Тривимірна модель розподілу доходів населення

А. Осипов, к.т.н., доцент кафедри загально-інженерної підготовки Самарського державного аерокосмічного університету ім. академіка С. П. Корольова.

В. Медведко, аспірант Самарського державного аерокосмічного університету ім. академіка С. П. Королева.

Проблема В«келиха шампанськогоВ»

Головним завданням управління економікою кожного держави є аналіз і оптимальний перерозподіл грошових доходів по тим чи іншим групам населення. 24 грудня 2007 на відкритті першого засідання Державної Думи п'ятого скликання виступив найстарший депутат Державної Думи, Нобелівський лауреат Ж. І. Алфьоров. На його думку, 87% світових доходів належать близько 10% населення Землі. У Росії співвідношення доходів бідних і багатих становить 30 до 1. Цю проблему він назвав В«келихом шампанського В». В«Щоб вирішити цю проблему потрібно розбити келих шампанськогоВ», - сказав депутат і розбив келих. Потім він пояснив: щоб скоротити розрив між багатими і бідними, потрібно реформувати систему оподаткування, замінивши її на прогресивну (чим більше доходи, тим вище податки) [1].

Використовуваний показник середнього доходу, обчислений як середня арифметична величина, дуже чутливий до збільшення або зменшення частки високодохідних і незахищених груп населення. У статистиці більшості розвинених країн для характеристики загального рівня доходів наводиться не середній, а медіанний їх рівень, тобто рівень, вище і нижче якого отримує дохід однакове число працівників.

Криві Лоренца

Найбільш яскраво проблему В«келиха шампанськогоВ» відображає крива Лоренца [2]. Крива показує, яку частину сукупного грошового доходу країни отримує кожна частка низькодохідних і високоприбуткових сімей. Крива Лоренца дозволяє графічно зобразити нерівність доходів, а при повороті осей дає перетину В«келиха шампанськогоВ» і визначає назву проблеми.

На рис. 1 представлені криві Лоренца для ряду країн [3]. По осі абсцис вказана частка

населення, по осі ординат - частка доходу. Чим ближче крива до діагоналі, тим рівномірніше розподіл доходів серед населення. Однак, рівномірний розподіл доходів, як показав історичний досвід Росії та інших соціалістичних країн, є утопічною ідеєю і гальмує процес розвитку суспільства. Тому одним з головних завдань даної роботи стало знаходження такої ідеальної кривої Лоренца, до якої, через проведення заходів податкової та соціальної політики, повинні прагнути всі країни.

Рис. 1: Криві Лоренца [3].

Знаходження ідеальної кривої Лоренца

Методика знаходження ідеальної кривої Лоренца, може бути побудована на використанні відомого правила В«золотого перетинуВ» [4]. Нехай згідно з правилом В«золотого перетинуВ», площа простору, що знаходиться нижче ідеальної кривої Лоренца, повинна бути дорівнює 0, 382. Нехай також крива Лоренца являє собою графік виду, де x - населення в частках одиниці, y - його дохід в цьому ж масштабі. Розрахунок показника ступеня кривої В«золотого перетину В»nз.с. був проведений за допомогою формули площі під кривою Лоренца:

, (1)

звідки nз.с = 1, 618.

За даними рис. 1 можуть бути отримані закони розподілу доходів для кожної з країн, з допомогою логарифмування x і y для того, щоб знайти показники ступеня.

Рис. 2: Визначення показника ступеня кривої Лоренца для Швеції.

З рис. 2 видно, що дану ступеневу функцію вдається спрямити в логарифмічних координатах, щоб методом найменших квадратів знайти коефіцієнт n. За допомогою додавання лінії тренду на діаграму в середовищі MS Excel, ми отримали рівняння виду, де коефіцієнт n при Lgx є показником ступеня кривої Лоренца для Швеції Nш = 1, 4506.

З цього рівняння за допомогою потенціювання можна вивести теоретичне рівняння розподілу доходів (yт). Наприклад, для Бразилії з рівняння регресії отримуємо:

;

;

;

;

;

. (2)

Це рівняння виду, де n - це показник ступеня кривої Лоренца. Отже для Бразилії nб = 2, 54. Аналогічно для Швеції, США і Англії були отримані Nш = 1, 45, nС = 1, 51, nA = 1, 33.

В роботі застосовувався метод регресійного аналізу, згідно з яким, величина достовірності апроксимації достатньо значна: R2 = 0, 9939 (рис. 2).

Виключаючи з даних крапку з координатою (0; 0), можна отримати показник ступеня розподілу доходів n, не використовуючи логарифмування, за допомогою додавання лінії тренду статечного типу апроксимації, оскільки коефіцієнт детермінації і в першому і в другому випадку збігається. На рис. 3 видно, що для Швеції yт = x1, 45 практично збігається з y, з чого можна зробити висновок, що обрана ступенева функція дуже точно описує процес розподілу доходів. Виходячи з цього, можна стверджувати, що закон y = xn розподілу доходів носить універсальний характер і може бути використаний при оцінці диференціації доходів будь-якої країни, так як змінні x - населення і y - дохід є відносними. Тому, знаючи лише одне експериментальне значення, можна побудувати криву розподілу доходів всій країни.

Наведемо рівняння y = xn до виду, де:

1) є [0; 1] - відносний дохід населення, а Д і Дmax, відповідно, дохід і максимальний дохід населення.

2) є [0; 1] - відносний склад населення, H - населення в частках одиниці, Hmax - максимальна кількість населення.

3) = n є [1; 3] - еластичність відносного доходу за відносним складом населення.

Рис.3: Крива Лоренца, яка показує

розподіл доходів у Швеції.

Використовуючи показник ступеня nз.с. = 1, 618, знайдений за допомогою методу В«золотого перетинуВ», був отриманий графік ідеальної кривої Лоренца (рис. 4), площа під якою

S = 0, 382 (1).

Аналіз віддаленості кривих розподілу доходів від ідеальної кривої Лоренца

Порівнюючи площі простору під кривими: Sб = 0, 283; SС = 0, 399; SА = 0, 429;

SШ = 0, 408; Sз. с. = 0, 382, ​​можна зробити висновок, що найбільш близьке до В«золотого перетинуВ» розподіл доходів у США, де показник ступеня nС = 1, 51 не сильно відрізняється від nз.с.. В Англії та Швеції (Країні В«перемігшого соціалізмуВ») ​​- надмірно рівномірний розподіл доходів, і треба відзначити, що це також є серйозною проблемою [5], так як може призвести до втрати внутрішнього стимулу країни до розвитку (в комуністичної моделі n = 1 і доцільний коефіцієнт також дорівнює 1 - абсолютне рівність на рис.1). Бразилія ж, навпаки, країна з надзвичайно високою ступенем диференціації доходів населення. А надмірне нерівність у доходах негативно впливає на якість життя людей: обумовлює відносно велику частку бідняків у складі населення. Високий рівень нерівності в доходах може загрожувати політичній стабільності в країні.

Рис. 4: Криві Лоренца [3] та ідеальна крива, відповідна В«золотого перетинуВ».

По рівнянню ідеальної кривої

y = x1, 618 (3)

був знайдений ідеальний доцільний коефіцієнт (відношення середньої величини доходів 10% найбільш заможної частини населення до середньодушових доходів 10% найбіднішої частини), який згідно з розрахунками повинен дорівнювати d = 6, 5.

= 6, 5, (4)

де - рівняння ідеальної кривої Лоренца (3).

На жаль, Росія - це одна з країн, в якій проблема розподілу доходів стоїть найбільш гостро. За статистичними даними, в останні роки спостерігається зростання доцільний коефіцієнт, який у 2007 році досяг 30 [1]. Виходячи з відомого доцільний коефіцієнт, можна знайти показник ступеня кривої Лоренца для Росії

(рис. 5):

звідки Nр = 2, 17. (5)

Рис. 5: Крива Лоренца для Росії, відповідна доцільний коефіцієнт

DР = 30.

Виходячи з відомої кривої Лоренца, можна дати рекомендації, наскільки потрібно підвищити рівень життя населення, щоб розподіл доходів було оптимальним: по величині Nр = 2, 17 можна знайти необх...ідний обсяг вкладень в населення.

Оцінимо, наскільки диференціація доходів у Росії відрізняється від ідеального розподілу доходів. Для цього знайдемо співвідношення площ простору під ідеальної кривої Лоренца та площі простору під кривою Лоренца для Росії

. (6)

Отже, до розподілу доходів, відповідного ідеальної кривої Лоренца, Росії не вистачає 21% рівномірно розподілених доходів.

Якщо розглянути ставлення Стабілізаційного фонду до світової фінансової кризи в 2008 р. СБ = 3 трл. 849, 11 млрд. рублів до торішнього рівня ВВП = 41540, 4 млрд. рублів, то воно становило:

(7)

При ідеальному розподілі доходів СБ серед населення ситуація в 2008 р. покращилася б більш ніж в 2 рази. ВВП на душу населення в 2008 дорівнює 292 744, 2 грн./Рік. Отже, якби розподіл додаткових доходів було абсолютно рівномірним (= n = 1), кожен отримував би по 24000 рублів на місяць (288 000 т. руб. на рік).

Надмірний розрив у рівні забезпеченості крайніх децильних груп призводить до виникнення кризової ситуації в суспільстві. Так, в Росії напередодні Жовтневої революції 1917 року доцільний коефіцієнт досягав 25 - 30, що послужило основою соціального вибуху [6]. Щоб уникнути подібних кризових ситуацій, у розвинених країнах цей показник підтримується на рівні від 4 до 5 за допомогою державного регулювання за рахунок перерозподілу частки національного доходу, отримуваного різними групами, спеціально розробленими механізмами оподаткування.

За показниками ступеня кривих Лоренца були визначені доцільний коефіцієнт для Швеції dш = 4, Англії DА = 2, 8, США DС = 4, 7 і Бразилії Dб = 78, 3. Виходячи ж з нашої моделі, для оптимізації процесу розподілу доходів доцільний коефіцієнт повинен бути трохи вище, а саме: Dз. с. = 6, 5.

Очевидно, що абсолютно рівномірний розподіл доходу неможливо, так як диференціація оплати праці, явище об'єктивне. В основі її лежать загальнолюдські закони про неоднакових можливостях людей створювати цінності і потім отримувати у відповідності зі своєю працею винагороду. Тому ідеальна крива Лоренца і ідеальний доцільний коефіцієнт - це якраз той оптимальний межа, досягнення якого, можливо, дозволить усунути дисбаланс і кризові ситуації в суспільстві [7].

Універсальна залежність доцільний коефіцієнт від еластичності

Виходячи з формули доцільний коефіцієнт (4), можна побудувати універсальну залежність цього коефіцієнта D від еластичності = n (рис. 6).

Рис.6: Графік універсальної залежності доцільний коефіцієнта D від еластичності.

Для зручності використання можна побудувати зворотну залежність - еластичності від доцільний коефіцієнт (мал. 7).

Рис. 7: Графік універсальної залежності еластичності від доцільний коефіцієнт D.

Побудова тривимірної моделі розподілу доходів

Двовимірна модель, якої є крива Лоренца, представляє процес розподілу доходів населення у вигляді ліній рівня n = const. В даний час у зв'язку з кризовими явищами назріла гостра необхідність у використанні математичних тривимірних моделей в економіці. Зараз тривимірні моделі успішно і широко використовуються в природничих науках. Тривимірна модель дозволяє представити процес розподілу доходів населення під якісно новим кутом зору, тому що криві Лоренца є лише вертикальними перерізами тривимірної моделі розподілу доходів. Вони менш ефективні для аналізу, тому що ми не можемо цілком точно і швидко представити собі траєкторію, що протікає в період кризи процесу.

Побудуємо тривимірну модель розподілу доходів населення, де - відносний склад населення в частках одиниці, - його відносний дохід в цьому ж масштабі, а - показник ступеня кривої Лоренца або еластичність відносного доходу за відносним складом населення (рис. 8).

Рис. 8: Поверхня розподілу доходів.

При побудові даної моделі з'являється можливість розрізати поверхню не тільки по вертикалі (рис. 9), але і по горизонталі (Рис. 10).

Рис. 9: Лінії рівня поверхні розподілу доходів при = const (вертикальні перетину поверхні, показаної на рис. 8): 1 - при n = 1 (Абсолютна рівність); 2 - при

n = 1, 33 (Англія); 3 - при n = 1, 45 (Швеція); 4 - при n = 1, 51 (США); 5 - при n = 1, 62 (золотий перетин); 6 - при n = 2, 54 (Бразилія).

Рис. 10: Лінії рівня поверхні розподілу доходів при = Const (горизонтальні перетину поверхні, показаної на рис. 8).

Важливим достоїнством запропонованої тривимірної моделі є можливість накладення на поверхню сітки часу. Це дає нам право зробити висновок про те, що модель універсальна, т. к. з плином часу криві Лоренца можуть рухатися і переходити з одного стану в інший. Отже, ми можемо простежити, по-перше, наскільки розподіл доходів даної країни близько до ідеального в даний період часу, і, по-друге, побачити, як міняється положення країни з плином часу: поліпшується або погіршується. Зараз, в умовах кризи це є особливо актуальним.

В економіці існує безліч законів та процесів, які описуються за допомогою степеневої функції (наприклад: крива байдужості, крива Філіпса, функція залежності рівня безробіття від інфляції, виробнича функція довгострокового періоду, процес нарощування, процес дисконтування, закон попиту і пропозиції і т. д.). Створення тривимірної моделі розподілу доходів населення, дозволяє запропонувати описувати економічні процеси в 3D моделях і з єдиних позицій.

Таким чином в роботі:

Розроблено методику знаходження ідеальної кривої Лоренца з точки зору В«золотого перетинуВ». З її допомогою визначений ідеальний доцільний коефіцієнт D = 6, 5 і доцільний коефіцієнт для Швеції dш = 4, Англії DА = 2, 8, США DС = 4, 7 і Бразилії Dб = 78, 3.

Побудовано криву Лоренца для Росії за відомим доцільний коефіцієнт і проведено аналіз видалення кривих Лоренца Швеції, Англії, США і Бразилії від ідеальної кривої Лоренца. Виявлено, що найбільш оптимальний розподіл доходів, близьке до ідеального, спостерігається в США.

Створено передумови для створення універсального закону розподілу доходів населення і побудована тривимірна модель, що дозволяє досліджувати поверхню не тільки у вертикальних перерізах, але і в горизонтальних з метою виявлення ряду критеріїв, що дозволяють оцінювати ступінь диференціації доходів з урахуванням динаміки економічних процесів.

Висловлено ідея опису економічних процесів в 3D моделях і з єдиних позицій.

Список літератури

Алфьоров Ж. І. Вступне слово на відкритті першого засідання Державної Думи 5-го скликання. - М., 24 грудня 2007 р.// kprf/ru/rus - socl/53964.html.

Криві Лоренца.// www.edu-zone.net.

Варакін Л. Є. Закон Парето і правило 20/80: розподіл доходів і послуг зв'язку// Праці МАС. - 1997. - № 1. - С.3 - 10.

Секрет Золотого перетину.// ніт. Поточні публікації, 1997.

Волков А. М. Швеція: соціально-економічна модель. - М., 1989.

6. Кірута А. Я. внутрішньоекономічних становище Росії: диференціація доходів населення і соціальна напруженість/Ситуаційний центр адміністрації Президента РФ - М.: 2002.

Голубєва Є.В. Бідність і багатство в глобальній економіці/Інституційний розвиток сучасної економіки: Збірник наукових праць/За заг. ред. Удалова Д.В. - Саратов: СГСЕУ, 2007. Вип. 2.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту referat.ru/