Рівняння Лапласа, рішення задачі Діріхле в крузі методом Фур'є

Зміст

Ведення

1.Оператор Лапласа

2.Уравненіе Лапласа в двовимірному просторі

3.Уравненіе Лапласа в випадку просторових змінних

4.Решеніе задачі Діріхле в колі методом Фур'є

Висновок

Список літератури

Лаплас рівняння тривимірний простір

Введення

П'єр-Симон Лаплас (23 березня 1749 - 5 березня 1827) - видатний французький математик, фізик і астроном; відомий роботами в області небесної механіки, диференціальних рівнянь, один з творців теорії ймовірностей. Заслуги Лапласа в області чистої та прикладної математики і особливо в астрономії величезні: він удосконалив майже всі відділи цих наук. Був членом Французького Географічного товариства.

При вирішенні прикладних завдань Лаплас розробив методи математичної фізики, широко використовувані і в наш час. Особливо важливі результати відносяться до теорії потенціалу та спеціальних функцій. Його ім'ям названо перетворення Лапласа і рівняння Лапласа. Він далеко просунув лінійну алгебру; зокрема, Лаплас дав розкладання визначника по мінор.

Лаплас розширив і систематизував математичний фундамент теорії ймовірностей, ввів виробляють функції. Перша книга В«Аналітичної теорії ймовірностейВ» присвячена математичним основам; власне теорія ймовірностей починається у другій книзі, в застосуванні до дискретним випадковим величинам. Там же - доказ граничних теорем Муавра-Лапласа та додатки до математичної обробці спостережень, статистикою народонаселення та В«Моральним наукамВ».

Лаплас розвив також теорію помилок і наближень методом найменших квадратів.

1.Оператор Лапласа

Оператор Лапласа - Диференціальний оператор, чинний в лінійному просторі гладких функцій і позначається символом. Функції F він ставить у відповідність функцію

Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції.

Градієнт-вектор, показує напрямок найшвидшого зростання деякої величини, значення якої змінюється від однієї точки простору до іншої (скалярного поля). Наприклад, якщо взяти в якості висоту поверхні Землі над рівнем моря, то її градієнт в кожній точці поверхні буде показувати В«напрямок самого крутого підйомуВ». Величина (модуль) вектора градієнта дорівнює швидкості росту в цьому напрямку. Для випадку тривимірного простору, градієнтом називається векторна функція з компонентами, де - деяка скалярна функція координат x, y, z.

Якщо - функція n змінних то її градієнтом називається n-мірний вектор

Компоненти якого дорівнюють приватним похідним по всім її аргументів. Градієнт позначається grad, або з використанням оператора Набла,

З визначення градієнта випливає, що:

Сенс градієнта будь скалярної функції f в тому, що його скалярний добуток з нескінченно малим вектором переміщення дає повний диференціал цієї функції при відповідній зміні координат у просторі, на якому визначена f, тобто лінійну (у разі загального становища вона ж головна) частина зміни f при зсуві на. Застосовуючи одну і ту ж літеру для позначення функції від вектора і відповідної функції від його координат, можна написати:

Варто тут зауважити, що оскільки формула повного диференціала не залежить від виду координат xi, то є від природи параметрів x взагалі, то отриманий диференціал є інваріантом, тобто скаляром, при будь-яких перетвореннях координат, а оскільки dx - це вектор, то градієнт, обчислений звичайним чином, виявляється коваріантного вектором, тобто вектором, представленим у дуальном базисі, який тільки і може дати скаляр при простому підсумовуванні творів координат звичайного (контраваріантного), тобто вектором, записаним в звичайному базисі.

Таким чином, вираз (взагалі кажучи - для довільних криволінійних координат) може бути цілком правильно і інваріантної записано як:

Або опускаючи по правилом Ейнштейна знак суми,

Дивергенція - диференціальний оператор, що відображує векторне поле на скалярний (тобто операція диференціювання, в результаті застосування якої до векторного поля виходить скалярний поле), який визначає (для кожної точки), В«наскільки розходиться входить і виходить із малій околиці цієї точки поле В»(точніше - наскільки розходяться вхідний і вихідний потік).

Якщо врахувати, що потоку можна приписати алгебраїчний знак, то немає необхідності враховувати входить і вихідний потоки окремо, все буде автоматично враховано при підсумовуванні з урахуванням знака. Тому можна дати більш коротке визначення дивергенції:

дивергенція - це диференціальний оператор на векторному полі, що характеризує потік даного поля через поверхню малій околиці кожної внутрішньої точки області визначення поля.

Оператор дивергенції, застосований до поля F, позначають як

або

Визначення дивергенції виглядає так:

де Фf - потік векторного поля F через сферичну поверхню площею S, що обмежує обсяг V. Ще більш загальним, а тому зручним у застосуванні, є визначення, коли форма області з поверхнею S і об'ємом V допускається будь. Єдиною вимогою є її знаходження всередині сфери радіусом, що прагнуть до нуля. Це визначення, на відміну від приводиться нижче, не прив'язане до певних координатах, наприклад, до декартовим, що може представляти додаткову зручність в певних випадках. (Наприклад, якщо вибирати околиця в формі куба або паралелепіпеда, легко виходять формули для декартових координат, наведені в наступному параграфі).

таким чином значення оператора Лапласа в точці може бути витлумачено як щільність джерел (Стоків) потенційного векторного поля gradF в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.

2.Уравненіе Лапласа в двовимірному просторі

При дослідженні стаціонарних процесів різної фізичної природи (коливання, теплопровідність, дифузія та ін) зазвичай приходять до рівнянь еліптичного типу. Найбільш поширеним рівнянням цього типу є Рівняння Лапласа

де

де u (х, у, z) - Функція незалежних змінних х, у, z. Названо по імені французького вченого П. Лапласа, що застосував його в роботах по тяжінню (1782). До рівняння Лапласа приводять багато завдань фізики і механіки, в яких фізична величина є функцією тільки координат точки. Так, рівняння Лапласа описує потенціал сил тяжіння в області, яка не містить тяжіють мас, потенціал електростатичного поля - в області, яка не містить зарядів, температуру при стаціонарних процесах і т. д. Функції, що є рішеннями рівняння Лапласа, називаються гармонійними. Рівняння Лапласа-окремий випадок Пуассона рівняння. Оператор називається оператором Лапласа.

Функція U називається гармонійної в області T, якщо вона неперервна в цій області разом зі своїми похідними до 2-го порядку і задовольняє рівнянню Лапласа.

При вивченні властивостей гармонійних функцій були розроблені різні математичні методи, що опинилися плідними і в застосуванні до рівнянь гіперболічного (наприклад, рівняння коливань струни) і параболічного типів (наприклад, рівняння теплопровідності). Ми будемо шукати рішення крайових задач для найпростіших областей методом поділу змінних. Рішення крайових задач для рівняння Лапласа може бути знайдено методом розділення змінних у випадку деяких найпростіших областей (коло, прямокутник, куля, циліндр і ін). Розглянемо деякі з них.

Тривимірне рівняння - Лапласа

Тривимірне рівняння Лапласа часто зустрічається в теорії тепло - і масопереносу, гідро та аеромеханіки, теорії пружності, електростатиці і інших областях механіки і фізики. У теорії тепло - І масопереносу воно описує стаціонарний розподіл температури при відсутності джерел тепла в розглянутій області.

...

Для тривимірного рівняння Лапласа існують також координати, що допускають 7-поділ змінних.

Чудово, що і для тривимірного рівняння Лапласа може бути побудований інтегральний оператор з аналогічним властивістю.

Координати х, у, z, що допускають рішення з - розділеними змінними. Тривимірне рівняння Пуассона, як і тривимірне рівняння Лапласа, часто зустрічається в теорії тепло - і масопереносу, гідро - і аеромеханіки, теорії пружності, електростатиці і інших областях механіки і фізики. Воно описує стаціонарний розподіл температури при наявності джерел (Або стоків) тепла в розглянутій області.

Компонента/ZQO повинна даватися скалярним рішенням тривимірного рівняння Лапласа.

Компонента/IQO повинна даватися скалярним рішенням тривимірного рівняння Лапласа.

Показати, що якщо ф (г) - рішення тривимірного рівняння Лапласа, то і ф (г) Ц - 1 - також рішення.

Завдання в цьому випадку може бути вирішена класичним методом побудови функцій Гріна для тривимірного рівняння Лапласа, але внаслідок малості поперечних розмірів капілярної трубки в порівнянні з довжиною і високої провідності металу можна вважати окружність поперечного перерізу трубки еквіпотенційної з достатньою точністю в межах роздільної здатності приладів. Тому доцільно відразу прийняти допущення про циліндричної симетрії об'єкта і вирішувати завдання більш просто з побудовою відповідного інтегро-диференціального рівняння.

Завдання в цьому випадку може бути вирішена класичним методом побудови функцій Гріна для тривимірного рівняння Лапласа, але внаслідок малості поперечних розмірів капілярної трубки в порівнянні з довжиною і високої провідності металу можна вважати окружність поперечного перерізу трубки еквіпотенційної з достатньою точністю в межах роздільної здатності приладів. Тому доцільно відразу прийняти допущення про циліндричної симетрії об'єкта і вирішити завдання більш просто з побудовою відповідного інтегро-диференціального рівняння.

Сіткові моделі використовуються для розв'язання крайових задач, описуваних двох - або навіть тривимірними рівняннями Лапласа, Гельмгольца або Фур'є.

Після розтяжки вертикальної координати в раз поставлена ​​задача в загальному випадку зводиться до вирішення тривимірного рівняння Лапласа для потенціалу швидкості ф і не має аналітичного рішення. Щоб отримати наближену формулу для дебіту горизонтальної свердловини, в роботі використовується відомий в підземній гідромеханіці прийом: тривимірна задача фільтрації замінюється двома плоскими завданнями.

Безліч інженерних завдань, пов'язаних, зокрема, з повільним стаціонарним обтіканням корпусу корабля, стаціонарної фільтрацією підземних вод, виникненням поля навколо електромагніту, а також стаціонарного електричного поля в околиці фарфорового ізолятора або заглибленого в землю електричного кабелю змінного поперечного перерізу, зводиться до вирішення тривимірних рівнянь Лапласа або Пуассона.

Такі функції називаються гармонійними; із них потрібно вибрати ті, які задовольняють граничним умовам завдання. Тому доцільно створити якомога більший запас гармонійних функцій, різні поєднання яких, а часто і кожна окремо, можуть відповідати завданням, яке має важливе практичне значення. Найбільш прості приватні рішення рівняння Лапласа можна отримати, припустивши, що потенціал Ф залежить тільки від однієї координати. Таке припущення означає, що тривимірне рівняння Лапласа в приватних похідних розпадається в деяких системах координат на три одновимірних диференціальних рівняння, кожне з яких дорівнює нулю. При цьому можна керуватися першим наслідком з теореми єдиності: електростатичне поле між двома равнопотенціальнимі поверхнями і гармонійна функція, що описує це поле, не змінюється, якщо ці поверхні зробити кордонами провідників, яким повідомлені відповідні потенціали.

На закінчення зазначимо, що розвинена методика побудови рівномірно придатного рішення для задачі входу тонкого просторового тіла в рідину (розд. Зокрема, при наявності зламу передньої кромки методика непридатна. Так, на дозвуковом режимі входу просторового тіла в рідину характеристики лінійного (зовнішнього) рішення задачі мають логарифмічну особливість в носику тіла при прагненні до нього точки поля обуреного плину по будь-якому напряму. Тому внутрішні змінні в цьому випадку необхідно вводити по всіх трьох декартових координатах xyz, що призведе до внутрішньої задачі для тривимірного рівняння Лапласа з відповідними крайовими умовами на поверхні просторового тіла в околиці носика.

Однак залишаються інші завдання, які мають також дуже серйозне значення, які відрізняються цілком певним просторовим характером. Так, якщо свердловина, що розкрила продуктивний піщаник, повністю не проходить крізь нього, то протягом в тій частині пісковика, яка не розкрита забоєм свердловини, матиме компонент швидкості, спрямований вгору і тягне рідину в свердловину. По відношенню до загальних методів розв'язання просторових завдань слід зауважити, що всі ті методи, які були розглянуті нами в додатку до плоских системам, за винятком лише одного з них, мають свої аналоги в тому випадку, коли в систему включається третя координата. Тільки метод спряжених функцій не має свого аналога для випадку тривимірного рівняння Лапласа. Все ж для вирішення практичних завдань ми знаходимо, що наявні в нашому розпорядженні методи цілком достатні для отримання шуканих результатів. Чисельні методи рішення - методи, замінюючі вихідну крайову задачу дискретної завданням, що містить кінцеве число N невідомих, перебування яких з відповідною точністю дозволяє визначити рішення вихідної задачі з заданою точністю; N залежить від і прагне до при.

3.Уравненіе Лапласа у випадку просторових змінних

має вигляд

Крайові задачі для рівняння Лапласа є окремими випадками крайових задач для рівняння Пуассона і більш загальних рівнянь еліптичного типу, а чисельні методи рішення крайових задач для рівнянь еліптичного типу містять в собі багато чисельні методи для рівняння Лапласа. Специфіка рівняння Лапласа дозволяє конструювати і використовувати методи, що володіють істотно кращими характеристиками, ніж методи для більш загальних рівнянь, хоча на практиці часто цим можливостям віддають перевагу простоті реалізації методу на ЕОМ.

Основними чисельними методами для рівнянь еліптичного типу є: варіаційно-різницеві методи (Проекційно-різницеві, методи кінцевих елементів) і різницеві методи (методи сіток). Обидва класи методів пов'язані з апроксимацією вихідної області деякій сіткової областю містить N вузлів сітки, і побудовою системи алгебраїчних рівнянь

щодо значень функції, яка визначається в цих вузлах. У варіаційно-різницевих методах, які є спеціальними випадками варіаційних та проекційних методів, використовується ідея апроксимації розглянутого простору функцій, що містить рішення вихідної задачі, деякими спеціальними конечномерное підпросторами із заданими базисними функціями, а в системі (*) вектор складається з коефіцієнтів розкладання одержуваної апроксимації шуканого рішення за обраним базису. У припущенні, що рішення вихідної задачі в обмеженій області W на площині має вигляд

де - простір Соболєва, а функції задані і відображають асимптотичне поведінку і (х) поблизу особливих точок (кутових точок кордону, точок зміни типу граничної умови), для багатьох типів областей і змішаних крайових задач ці методи дозволяють, наприклад, знайти рішення u (х) з точністю e в при витраті арифметичних дій, а в ряді більш приватних випадків оцінки обчислювальної роботи зменшуються до

4.Решеніе задачі Діріхле в крузі методом Фур'є

Знайти функцію U, що задовольняє рівнянню:

всередині кола

І граничній умові

на кордоні кола,

Де - задана функція, - полярний кут.

Введемо полярну систему координат з початком в центр...і кола.

- полярні координати.

Рівняння (1) в полярних координатах має вигляд

Вирішимо рівняння методом розділення змінних, тобто будемо шукати частинний розв'язок рівняння (1), виду

Підставляючи передбачувану форму рішення в рівняння (3), отримаємо

Звідси отримаємо два звичайних диференціальних рівняння:

Визначимо знак :

1 випадок. Нехай наприклад

Розглянемо рівняння (5)

Характеристичне рівняння має вигляд

Це рішення не підходить, так як при зміні кута на величину однозначна функція повинна повернутися до вихідного значенням (умова періодичності).

Звідси випливає, що є періодичною функцією кута з періодом.

2 випадок Нехай, тоді

- це рішення підходить для рівняння (5) системи за умови, що А = 0.

Розглянемо рівняння (4) системи:

Нехай, тоді:

Таким чином, отримуємо: - рішення рівняння в загальному випадку.

3 випадок Нехай.

Рішення рівняння (5):

причому q.

Розглянемо рівняння (4) системи:

Функцію будемо шукати у вигляді

Підставимо в рівняння (4):

Отже, - Рішення рівняння, де C і D-постійні. Для вирішення внутрішньої задачі треба покласти, так як, якщо, то функція звертається в нескінченність при і не є гармонійної функцією всередині кола. Отже, приватні рішення нашої задачі знайдені:

,

вид спільного рішення.

Задовольнимо крайовій умові:

Фур'є

Підставляючи вирази отримаємо

Висновок

Таким чином

Цей результат однозначно. Його значення
с.

2. математичний

3. звичайних диференціальних рівнянь. - Мінськ, 1963.

4. математики.