fi, (I = k +1, k, ..., kN). При ць...

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Друкувати реферат
Реклама
Реклама
88x31
88x31
88x31