Вибрані теореми геометрії тетраедра

a) Плоский

b) Якщо Властивість

Рішення.

В§ 4. Равногранние тетраєдри

Равногранним називається тетраедр, всі грані якого рівні. Щоб уявити собі равногранний тетраедр, візьмемо довільний гострокутний трикутник з паперу, і будемо згинати його за середніми лініях. Тоді три вершини зійдуться в одну точку, а половинки сторін зімкнуться, утворюючи бічні ребра тетраедра.

(0) Грані конгруентний.

(1) схрещують ребра попарно рівні.

(2) Тригранні кути рівні.

(3) Протилежні двогранні кути рівні.

(4) Два плоских кута, спираються на одне ребро, рівні.

(5) Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 В°.

(6) Розгортка тетраедра - трикутник або паралелограм.

(7) Описаний паралелепіпед прямокутний.

(8) Тетраедр має три осі симетрії.

(9) Загальні перпендикуляри перехресних ребер попарно

перпендикулярні.

(10) Середні лінії попарно перпендикулярні.

(11) периметру граней дорівнюють.

(12) Площі граней дорівнюють.

(13) Висоти тетраедра дорівнюють.

(14) Відрізки, що сполучають вершини з центрами тяжіння протилежних граней, рівні.

(15) Радіуси описаних близько граней окружностей рівні.

(16) Центр ваги тетраедра збігається з центром описаної сфери.

(17) Центр ваги збігається з центром уписаної сфери.

(18) Центр описаної сфери збігається з центром вписаного.

(19) Вписана сфера стосується граней в центрах описаних близько цих

граней окружностей.

(20) Сума зовнішніх одиничних нормалей (одиничних векторів,

перпендикулярних до граням), дорівнює нулю.

(21) Сума всіх двогранні кутів дорівнює нулю.

Практично всі властивості равногранного тетраедра слідують з його

виз...начення, тому доведемо тільки деякі з них.

Доказ (16).

Т.к. тетраедр ABCD равногранний, то по властивості (1) AB = CD . Нехай точка К відрізка АВ , а точка L середина відрізка DC , звідси відрізок KL бімедіана тетраедра ABCD , звідки за властивостями медіан тетраедра випливає, що точка Про - Середина відрізка KL , є центром тяжіння тетраедра ABCD .

До того ж медіани тетраедра перетинаються в центрі ваги, точці Про , і діляться цією точкою у відношенні 3:1, рахуючи від вершини. Далі, враховуючи вищесказане і властивість (14) равногранного тетраедра, отримуємо наступне рівність відрізків АТ = ВО = СО = DО , з якого і слід, що точка Про є центром описаної сфери (по визначенню описаної близько багатогранника сфери).

Зворотно. Нехай К та L - середини ребер АВ і СD відповідно, точка Про - Центр описаної сфери тетраедра, тобто середина відрізка KL . Т.к. Про - Центр описаної сфери тетраедра, то трикутники AOB і COD - рівнобедрені з рівними бічними сторонами і рівними медианами OK і OL . Тому О”AOB = О”COD . А значить AB = CD . Аналогічно доводиться рівність інших пар протилежних ребер, з чого по властивості (1) равногранного тетраедра і буде слідувати шукане.

Доказ (17).

Розглянемо біссектор двогранного кута при ребрі AB , він розділить відрізок DC щодо площ граней ABD і ABC .

Т.к. тетраедр ABCD равногранний, то по властивості (12) S О”ABD = S О”ABD => DL = LС , звідки випливає, що біссектор ABL містить бімедіану KL . Застосовуючи аналогічні міркування для решти двогранні кутів, і беручи до уваги той факт, що біссектори тетраедра перетинаються в одній точці, яка є центром уписаної сфери, отримуємо, що ця точка неминуче буде центром тяжіння даного равногранного тетраедра.

Зворотно. З того, що центр ваги і центр вписаної сфери збігаються маємо наступне: DL = LC => SABD = SADC . Доводячи подібним чином рівновеликих всіх граней і, застосовуючи властивість (12) равногранного тетраедра, отримуємо дані.

Тепер доведемо властивість (20). Для цього спочатку треба довести одне з властивостей довільного тетраедра.

тетраедр теорема шкільний підручник

Лемма 1.

Якщо довжини векторів перпендикулярних до граням тетраедра чисельно рівні площам відповідних граней, то сума цих векторів дорівнює нулю.

Доказ.

Нехай Х - точка внутр і багатогранника, h i (i = 1,2,3,4) - відстань від неї до площині i -ої грані.

Разрежем багатогранник на піраміди з вершиною Х , підставами яких служать його грані. Обсяг тетраедра V дорівнює сумі обсягів цих пірамід, тобто 3 V = ОЈh i S i , де S i площа i -ої грані. Нехай далі, n i - одиничний вектор зовнішньої нормалі до i-ої грані, M i - довільна точка цієї грані. Тоді h i = (хm i , S i n i ) , тому 3V = ОЈh i S i = ОЈ (хm i , S i n i ) = (ХО, S i n i ) + (ОM i , S i n i ) = (ХО, ОЈS i n i ) +3 V , де Про - деяка фіксована точка тетраедра, отже, ОЈS i n i = 0 .

Далі очевидно, що властивість (20) равногранного тетраедра є окремим випадком вищевказаної леми, де S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4 , і так як площі граней не дорівнюють нулю, одержуємо правильне рівність n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 0 .

На закінчення розповіді про равногранном тетраедра наведемо кілька завдань на цю тему.

Задача 1.

Пряма, що проходить через центр мас тетраедра і центр описаної біля нього сфери, перетинає ребра AB і CD . Доведіть, що AC = BD і AD = BC .

Рішення.

Центр мас тетраедра лежить на прямій, що сполучає середини ребер АВ і СD .

Отже, на цій прямий лежить центр описаної сфери тетраедра, а значить, зазначена пряма перпендикулярна ребрах АВ і СD . Нехай З ` і D` - проекції точок C і D на площину, що проходить через пряму АВ паралельно СD . Т.к. AC `BD` - паралелограм (по побудові), то АС = ВD і АD = НД .

Завдання 2.

Нехай h - висота равногранного тетраедра, h 1 і h 2 - відрізки, на які одна з висот межі ділиться точкою перетину висот цієї грані. Довести, що h 2 = 4h 1 h 2 ; довести також, що підстава висоти тетраедра і точка перетину висот межі, на яку ця висота опущена, симетричні щодо центру кола, описаної близько цій межі.

Доказ.

Нехай АВСD - даний тетраедр, DH - його висота, DA 1 , DВ 1 , DС 1 - висоти граней, опущені з вершини D на боку НД, СА та АВ .

Разрежем поверхню тетраедра уздовж ребер DA, DB, DC , і зробимо розгортку. Очевидно, що Н є точка перетину висот трикутника D 1 D 2 D 3 . Нехай F - точка перетину висот трикутника ABC, АК - висота цього трикутника, АF = h 1 , FК = h 2 . Тоді D 1 Н = 2h 1 , D 1 A 1 = h 1 -h 2 .

Значить, оскільки h - Висота нашого тетраедра, h 2 = DН 2 = DA 2 - нa 1 2 = (H 1 + h 2 ) 2 - (h 1 - h 2 ) 2 = 4h 1 h 2. Нехай тепер М - центр ваги трикутника ABC (він же центр ваги трикутника D 1 D 2 D 3 ), Про - Центр описаної біля нього окружності. Відомо, що F, М і Про лежать на одній прямій (пряма Ейлера), причому М - між F і Про , FM = 2МО , З іншого боку, трикутник D 1 D 2 D 3 гомотетічен трикутнику АВС з центром в М та коефіцієнтом (-2), Значить МН = 2FM . З цього випливає, що ОН = FO .

Завдання 3.

Довести, що в равногранном тетраедра підстави висот, середини висот і точки перетину висот граней лежать на поверхні однієї сфери (сфери 12 точок).

Доказ.

Вирішуючи задачу 2, ми довели, що центр описаної близько тетраедра сфери проектується на кожну грань в середину відрізка, кінцями якого є підстава висоти, опущеної на цю грань, і точка перетину висот цієї грані. А оскільки відстань від центру описаної близько тетраедра сфери до грані одно, де h - висота тетраедра, центр описаної сфери віддалений від даних точок на відстань, де а - відстань між точкою перетину висот і центром описаної близько грані окру...жності.

В§ 5. Інцентріческіе тетраєдри

Відрізки, що сполучають центри тяжкості граней тетраедра з протилежними вершинами (медіани тетраедра), завжди перетинаються в одній точці, ця точка - центр ваги тетраедра. Якщо в цьому умові замінити центри тяжкості граней на ортоцентр граней, то воно перетвориться на нове визначення ортоцентрического тетраедра. Якщо ж замінити їх на центри вписаних в межі окружностей, званих іноді інцентрамі, ми отримаємо ухвалу нового класу тетраедрів - інцентріческіх.

Ознаки класу інцентріческіх тетраедрів теж досить цікаві.

(1) Відрізки, з'єднують вершини тетраедра з центрами кіл, вписаних в протилежні грані, перетинаються в одній точці.

(2) Бісектриси кутів двох граней, проведеним до загального ребру цих граней, мають спільне підстава.

(3) Твори довжин протилежних ребер дорівнюють.

(4) Трикутник, утворений другими точками перетину трьох ребер, що виходять з однієї вершини, з будь сферою, що проходить через три кінця цих ребер, є рівностороннім.

Доказ (2).

По властивості (1), якщо DF, BE, CF, AM - бісектриси відповідних кутів у трикутниках АВС та FBD , то відрізки КС і LD матимуть спільну точку I (Див. мал). Якщо ж прямі DK і СL не перетинаються в точці F , то, очевидно, КС і DL не перетинаються, чого бути не може (по визначенню інцентріческого тетраедра).

Доказ (3).

Враховуючи властивість (2) і властивість бісектриси, отримуємо співвідношення:

; .

В§ 6. співмірність тетраєдри

співмірність називаються тетраєдри, у яких

(1) Бівисоти дорівнюють.

(2) Проекція тетраедра на площину, перпендикулярну будь бімедіане, є ромб.

(3) Грані описаного паралелепіпеда рівновеликі.

(4) 4а 2 а 1 2 - (A 2 + a 1 2 -b 2 -b 1 2 ) 2 , де а і а 1 , b і b 1 , з і з 1 - довжини протилежних ребер.

Для доказу еквівалентності визначень (1) - (4) достатньо зауважити, що бівисоти тетраедра рівні висот паралелограма, що є його проекцією, згадуваної у властивості (2), і висот описаного паралелепіпеда, і що квадрат площі паралелепіпеда, що містить, скажімо, ребро с, дорівнює, а скалярний добуток виражається через ребра тетраедра за формулою (4).

Додамо сюди ще два умови домірності:

(5) Для кожної пари протилежних ребер тетраедра площини, проведені через одне з них і середину другого, перпендикулярні.

(6) В описаний паралелепіпед розмірного тетраедра можна вписати сферу.

В§ 7. Правильні тетраєдри

Якщо ребра тетраедра рівні між собою, то рівні між собою будуть і тригранні, і двогранні, і плоскі кути. У такому випадку тетраедр називається правильним. Зауважимо також, що такий тетраедр є і ортоцентрического, і каркасним, і равногранним, і інцентріческім, і відповідним.

Зауваження 1.

Якщо тетраедр є равногранним і належить до одного з наступних видів тетраедрів: ортоцентрического, каркасний, інцентріческій, співрозмірний, то він буде і правильним.

Зауваження 2.

Тетраедр є правильним, якщо він належить до двох будь-яких видів тетраедрів з перерахованих: ортоцентрического, каркасний, інцентріческій, співрозмірний, равногранний.

Властивості правильного тетраедра:

Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. А значить, сума плоских кутів при кожній вершині буде дорівнює 180 Вє

(0) В правильний тетраедр можна вписати октаедр, притому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.

(1) Правильний тетраедр складається з одного вписаного октаедра (в центрі) і чотирьох тетраедрів (По вершинах), причому ребра цих тетраедрів і октаедра вдвічі менше ребер правильного тетраедра

(2) Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба.

(3) Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.

Задача 1.

Довести, що мимобіжні ребра правильного тетраедра взаємно перпендикулярні.

Рішення:

Нехай DH - висота правильного тетраедра, точка H - центр правильного О” ABC . Тоді проекцією відрізка AD на площину підстави ABC буде відрізок BH . Т.к. BH пЃћ AC , то по теоремі про три перпендикуляри похила BD пЃћ AC .

Завдання 2.

Дан правильний тетраедр МАВС з ребром 1. Знайдіть відстань між прямими AL і МО , де L -середина ребра МС , Про -центр грані АВС.

Рішення:

1. Відстань між двома мимобіжними прямими - це довжина перпендикуляра, опущеного з однієї прямої, до площини, паралельної цій прямий і містить Другий прямий.

2. Будуємо проекцію AK відрізка AL на площину ABC . Площина AKL перпендикулярна площині ABC , паралельна прямій MO і містить пряму AL . Значить, шукана довжина - це довжина перпендикуляра ON , опущеного з точки O до AK .

3. Знайдемо S О” KHA двома способами.

S О” = .

З іншого боку: S О” KHA =

тому ПЃ.

Знайдемо ON : ПЃ =.

Завдання 3.

Кожне ребро трикутної піраміди PABC дорівнює 1; BD - висота трикутника ABC . Рівносторонній трикутник BDE лежить в площині, що утворює кут П† з ребром AC , причому точки P і E лежать по одну сторону від площини ABC . Знайдіть відстань між точками P і E .

Рішення. Оскільки всі ребра піраміди PABC рівні, це правильний тетраедр. Нехай M - центр підстави ABC , N - ортогональна проекція вершини E рівностороннього трикутника BDE на площину ABC , K - середина BD , F - підстава перпендикуляра, опущеного з точки E на висоту PM тетраедра PABC . Так як EK BD , то по теоремі про трьох перпендикулярах NK BD , тому EKN - лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами ABC і BDE , а тому NK | | AC , то EKN = П† . Далі маємо:

BD = , MD = , KD = , BD = , PM = ,

KM = KD - MD = - = , EK = BD В· ... = , EN = EK sin П† < i> = sin П† ,

NK = EK cos П† = cos П† , MN 2 = NK 2 + KM 2 = cos 2 П† + ,

PE 2 = EF 2 + PF 2 = MN 2 + ( PM - MF ) 2 = MN 2 + ( PM - EN ) 2 =

= cos 2 П† + + ( - sin П† ) 2 = cos 2 П† + + - sin П† + sin 2 П† == + + - sin П† = - sin П† = - sin П† .

Отже,

PE = = .

Завдання 4.

Знайди кути між мимобіжними висотами сусідніх граней тетраедра.

Рішення.

Випадок № 1.

Нехай BK і DF - Висоти граней ABC і BCD. BK, FD = О± . Позначимо довжину ребра тетраедра як a . Проведемо FL | | BK , тоді О± = DFL . , KL = LC .

Запишемо теорему косинусів для О” DLF :

;;;.

Випадок № 2 (висота розташована інакше).

BK і CN - висоти граней ABC і BCD . Проведемо FP | | CN і FL | | BK . ;. Знайдемо LP . DO - висота правильного тетраедра, DO = , Q - Проекція P на площину ABC ,. ,

;

.

Запишемо теорему косинусів для О” LFP :

;;

.

Так як кут між прямими по визначенню гострий

.

Глава II. Тетраедр в курсі математики середньої школи

В§ 1. Порівняльна характеристика викладу теми В«тетраедрВ» в шкільних підручниках

В шкільному курсі геометрії на вивчення основ теми В«ТетраедрВ» відводиться досить багато часу. Методичних проблем проведення цієї теми практично не виникає, так як учні знають, що таке піраміда (в т.ч. і трикутна), як з пропедевтичних курсів колишніх років навчання математики, так із життєвого досвіду. Правильний тетраедр асоціюється з його плоским аналогом - правильним трикутником, а рівність сторін з рівністю ребер або граней.

Однак проблеми у вивченні теми для учнів існують, і різні підручники намагаються вирішити їх різними способами (порядком викладу теоретичного матеріалу, рівнем складності завдань і т.п.). Дамо коротку характеристику найпоширеніших підручників геометрії в аспекті вивчення тетраедра.

Виклад теми В«ТетраедрВ» у підручнику В«ГеометріяВ» для 10-11 класів Атанасян Л. С. та ін

У базовому підручнику В«ГеометріяВ» для 10-11 класів середньої школи Атанасян Л. С. та ін інформацію про тетраедра можна знайти в 7 параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Автори підручника визначають тетраедр як поверхню, складену з чотирьох трикутників. З теоретичної бази підручника для 10 класу можна почерпнути знання про гранях, ребрах і вершинах тетраедра, про побудову перерізів тетраедра площиною, обчисленні площі повної поверхні тетраедра, в т.ч. і

Далі багатогранників.

Теоретичний Деякий

Рішення задач.

Рішення.

Т.к.

Т.к.

Т.к.

.

Підставою

Рішення:

1)

2)

3)

Рішення задач.

Підстава

Рішення:

Проведемо

Висловимо

З іншого

Рішення.

Так як всі

Далі, в

В Тоді

.

Площа

.

Розглянемо навчальний з параграфів.

Відмінна риса

Рішення задач.

Задача 1.

В дану оснований піраміди.

Рішення.

Зобразимо на кресленні В«повнуВ» піраміду. Дана піраміда, - висота В«повноїВ» піраміди, - її частина до верхнього підстави усіченої. Задача зводиться до планіметричних, при цьому не треба малювати жодної з даних сфер. Т.к. в усічену піраміду можна вписати сферу, яка стосується всіх ребер, то в її бічну грань можна вписати окружність. Позначимо, (для зручності поділу навпіл) і для описаного чотирикутника отримаємо, що, звідки

. (1)

З існування вписаного кулі випливає, що існує півколо, розташована в трапеції (- апофема В«повноїВ» піраміди) так, що її центр лежить у середині, а сама вона стосується інших трьох сторін трапеції.

- центр кулі, і - точки дотику. Тоді. Висловимо ці величину через і. З:. З:. З трапеції:. Отримуємо рівняння:

. (2)

Вирішивши систему рівнянь (1) і (2), отримаємо, що сторони підстав рівні.

Задача 2 .

Усередині правильного тетраедра з ребром a розташовані чотири рівні сфери так, що кожна сфера стосується трьох інших сфер і трьох граней тетраедра. Знайти радіус цих сфер.

Рішення .

- даний тетраедр, - його висота, - центри сфер, - точка перетину прямої з площиною. Зауважимо, що центри рівних сфер, що стосуються площині, віддалені від неї на рівні відстані, кожне з яких дорівнює радіусу кулі (позначимо його як x ). Значить площиною паралельно, а тому.

Далі, кожна пара куль стосується між собою, а тому відстань між центрами дорівнює сумі їх радіусів, тобто 2 x . Маємо:

. Але як висота правильного тетраедра з ребром; як висота правильного тетраедра з ребром 2 x ;.

Залишилося висловити. Зауважимо, що точка знаходиться всередині тригранного кута і віддалена від його граней на відстань, а плоскі кути тригранного кута дорівнюють. Не складно отримати те, що. Приходимо до рівняння:

, звідки після спрощень отримуємо.

Виклад теми В«ТетраедрВ» у підручнику В«ГеометріяВ» для 10-11 класів Смирнової І.М.

Викладу теми В«ТетраедрВ» в підручнику для 10-11 класів гуманітарного профілю Смирнової І.М. присвячені наступні заняття: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Після вивчення теореми про те, що В«Всякий опуклий багатогранник може бути складений з пірамід із загальною вершиною, підстави яких утворюють поверхню багатогранника В»розглядається теорема Ейлера для деяких таких багатогранників, зокрема, виконання умов теореми розглянуто і для трикутної піраміди, яка, по суті, і є тетраедр.

Підручник цікавий тим, що в ньому розглядається топологія і топологічно правильні многогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб, додекаедр), чиє існування обгрунтовується за допомогою тієї ж теореми Ейлера.

Крім цього в підручнику наведено визначення поняття В«правильна пірамідаВ»; розглядаються теореми про існування вписаною і описаної сфер тетраедра, деякі властивості симетрії, що стосуються тетраедра. На заключному занятті (35) наводиться формула знаходження об'єму трикутної піраміди.

Для даного навчального посібника характерний великий обсяг ілюстративного і історичного матеріалу, а також невеликий обсяг практичного матеріалу, зумовлений спрямованістю підручника. Розглянемо також підручник Смирнової І.М. та ін для 10-11 класів природничо-наукового профілю.

Виклад теми В«ТетраедрВ» у підручнику В«ГеометріяВ» для 10-11 класів Смирнової І.М. та ін

Від попереднього навчального посібники дане відрізняється комп...онуванням тим і рівнем складності пропонованих до вирішенню завдань. Відмінною особливістю викладу матеріалу є розподіл його на В«семестриВ», яких в підручнику чотири. Тетраедр згадується в самому першому параграфі (В«Введення в стереометриюВ»), поняття В«пірамідаВ» визначається у В§ 3.

Як і в попередньому підручнику практичний матеріал доповнений завданнями з розгорткою стереометричних фігур. У матеріалі В§ 26 можна знайти теорему про сферу, вписаною в тетраедр. Решті теоретичний матеріал, що стосується тетраедра, фактично збігається з матеріалами підручника, охарактеризованого вище.

Рішення задач.

Задача 1.

Знайдіть найкоротший шлях по поверхні правильного тетраедра ABCD з'єднує точки E і F , розташовані на висотах бічних граней в 7 см від відповідних вершин тетраедра. Ребро тетраедра дорівнює 20 см.

Рішення.

Розглянемо розгортку трьох граней тетраедра. Найкоротшим шляхом буде відрізок, що з'єднує точки E і F . Його довжина дорівнює 20 см.

Завдання 2.

У підставі піраміди лежить прямокутний трикутник, один з катетів якого дорівнює 3 см, а прилегла до нього гострий кут дорівнює 30 градусам. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом в 60 градусів. Знайдіть об'єм піраміди.

Рішення.

Площа трикутника ABC дорівнює. Підставою висоти служить середина. Трикутник SAC - рівносторонній ..

Звідси і, отже, обсяг піраміди дорівнює.

Висновок.

Відмінною особливістю підручника Атанасян Л.С. та ін є те, що вивчення тетраедра починається досить рано, матеріал розкиданий по всьому курсу і представлений в різних рівнях складності. У підручнику Погорєлова А.В. матеріал розташований компактно, поняття В«тетраедрВ» як і поняття інших просторових фігур, вводиться досить пізно (в кінці 10 класу), практичний матеріал, представлений в підручнику, невеликого об'єму. У підручнику Смирнової І.М. та ін теоретичний матеріал, як і практичний має невеликий об'єм, практичний завдання низького рівня складності, підручник відрізняється великим обсяг матеріалу з історії математики. У підручнику Александрова А.Д. та ін рівень складності матеріалу вище, сам матеріал різноманітніше, безліч практичних завдань містить деяку частину теорії, є екстремальні задачі і задачі у вигляді питань, що вигідно виділяє його на тлі інших.

В§ 2. Тестування рівня розвитку просторового мислення в учнів середньої школи

Інтелект - це здатність до навчання або розуміння, яка властива всім людям. Одні люди володіють нею в більшому ступені, інші - меншою, однак у кожної людини в Протягом життя ця здатність зберігається практично без змін. Саме завдяки інтелекту ми здатні правильно діяти і вчитися на своїх помилках.

У психології інтелект визначається, як здатність сприймати знання і використовувати їх в інших, принципово нових ситуаціях. В умовах тестування можна визначити, наскільки успішно адаптується людина до незвичайних ситуацій. Визначення рівня загального інтелектуального розвитку за допомогою тесту - досить важка і ємна за часом робота, тому в тексті даної роботи буде використовуватися частина методики тестування інтелекту, що відповідає на питання про рівень розвитку просторового мислення. Просторове мислення - це специфічний вид розумової діяльності, яка має місце у вирішенні завдань, що вимагають орієнтації в практичному і теоретичному просторі (як видимому, так і уяву). У своїх найбільш розвинених формах це мислення зразками, в яких фіксуються просторові властивості і відносини. Оперуючи вихідними образами, створеними на різній наочній основі, мислення забезпечує їх видозміна, трансформацію і створення нових образів, відмінних від вихідних.

Використовуваний тест (В«Міні-тест рівня розвитку просторового мисленняВ» з В«Першого тесту на коефіцієнт розвитку інтелекту В»Ф. Картера, К. Рассела) універсальний для всіх вікових груп і займає малий об'єм часу (30 хвилин). Текст тесту і його ключі можна знайти в В«Додатку № 1В» до диплома.