Теоретичний аналіз моделі комплексного числа

Зміст

Введення.

В§ 1. Система комплексних чисел

В§ 2. Властивості комплексних чисел

В§ 3. Полем комплексних чисел.

В§ 4. Категоричність аксіоматичної теорії комплексних чисел.

В§ 5. Несуперечність аксіоматичної теорії комплексних чисел

В§ 6. Моделі комплексних чисел.

Приклади.

Висновок

Список використаної літератури

Введення

З курсу математики відомо, що негативні числа введені насамперед для того, щоб операція віднімання, обернена до операції додавання, була завжди можлива. З аналогічної причини в математиці з'явилися комплексні числа. Якщо розглядати тільки дійсні числа, то операція добування квадратного кореня, обернена до операції зведення в квадрат, не завжди можлива, так як не можна витягти квадратний корінь з негативного числа. Цього, однак, недостатньо, щоб заводити в математиці нові числа. Виявилося, що якщо виробляти обчислення за звичайними правилами над виразами, в яких зустрічається корінь квадратний з від'ємного числа, то можна прийти до результату, вже не містить корінь квадратний з негативного числа. У XVI столітті Кардано знайшов формулу для розв'язання кубічного рівняння. Виявилося, що саме в тому випадку, коли кубічне рівняння має три дійсних кореня, у формулі Кардано зустрічається корінь квадратний з негативного числа. Виявилося таким чином, що виробляючи обчислення з виразами, що містять корінь квадратний з від'ємного числа, можна отримати цілком зрозумілі результати. Тому ці корені стали вживати в математиці. Назвали їх уявними числами - тим самим вони як би придбали право на нелегальне існування. Повні цивільні права уявним числам на межі XVIII-XIX століть дав Гаус, який назвав їх комплексними числами, дав їм геометричну інтерпретацію і, що найголовніше, довів основну теорему алгебри, яка стверджує, що кожен многочлен має хоча б один дійсний або комплексний корінь. Комплексним числом називається всяка впорядкована пара дійсних чисел. Два комплексних числа і дорівнюють тоді і тільки тоді, коли. Розглянемо комплексні числа більш докладно. І знайдемо моделі комплексних чисел.

В§ 1. Система комплексних чисел

У полі дійсних чисел не завжди здійсненна операція витягання кореня: не існує корінь четной ступеня з негативного числа. Звідси виникає завдання подальшого розширення поля дійсних чисел з метою отримання такої безлічі чисел, в якому рівняння мало б рішення. Таке мінімальна вимога задачі розширення поля дійсних чисел виправдовується тим, що при її здійсненні стають вирішуваними будь рівняння виду

.

Полем комплексних чисел називається мінімальне поле С, містить поле R дійсних чисел, тобто безліч С, що володіє властивостями:

1) З містить поле дійсних чисел, тобто в С міститься така підмножина R ', що;

2) C - поле;

3) в З вирішуваний рівняння (цільове вимога);

4) З - Мінімальне поле, тобто не містить ніякого підполя, відмінного від нього самого і володіє властивостями 1 - 3.

Елементи поля С - комплексні числа.

Під системою комплексних чисел розуміють мінімальне поле, яке є розширенням поля дійсних чисел і в якому є елемент i з умовою i + 1 = 0. В якості первинних приймають такі терміни:

а) С - безліч, його елементи називаються комплексними числами;

б) +, •-складання і множення - бінарні операції на С;

в) 0, 1 і i - елементи С;

г) R - підмножина С, його елементи називаються дійсними числами;

д) Г… і 8 - Складання і множення - бінарні операції на R.

Для побудови системи комплексних чисел скористаємося вихідним елементом - парою (a, b) дійсних чисел. У процесі побудови будуть визначені різні операції для таких пар.

Аксіоми поділяються на чотири групи і можуть бути сформульовані так:

А

СI.

СII.

СIII.

CIV.

CV.;

CVI.;

CVII.

СVIII.;

CIX.;

СХ.

СХI ..

Б

СХII. - Поле дійсних чисел;

CХIII. R ГЊC;

CХIV.

CХV ..

В

CXVI. .

Г

CXVII. (Аксіома мінімальності). Будь-яка підмножина М безлічі С збігається з С, якщо воно задовольняє наступним чотирьом умовам:

а)

б)

в)

г) .

В§ 2. Властивості комплексних чисел

Ми припускаємо, що - система комплексних чисел. Таким чином, для цієї системи виконані всі названі в попередньому розділі аксіоми.

Теорема 2.1. Усяке комплексне число можна представити і тільки одним способом у вигляді.

Доказ. Припустимо спочатку, що для деяких дійсних чисел a, b, a1, b1. Оскільки - поле, то. Якщо, то .

А це не може бути в силу теореми про те, що в лінійно упорядкованій кільці квадрат будь-якого не рівного нулю елемента позитивний. Можливість подання легко випливає з аксіоми мінімальності.

Визначення 2.1. Сумою комплексних чисел (a, bi) і (c, di) називається комплексне число.

Суму позначають знаком В«ПлюсВ». Тому визначення можна записати так:.

Так як складання комплексних чисел зводиться до додавання дійсних чисел, то додавання комплексних чисел завжди здійснимо і однозначно.

Теорема 2.2. Додавання комплексних чисел коммутативно і асоціативно.

Доказ. Проведемо для асоціативного закону. Обчислимо. З іншого боку,. Отже, .

Комплексне число є нулем, бо для будь-якого комплексного числа справедливо.

Звичайним чином, як, наприклад, для раціональних чисел, доводиться єдиність нуля.

Для всякого комплексного числа (a, b) існує протилежна йому комплексне число, що позначається. Перевіримо, що. У самому справі,. Єдиність протилежної число доводиться звичайним чином.

Теорема 2.3. Віднімання комплексних чисел завжди здійснимо і однозначно.

Доказ. Перевіримо, що. Для цього обчислимо суму.

Отже,. Останнє рівність задовольняє визначенню різниці, отже,. Отже, віднімання здійснимо.

Доведемо єдиність різниці. Нехай є різниця виду. Це означає, що. Додамо до обом частинам. Отримаємо. Цим доведена однозначність віднімання.

Визначення 2.2. Твором комплексних чисел і називається комплексне число.

Множення позначаємо точкою, і визначення тоді запишемо так:.

Так як множення комплексних чисел зводиться до арифметичних дій з дійсними числами, то множення завжди здійснимо і однозначно.

Теорема 2.4. Множення комплексних чисел коммутативно, асоціативно і дистрибутивно щодо додавання, тобто:

1)

2)

3)

Доказ. Перевіримо тільки дистрибутивний закон. Обчислимо ліву частину. Обчислимо праву частину.

Як бачимо ліва і права частини виявилися рівними одного й того ж комплексному числу. Отже, вони рівні, тобто:.

Комплексне число є одиницею, бо для будь-якого комплексного числа справедливо.

Единственность одиниці перевіряється звичайним чином. Нехай є одиниця. Тоді, бо - одиниця. Але - теж одиниця, тому. З однозначності множення випливає, що.

Теорема 2.5. Для всякого комплексного числа існує зворотне йому число, що позначається, тобто таке, що їх добуток дорівнює одиниці.

Доказ. Дано число, де або, тобто . Знайдемо таке число, щоб, звідки. З визначення рівності комплексних чисел випливає

Визначник системи, отже, система має рішення, притому єдине:,. Таким чином, .

Слідство. Ділення комплексних чисел завжди здійснимо (виключаючи розподіл на нуль) і однозначно.

Перевіримо, що є. Обчислимо:.

Отже,. Останнє рівність задовольняє визначенню приватного, отже,. Отже, поділ здійснимо.

Доведемо єдиність приватного. Нехай. Це означає, що. Помноживши обидві частини на, отримаємо. Цим доведена однозначність ділення.

На підставі викладеного можна зробити висновок..., що безліч комплексних чисел С є полем.

В§ 3. Полем комплексних чисел

Виділимо з поля С комплексних чисел безлічі CR пар виду. Комплексне число виду назвемо дійсним комплексним числом.

Теорема 3.1. Безліч CR дійсних комплексних чисел ізоморфно полю R дійсних чисел.

Доказ. Дійсному комплексному числу поставимо у відповідність є взаємно-однозначним. Покажемо, що вказане відповідність є ізоморфізм відносно додавання і множення. Нехай, тоді й, тобто . Отже, безліч CR ізоморфно полю R. Тому можна ототожнити відповідні елементи цих множин і вважати, що поле комплексних чисел С містить поле дійсних чисел. Дійсне комплексне число в подальшому будемо позначати дійсним числом а.

Комплексне число, не рівне дійсному, називається уявним числом, тобто , Де є уявне число. Уявне число називають чисто уявним числом. Число назвемо уявною одиницею і позначимо літерою i.

Покажемо, що уявна одиниця є рішенням рівняння. Дійсно, . Отже, чи.

Теорема 3.2. Усяке комплексне число може бути представлене у вигляді суми дійсного і чистого мнимого чисел.

Доказ. Уявімо. Таким чином, . Вираз називається алгебраїчної або лінійною формою комплексного числа.

На підставі визначень 2.1, 2.2 і теорем 2.3, 2.5 дії над комплексними числами в алгебраїчній формі можна записати так:

1)

2)

3)

4) .

Зробимо таке висновок. При оперуванні з комплексними числами їх слід розглядати як двочлен щодо букви i. Одержуваний при множенні член i2 треба замінити на (-1).

Теорема 3.3. Поле комплексних чисел С є мінімальним розширенням поля дійсних чисел R.

Доказ. Нехай підполе і відмінно від. Це означає, що є число, причому.

Візьмемо число. Так як К - підполе, то віднімання і ділення чисел з До знову належать К. Отже. За тим же міркувань укладаємо, що за будь-яких а і b, тобто К = С. Це означає, що власних підполів, що містять R, в С немає.

Теорема 3.4. Поле комплексних чисел не впорядковане поле, тобто не існує такого ставлення В«>В», При якому виконуються умови:

1) для всякого комплексного числа z або z> 0, або z <0, або z = 0;

2) якщо і, то і;

3) якщо , То, і навпаки.

Доказ. При кожному відношенні В«>В» повинно виконуватися 1> 0 (якщо припустити противне: 1 <0, то по п.3 -1> 0 і, відповідно до п.2, (-1) (-1)> 0 або 1> 0, що суперечить припущенню 1 <0).

Припустимо, що для комплексних чисел існує таке відношення В«>В», при якому полі З буде впорядкованим полем. Візьмемо. Так як, то, або.

Розглянемо. Тоді, згідно п.2, або -1> 0. Одержали протиріччя.

Нехай. Тоді, згідно п.3,, звідки, згідно п.3, або. Отримали протиріччя. Припустивши, що в полі комплексних чисел існує таке відношення В«>В», при якому поле С стає впорядкованим, ми встановили, що для і не можна визначити, в якому вони перебувають відношенні. Отже, поле комплексних чисел неможливо розташувати ніяким відношенням В«>В».

В§ 4. Категоричність аксіоматичної теорії комплексних чисел

Теорема 4.1. Нехай і - системи комплексних чисел. Тоді існує ізоморфні відображення f системи на.

Доказ. Перш за все домовляються з метою стислості користуватися однаковими знаками операцій в С 'і R', а також в З "і R". Далі, домовляються елементи з С 'постачати одним штрихом:, а елементи з З "двома: Оскільки будь поля дійсних чисел ізоморфні, існує взаємно-однозначне відображення П† безлічі R 'на R "таке, що:

1)

2) .

Визначимо однозначне відображення f безлічі C в З "наступною умовою:.

Неважко переконатися в тому, що f - Взаємно-однозначне відображення С на З ".

Нехай . Маємо

.

Аналогічно перевіряється і умова.

В§ 5. Несуперечність аксіоматичної теорії комплексних чисел

Теорема 5.1. Аксіоматична теорія комплексних чисел несуперечлива щодо аксіоматичної теорії дійсних чисел.

Доказ. Ми вкажемо модель даної теорії. Нехай - поле дійсних чисел. Розглянемо безліч Р пар дійсних чисел і визначимо на Р бінарні операції Г… і 8 (Додавання і множення) наступними умовами:

.

Нам відомо, що - поле. Виберемо в Р підмножина R0 пар виду (а, 0). Зіставимо з кожним дійсним числом а пару. Легко бачити, що П† - взаємно-однозначне відображення R на R0. Далі, маємо:

.

Таким чином, П† - ізоморфне відображення на Отже: а) - Поле дійсних чисел;

б) поле - розширення поля.

Зауважимо також, що (1, 0) і (0,0) - одиниця і нуль поля>. Вважаємо. Маємо.

Отже, на системі виконуються перші 15 аксіом нашої теорії. Нехай, нарешті, М - підмножина Р таке, що:

а)

б)

в)

г).

Доведемо, що в такому випадку будь-який елемент безлічі Р належить безлічі М. В самому справі, маємо.

Теорема доведена.

В§ 6. Моделі комплексних чисел

Побудова моделей систем комплексних чисел сприяло кращому розумінню їх природи.

Нехай М - множина матриць другого порядку над полем дійсних чисел виду. Безлічі М належить: нульова матриця 0, одинична матриця Е і матриця I:

.

Перевіримо, що безліч М замкнуто щодо складання і множення матриць, тобто що сума і твір матриць належать М:

(1)

Легко перевірити, що множення матриць коммутативно. Так як для матриці визначник, то існує зворотна матриця і, отже, в М здійснюється розподіл. Так що безліч матриць з М утворює поле.

Матрицю можна представити сумою

,

тобто .

З (1) випливає правила додавання і множення:

(2)

Встановимо взаємно-однозначна відповідність між комплексними числами і матрицями.

З (2) випливає, що відповідність зберігається при виконанні арифметичних операцій. Отже, поле комплексних чисел ізоморфно М; тобто безліч М є моделлю поля комплексних чисел.

Уявімо матриці у вигляді, де.

Так як, то існує такий кут, що. Звідси.

Відомо, що такі матриці визначають послідовне виконання повороту площини навколо початку координат і розтягнення площини з центром на початку координат з коефіцієнтом розтягування ПЃ. Таким чином, отримано тлумачення комплексного числа як добре відоме перетворення площині.

Розглянемо ще одну модель. Нехай М - множина многочленів одного змінного над полем дійсних чисел. Безліч М є коммутативное кільце. Будемо говорити, що два многочлени і знаходяться в відношенні (позначимо), якщо ділиться на многочлен. Очевидно, що тоді і тільки тоді, коли рівні залишки від ділення на. Відзначу, що залишки будуть многочлени першого ступеня.

Теорема 6.1. Якщо і, то і.

Доказ. Перетворимо. Кожна дужка ділиться на, отже, сума ділиться на. Таким чином, . Аналогічно доводиться для суми.

Зазначене відношення є відношенням еквівалентності, бо виконуються властивості:

1) рефлексивності:

2) симетричності: якщо, то;

3) транзитивності: якщо і, то.

Звідси випливає, що кільце многочленів розпадається на непересічні класи еквівалентних многочленів. Всі многочлени одного класу мають рівні залишки від ділення на, тобто залишок (Многочлена) є характеристикою класу. Визначимо безліч К, елементами і якого є класи еквівалентних многочленів.

Сума і добуток визначаються таким чином. Вибирають будь-які два многочлена,. Обчислюють і і знаходять класи, яким належать сума і твір. Нехай. Тоді вважають . Згідно теоремі 1, сума і твір не залежать від вибору представників. Тому в якості представника будемо завжди брати многочлен (єдиний для даного класу) першого ступеня. Отже, безліч До складається тільки з многочленів першого ступеня.

Нехай. Твір. Знайдемо клас, якому належить твір, тобто залишок від ділення його на. Очевидно,, і залишок дорівнює.

Отже, твір обчислюється за правилом.

Сума.

Тим самим показано, щ...о взаємно-однозначна відповідність між комплексними числами й елементами безлічі До встановлює їх ізоморфізм. Отже, безліч До є поле комплексних чисел. Многочлен х грає роль уявної одиниці i і є рішенням рівняння.

Приклади.

Розберемо декілька прикладів моделей комплексних чисел.

№ 1.

Нехай М - множина всіх матриць другого порядку над полем дійсних чисел виду. Доведіть, що безліч М щодо операцій додавання і множення матриць ізоморфно полю всіх комплексних чисел С.

Рішення:

комплексний дійсний число матриця

- відображення.

- біектція

зберігає операцію В«+В»

- зберігає операцію «». Значить операції В«+В» і «» биективное

№ 2.

У безлічі R Г— R визначені операції: а); b) . Доведіть, що алгебра ізоморфна полю комплексних чисел. Вкажіть в цій алгебрі образ уявної одиниці і елементи, зворотний до (a, b).

Рішення:

a) ;

b)

Довести: ізоморфна полю, a, bОµR

Доказ:.

????

№ 3

Нехай M = R [x] - Кільце многочленів від однієї невідомої над полем R. На М визначимо відношення дають однакові залишки при діленні на многочлен. Доведіть, що ПЃ - Конгруенція щодо додавання і множення многочленів і фактор-кільце ізоморфно полю комплексних чисел.

Рішення:

М = R [x]

дають однакові залишки при діленні на многочлен

Нехай у відношення.

.

, де

, де

При додавання у нас вийде однаково

розділивши на

Отримаємо

№ 4.

Нехай Т = R Г— R Г— R - Безліч трійок дійсних чисел, на якому визначені операції Г… і 8 і бінарне відношення ПЃ:

,

,

.

Доведіть: алгебра - Коммутативное кільце;

1. комутативність виконується

2. асоціативність виконується

, - нейтральний елемент

, - симетричний елемент

дистрибутивного

1)

2) . Дистрибутивність виконується, оскільки (1) = (2) - доведено.

Висновок

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле - це означає, що багаточлен ступеня n з комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів. Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел в математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичні моделі, застосовувані в математичній фізиці і природничих науках.

Що ж таке модель комплексного числа?

Модель системи аксіом - це який-небудь математичних об'єкт, який відповідає даній системі аксіом. Істинність системи аксіом можна довести, тільки побудувавши модель в рамках іншої системи аксіом, яка вважається В«істинноїВ». Крім того, модель дозволяє наочно продемонструвати деякі особливості даної аксіоматичної теорії.

І так модель комплексного числа це система аксіом застосовних до даного комплексного числа, яку потрібно довести за допомогою певних операцій.

Список використовуваної літератури

1. Блох Ш.А. Числові системи. - Мінськ: Вища школа, 1982.

2. Нечаєв В. І. Числові системи. - М.: Просвещение, 1975.

3. kvant.mirror1.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm - Понтрягин Л., Комплексні числа. - Журнал Квант № 3, 1983. Електронна версія

4. ru.wikipedia.org/wiki/ - «³кіпедіяВ» електронна енциклопедія

5. Феферман С., Числові системи. - М.: Наука, 1971.

6. Ларін С. В., Числові системи. - М.: Академія, 2001.

7. Reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_algebre_i_teorii_chisel.