DataLife Engine > Версия для печати > Диференціальна геометрія поверхонь Каталана

Зміст

Глава 1. Введення в диференціальну геометрію поверхонь. Основні поняття

1.1 Перша квадратична форма поверхні

1.2 Внутрішня геометрія поверхні

1.3 Друга квадратична форма поверхні

1.4 Класифікація точок регулярної поверхні

1.5 Середня та гауссова кривизни поверхні

Глава 2. Поняття поверхні Каталана

2.1 Загальні положення

2.2 Приклади поверхонь Каталана

2.3 Види поверхонь Каталана

Глава 3. Диференціальна геометрія поверхонь Каталана

3.1 Перша і друга квадратичні форми лінійчатої поверхні

3.2 Перша і друга квадратичні форми поверхні Каталана

3.3 Про коноида

Глава 4. Спеціальні поверхні Каталана (поверхні класу КА)

4.1 Виведення рівняння поверхні класу КА

4.2 Виведення рівняння поверхні класу КА по заданих кривих і нормальному вектору породжує площині

Глава 5. Диференціальна геометрія поверхонь класу КА

5.1 Перша і друга квадратичні форми лінійчатої поверхні

5.2 Перша квадратична форма поверхні класу КА

5.3 Друга квадратична форма поверхні класу КА

Глава 6. Про програму візуалізації і аналізу поверхонь

6.1 Загальні положення і можливості програми

6.2 Приклади роботи

Висновки

Список літератури

Глава 1. Введення в диференціальну геометрію поверхонь.

Основні поняття

1.1 Перша квадратична форма поверхні

Нехай - гладка поверхня, - її векторне параметричне рівняння і.

Визначення 1.1.

Першої квадратичної формою на поверхні називається вираз

(1)

Розпишемо це вираз докладніше.

Звідки (2)

Вираз (2) в кожній точці поверхні являє собою квадратичну форму від диференціалів і. Перша квадратична форма є знакоположітельной, так як її дискримінант

і.

Для коефіцієнт першого квадратичної форми часто використовують такі позначення (і ми в своїх дослідженнях будемо дотримуватися саме їх) ([1]. [2], [3]):

Так що вираз (2) для форми можна переписати у вигляді

(3)

Відповідно,

1.2 Внутрішня геометрія поверхні

Відомо, що, знаючи першої квадратичної форми поверхні, можна обчислювати довжини дуг кривих на поверхні, кути між кривими і площі областей на поверхні. У самому справі, якщо розглянути формули, що визначають вищевказані величини, можна зауважити, що туди входять тільки лише коефіцієнти,, першої квадратичної форми. Тому якщо відомі перші квадратична форма поверхні, можна досліджувати геометрію на поверхні, не звертаючись до її рівнянням, а лише використовуючи її першої квадратичної форми.

Сукупність геометричних фактів, що відносяться до поверхні, які можна отримати при допомоги її першої квадратичної форми, складає так звану внутрішню геометрію поверхні.

Поверхні, що мають однакові першої квадратичної форми і тому мають однакову внутрішню геометрію, називаються ізометричний.

Розглянемо простий приклад.

Нехай задана поверхня

Це циліндрична поверхню з синусоїдою в якості направляючої.

Маємо:

Тому

Отже,

Якщо зробити заміну, вводячи нові параметри і таким чином

Тоді перша квадратична форма поверхні прийме, очевидно, вид

Ми бачимо, що в нових змінних першої квадратичної форми розглянутої циліндричної поверхні збігається з першою квадратичною формою площині і тому внутрішня геометрія цієї поверхні збігається з внутрішньою геометрією площині. Тобто синусоїдальний циліндр ізометрічен площині. Цей важливий факт ми ще отримаємо дещо іншим способом.

Чисто геометрично це властивість зрозуміло: синусоїдальний циліндр виходить вигинанням (тобто деформацією без стиснень і розтягувань) звичайної площині. При такій деформації внутрішня геометрія не змінюється.

Більш того, можна показати, що якщо одна поверхня виходить з іншої шляхом згинання, то внутрішні геометрії цих поверхонь збігаються.

1.3 Друга квадратична форма поверхні

1.3.1. Визначення другий квадратичної форми.

Основним об'єктом розгляду в цій частині викладу стане - регулярна поверхня, задана своїм радіус-вектором.

У кожній точці такої поверхні крім одиничного вектора нормалі

(1)

Визначено і другий диференціал радіус вектора

(2)

Визначення 1.2.

Другий квадратичної формою поверхні називається скалярний добуток векторів і .

([1], [3], [4], [5]) (3)

Неважко помітити, що в кожній точці поверхні квадратична форма (3) є квадратичною формою щодо диференціалів і.

Для коефіцієнтами другого квадратичної форми прийняті (і ми також надалі будемо користуватися цим) наступні позначення

(4)

Це дозволяє записати її в наступному простому вигляді

(5)

Покажемо ще один спосіб обчислення коефіцієнтами другого квадратичної форми поверхні.

Замінимо в формулах (4) одиничний вектор нормалі на його вираз (1), отримаємо,

(6)

Для докладного виводу потрібно знати тотожність:

Продовжимо міркування.

Так як вектори і ортогональні (перший, зрозуміло лежить у дотичній площині до поверхні, а другий лежить в площині нормального перерізу).

Тому

Звідки

Звідси, диференціюючи, отримаємо:

(7)

Це дає ще один спосіб розрахунку другого квадратичної форми.

([5], [6]) (8)

Звідси ж можна одержати нові формули для обчислення коефіцієнтами другого квадратичної форми. Втім, зручніше продиференціювати по і по очевидні рівності

і.

Скориставшись співвідношеннями (4), отримуємо, що

(9)

Друга квадратична форма ефективна при з'ясуванні графічних властивостей регулярної поверхні.

1.4 Класифікація точок регулярної поверхні

Нехай - регулярна поверхню і - її параметричне завдання.

Виберемо на поверхні деяку точку та розглянемо площину, яка стосується поверхні в цій точці.

Відхилення довільної точки поверхні від площині визначимо за формулою

(1)

У цій формулі - одиничний вектор нормалі до поверхні в точці. Це відхилення, взяте за абсолютній величині, дорівнює відстані від точки до площини. Відхилення додатне, якщо точка і кінець вектора лежать по одну сторону від дотичної площини, відповідно, воно негативно, якщо вони лежать по різні боки від дотичної площини в точці.

Розглянемо формулу (1).

Різниця допускає наступну інтерпретацію

(2)

Де

, при.

Помножимо обидві частини рівності (2) скалярно на вектор і поклавши

Отримаємо, що

(3)

Зрозуміло, вдумливий (Або хоча б трохи читає ці викладки) читач зрозуміє, що коефіцієнти

зазначені у формулі (3) обчислені в точці, в околиці якої ми і розглядаємо вихідну поверхню.

З курсу лінійної алгебри відомо, що властивості квадратичної форми багато в чому визначаються її дискримінант. А скоріше навіть знайомий квадратичної форми.

Обчислимо дискримінант другий квадратичної форми в точці.

Розглянемо всі можливі випадки. ([7], [8], [9], [10], [11])

Випадок 1.

Тобто друга квадратична форма поверхні в заданій точці є знакоопределенной.

Зафіксуємо в точці деякий напрямок на поверхні. Нехай.

Тоді будь-яке інше напрямок на пове...рхні в точці можна задавати за допомогою кута, який воно утворює з вже обраним напрямком.

Покладемо

Тоді

(4)

Неважко показати, що

де постійна

а в силу умови

позитивна.

Таким чином нерівність

виконується незалежно від вибору кута.

Так як порядок прагнення до нуля при другого доданка в правій частині формули (3) вище двох, то з останньої оцінки можна зробити наступний висновок.

Відхилення зберігає знак (Що співпадає зі знак другого квадратичної форми) для всіх досить малих значень незалежно від вибору напрямку на поверхні.

Це означає, що всі точки поверхні, досить близькі до точки, розташовуються по одну сторону від дотичної площини поверхні в цій точці. Така точка поверхні називається еліптичною точкою.

Наприклад, всі точки сфер - Еліптичні. ([6], [8])

Випадок 2.

Друга квадратична форма є знакозмінного.

Покажемо, що в цьому випадку, в точці можна вказати два неколінеарних направлення на поверхні, що володіють наступними властивостями:

- для значень диференціалів, що визначають ці напрямки, друга квадратична форма поверхні, обчислена в точці, звертається в нуль,

- всі інші направлення на поверхні в точці розбиваються на два класи - для диференціалів, що визначають напрямки одного з цих класів, друга квадратична форма позитивна і для іншого негативна.

Нехай деякий напрямок позитивного класу задається кутом. У відповідності з формулою (4) маємо

, ([1], [4], [11])

де

Як видно з формули (3), знак відхилення для всіх достатньо малих значень в розглянутому напрямку збігається зі знак другого квадратичної форми. Отже, якщо точка поверхні достатньо близька до точки, то це відхилення позитивно.

Міркуючи аналогічно, можна вказати точки на поверхні, близькі до точки, для яких відхилення буде негативним.

Наведені міркування показують, що поблизу точки поверхня розташовується по різні сторони від дотичної площини. При цьому проекції точок поверхні, відхилення яких розташовані на дотичний площині заповнюються безліч В«МіжВ» цими напрямками ...

У цьому випадку точка називається гіперболічної точкою поверхні.

Випадок 3.

Але відмінний від нуля хоч б один з коефіцієнтів,,.

Нехай для визначеності. Тоді друга квадратична форма поверхні в точці може бути записана в наступному вигляді

Тим самим в залежності від знака форма або неотрицательна, або непозитивно. При цьому на поверхні в точці можна вказати напрямок, таке, що визначають його диференціали і звертають друге квадратичну форму в нуль.

Для всіх інших напрямків на поверхні в точці форма має один і той же знак (Що співпадає зі знаком)

У цьому випадку точка називається параболічної точкою поверхні.

Випадок 4. ([1], [11], [12])

Така точка називається точкою уплощения поверхні. Розташування поверхні, поблизу таких точок може бути найрізноманітнішим.

Наприклад, всі точки площині є точками уплощения.

1.5 Середня та гауссова кривизни поверхні

Нам залишилося розглянути ще трохи понять, перш ніж приступити до досліджень. Розглянемо на поверхні довільну - Регулярну кривою, що проходить через точку в напрямку.

Нехай

- природна параметризація кривої. Обчислимо в точці три вектори

- одиничний вектор дотичної до кривої

- одиничний вектор нормалі до поверхні

- і вектор

Ця трійка векторів лінійно незалежна. Це дозволяє представити вектор

у вигляді лінійної комбінації

Так як, то

Коефіцієнти і мають спеціальні назви.

- нормальна кривизна кривої

- геодезична кривизна кривої.

Приймемо без доведення наступну формулу для обчислення нормальної кривизни поверхні в заданому напрямку

(1)

Як видно з цієї формули нормальна кривизна поверхні в даній точці залежить від напрямку на поверхні.

Визначення 1.3.

Направлення на поверхні називається головним, якщо нормальна кривизна в цьому напрямку досягає екстремального значення.

Покажемо, що в кожній точці-регулярної поверхні знайдеться не менше двох різних головних напрямків.

Нехай - довільна напрямок в точці на поверхні. Тоді

(2)

(2) - дифференцируемая функція змінних і. Відзначимо, що функції коефіцієнтів другій і першій квадратичних форм визначаються тільки вибором точки і від змінних і НЕ залежать.

Вважаючи

отримаємо, що

Так як функція

неперервна і, то на відрізку вона або постійна, або має хоча б один максимум. Це й означає, що в кожній точці - Регулярної поверхні є два різних головних напрямки.

Визначення 1.4.

Екстремальні значення нормальних кривизн в головних напрямках називаються головними кривизнами поверхні в даній точці.

Вкажемо спосіб обчислення головних кривизн в даній точці регулярної поверхні.

З формули (2) випливає тотожність відносно змінних і

(3)

Продифференцируем це тотожність по. Враховуючи, що похідна нормальної кривизни в головному напрямку звертається в нуль, отримаємо для головного напрямку

(4)

(5)

Тут - головна кривизна в напрямку.

Розглядаючи отримані співвідношення (4) і (5) як систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих і, отримаємо, що ця система завжди має ненульовий рішення, так як в даній точці регулярної поверхні завжди Тобто головні напрямки.

З цього випливає, що

Обчислюючи визначник, ми одержимо квадратне рівняння для шуканої функції (увага ... ми його будемо використовувати при деяких викладеннях далі).

(6)

Можливі два випадки.

Випадок 1.

Квадратне рівняння має два різних кореня і.

Цим коріння на поверхні відповідає два різних головних напрямки.

Випадок 2.

Рівняння (6) має один корінь кратності 2.

Це можуть бути тільки точки уплощения або омбіліческіе точки (точки округлення) ().

Визначення 1.5.

Середньої кривизною поверхні в даній точці називається полусумма її головних кривизн в цій точці.

(7)

Визначення 1.6.

гауссових кривизною поверхні називається твір її головних кривизн.

(8)

В виду рівняння (6) можна показати, що

(9)

(10)

Цих основних понять нам поки вистачить для розгляду спеціального класу поверхонь.

Глава 2. Поняття поверхні Каталана

2.1 Загальні положення

Визначення 2.1.

Поверхня Каталана - лінійчата поверхня, прямолінійні утворюючі якої паралельні одній і тій же площині.

Визначення 2.2.

Площина, якою паралельні утворюють поверхні Каталана, називається площиною паралелізму .

Визначення 2.3.

Поверхня Каталана, всі створюючі якої перетинають одну пряму, називається коноида.

Зауваження 2.1.

Зазвичай припускають, що рівняння поверхню Каталана:

, причому.

Ми, однак, не будемо враховувати цю умову, а обмежимося зазначеним вище визначенням. І ті, і інші поверхні ми будемо для стислості називати поверхнями Каталана.

Зауваження 2.2.

З визначення поверхні Каталана випливає, що, якщо її рівняння:

, то.

Це очевидно, оскільки всі три вектори (обчислені при одному і тому ж значенні параметра), що беруть участь... в змішаному творі лежать в одній площині, - площини паралелізму, тобто вони компланарність.

Для зворотного твердження справедлива теорема.

Теорема 2.1.

Достатня умова того, що дана лінійчата поверхня є поверхнею Каталана.

Нехай задана лінійчата поверхня

причому вектор-функція тричі безупинно дифференцируема (тут і далі ми говоримо про будь-простому шматку поверхні, якому відповідають деякі проміжки параметрів). Тоді якщо і неколлінеарен ні в одній точці то дана поверхня є поверхнею Каталана.

Доказ.

Розглянемо два випадки: коли крива, описувана вектором - плоска і коли вона неплоских.

1) Припустимо, що крива - плоска. Тоді рівність просто випливає з цього факту. Очевидно, що всі трійки векторів (при будь-якому значенні параметра) лежать в площині кривої. Тому і все що утворюють лежать в цій площині, значить і поверхня є за визначенням поверхнею Каталана.

2) Припустимо, що крива - неплоских. За умовою теореми. Продиференціюємо це рівність один раз за параметром:

Якщо коллінеарен вектору в деякій точці. Тоді

Значить коллінеарен, а значить, коллінеарен і, а ми припустили противне, значить, цей випадок неможливий, тобто неколлінеарен вектору.

Подивимося на картинку:

Так як, то всі ці три вектори лежать в одній площині - площині. А в силу того, що, ці вектори теж лежать в одній площині - площині (у першому випадку площину позначена двома дугами, у другому, однією дугою). Так як вектори і неколінеарних, то вони в обох випадках визначають площину, тобто площині і - збігаються, а отже, всі чотири вектора:,,, лежать в одній площині, а значить:.

Нагадаємо, що якщо дана крива. Те кручення кривої в точці обчислюється за формулою:

(*)

Т.к. - То крива - плоска, а це суперечить припущенню пункту два. Тобто розглянута ситуація неможлива.

Таким чином, крива (в умовах теореми) може бути тільки плоскої кривої і при цьому поверхня є поверхнею Каталана ч.т.д.

Зауваження 2.3. Якщо в теоремі прибрати припущення про потрійний безперервної дифференцируемости вектор-функції. То можна побудувати приклад поверхні, такий що, але при цьому поверхня не є поверхнею Каталана.

Гарний приклад можна отримати наступним чином.

Нам хочеться, щоб функція В«розгорнулаВ» площину прямих або розгортала її постійно. Як випливає з теореми, відповідну функцію слід шукати серед функцій, 3-яя похідна яких терпить в якій-небудь точці розрив.

Наприклад, можна задатися наступним рівнянням:.

Тут - функція Хевісайда.

Проинтегрируем це рівняння.

Тепер вже набагато простіше підібрати необхідний приклад.

Отже, розглянемо поверхню.

Перевіримо, що в кожній точці виконується рівність:.

Зауваження 4. Строго кажучи, ми тут допустили неточність. А саме:. Тобто похідна тета-функції Хевісайда - Дельта-функція Дірака. Тому,

Однак, просте геометричне міркування може переконати нас, що другим складаємо можна знехтувати. Дійсно, подивимося на графік функції:

Очевидно, що в нулі нахил дотичної до графіка функції дорівнює нулю, а функція дорівнює нулю всюди,

Перевіримо умову

Тобто

Більш простий приклад Наприклад:

. Тобто

перевірки.

Тепер нам треба зробити

лежать в одній площині. поверхні.

Очевидно:

Дійсно:

вид:

одній площині.

Нехай

Розглянемо

Тобто .

цій площині.

Глава 3. Диференціальна

,

,

,

(5)

.
.

.

,,.

1.

(8)

2.
.

.
3.
.

(10)
Зробимо деякі зауваження.

.
1.
2. другаляющих напрямку одного з цих класів, друга квадратична форма позитивна, а для іншого негативна.

Іншими словами в околиці точки поверхню лежить по різні сторони від дотичної площини в заданій точці.

Такі точки, як відомо, називаються гіперболічними.

В силу зауваження 1, гіперболічними точками серед лінійчатих поверхонь володіють тільки косі лінійчаті поверхні (наприклад, всі точки архімедового гелікоїда - гіперболічні).

3. Нехай і. Такі точки називаються параболічними.

Такими точками володіють розгортається поверхні.

4. . Такі точки називають точками уплощения поверхні.

Очевидно, що у лінійчатих поверхонь можуть бути точки уплощения.

Поверхня в околиці точки уплощения може виглядати самим різним чином, ось один з прикладів ...

3.2 Перша і друга квадратичні форми поверхні Каталана

Отже, з формули (5), (6), (7):

. (5)

. (6)

. (7)

Для поверхні Каталана ми маємо додаткову умову. Тут ми не отримаємо ніяких суттєвих змін.

Визначник

,

індекс говорить про те, що він обчислений для поверхні Каталана.

Розрахунок.

(8)

Розрахунок M .

.

. (9)

Розрахунок N .

.

- середня кривизна поверхні в заданій точці.

У нашому випадку:

. (10)

. (11)

.

Можна вважати, що

Тоді:.

Аналогічна величина для довільної лінійчатої поверхні має вигляд:

Як ми бачимо, - останнє доданок звертається в нуль.

Очевидно, що для поверхні Каталана:

.

Підставимо це вираження для,, для поверхні Каталана.

Отже, перерахуємо коефіцієнтами другого квадратичної форми для поверхні Каталана.

(12)

- без змін

- без змін.

Тепер середня кривизна.

(13)

Спробуємо знайти всі мінімальні поверхні Каталана.

(14)

Розглянемо два випадки.

1. Поверхня Каталана є розгортається поверхнею (тобто циліндром).

Тоді, очевидно:,.

Рівняння набуде вигляду:

. (15)

Нехай. Також, можна покласти. Тоді рівняння запишеться у вигляді:

(16)

Припустимо, що функція відома (Ситуація абсолютно симетрична, як ми бачимо).

Зробимо заміну шуканої функції:

. Отримаємо:

Припустимо, що. Бути може за винятком якогось безлічі точок, яке ми виключимо з розгляду (так як нас цікавлять загальні, регулярні властивості поверхні, то на спільність розгляду це не вплине).

.

Далі:

.

Таким чином, всі циліндри виду:

(17)

є мінімальними поверхнями.

Зауважимо, що

, тому.

Також може виконуватися, якщо, тобто якщо, то виконується система:

причому (ніде, крім бути може, якихось точок). Проинтегрируем, наприклад перше рівняння.

Зробимо заміну шуканої функції:.

Отримаємо:

.

.

Звідки.

В результаті отримуємо більш прийнятне вираз, що описує всі мінімальні циліндри (з точністю до орієнтації в просторі).

Нехай для зручності запису функція

, тоді:.

Отже, циліндри, види:

є мінімальними поверхнями.

Однак, як легко бачити - Це тільки площині ...

Теорема 3.1. Про мінімальні циліндрах.

Серед циліндрів тільки площині є мінімальними поверхнями.

Доказ

Нехай дано циліндр.

,

,

,

,

Тоді,

,

,

,

Тому рівняння для визначення головних кривизн

,

прийме вигляд.

, тобто

Згадаємо формулу для середньої кривизни, а саме:

У нашому випадку, це можливо тільки якщо. А це означає, що циліндрична поверхня суцільно складається з точок уплощения. Тобто є площиною.

Повернемося до розгляду рівняння (14)

Розглянемо випадок, коли (тобто поверхню Каталана є косою лінійчатої поверхнею).

Поліпшень тут не видно, особливо.

Розглянемо один спеціальний випадок:.

Тобто ,.

Отримаємо:

,

Теорема 3.3. Про мінімальні поверхнях Каталана.

Якщо має місце розкладання: для поверхні Каталана, то вона є мінімальною, якщо вірно рівняння

Розглянемо приклад мінімальної поверхні Каталана.

.

Це прямий архимедів гелікоїд. Тобто

,

,

,

,

,

.

Має місце розкладання:

, тобто

,.

,

,

,

,

,

, отримаємо.

Дійсно, прямий архимедів гелікоїд - мінімальна поверхню Каталана.

Ще раз нагадаємо, як він виглядає.

3.3 Про коноида

Виведемо умова, при якому поверхня Каталана буде коноида.

Тобто задана поверхня Каталана

.

Визначимо, коли є пряма, яка перетинає всі утворюють даної поверхні.

Нехай є крива на цій поверхні:

Причому вона не збігається ні з однією з утворюючих, тобто .

Рівняння цієї кривої в просторі має вигляд:

Якщо в кожній точці кривизна дорівнює нулю - то це зв'язне безліч точок, яке лежить на прямій.

.

.

Розглянемо векторне твір:

Як ми бачимо, це не дуже зручна запис. Спробуємо використовувати співвідношення:

Згрупуємо члени при векторах.

(18)

Помножимо це рівність векторно на праворуч.

А тепер помножимо скалярно на.

Так як ми розглядаємо поверхні Каталана, то. В результаті отримаємо.

(19)

Диференціальне рівняння (19) дає необхідна умова того, щоб поверхня Каталана була коноида.

Розглянемо спеціальний простий випадок, а саме, коли поверхня Каталана є циліндром () в цьому випадку рівняння (19) прийме вигляд:. Тобто вироджується. Це й зрозуміло, оскільки ми робили неравносільние перетворення рівняння, а виводили слідства шляхом відповідних перетворень.

І дійсно:

Якщо є рівність:, очевидно, що якщо його справа чи зліва помножити векторно на якийсь вектор, то воно зберегтися. Наприклад:

.

Однак з цього запису вищевказане рівність не слід. Бо якщо, то це тотожність ... Аналогічно зі скалярним твором ... А якщо то, а ми як раз множили скалярно на. Звідси і виродження рівняння ...

Очевидно, ми поки не отримали досить задовільного рівняння для характеризації коноида серед лінійчатих поверхонь. Скористаємося тим фактом, що для прямої вірно, що, і назад, якщо для кривої цієї виконується, - то вона пряма. Це справедливо в Внаслідок того, що параметричне рівняння прямої:

,.

Отже (20)

Розглянемо знову два випадку.

1. . Тобто поверхню Каталана є циліндром. У такому випадку:

(21)

Тобто якщо рівняння (21) в зазначених на початку продовженнях має рішення, то воно визначає параметричне рівняння прямої, через яку проходять всі створюючі циліндра.

Помножимо рівняння праворуч на векторно.

.

Звідки очевидно, що:

(22)

Розглянемо рівняння (22) для якої-небудь однієї координати. Нехай

,.

.

Іншими словами:

.

Повертаючись до рівняння і маючи на увазі: , Отримаємо, що, а значить,.

Тобто всякий циліндр є коноида, якщо існує така функція, що

,

при цьому, загальна пряма, через яку проходять всі створюючі циліндра має вигляд:

Природно - це ціле сімейство прямих.

Спробуємо відразу скористатися знайденим прийомом для рівняння (21).

Це можна переписати так:

,

(23)

Звідки також можна зробити висновок, що - інакше рівність неможливо. Також, очевидно, що і. Іншими словами існує така заміна змінного параметра, що виконається вказане вище співвідношення.

Якщо проаналізувати це рівність для однієї з координат:

.

Тоді, якщо існує зворотна функція, то:

.

Перевіримо наші викладки на прикладі.

Розглянемо два циліндра:

1)

Перевіримо, чи є цей циліндр коноида:

.

Припустимо, що локально можна покласти:

З іншого боку,

.

Природно, виконання цих двох умов у системі можливо тільки в якихось певних точках, що нас не влаштовує. Очевидно, це не коноида. Результат тим більше очевидний, що якщо, то лини - це синусоїди, а не прямі.

2).

Очевидно:

,

решта рівності виконуються при рівності нулю коефіцієнтів лінійної функції.

Очевидно, що коефіцієнти в даному випадку впливають лише на динаміку обходу ліній.

Дана поверхня Каталана є коноида.

Отже, даний циліндр, є коноида, тоді і тільки тоді, коли існує така заміна змінного, що

. (24)

При цьому знайдеться ціле сімейство прямих, кожен член якого не співпаде з жодною твірною і який все створюючі перетинають.

З (24) легко зрозуміти, що якщо така заміна існує, то поверхня є просто площиною. Іншими словами, справедлива теорема.

Теорема 3.2. Про коніодних циліндрах.

Серед всіх циліндрів тільки площина є коноида.

Повернемося до розгляду загального випадку співвідношення (20). Нагадаємо.

Перепишемо це рівняння у наступному вигляді:

Константу можна В«прибратиВ» у функцію.

.

Розгляду можливих випадків, коли дане рівняння має невироджене рішення ми залишимо за кордонами нашого розгляду.

Глава 4. Спеціальні поверхні Каталана (поверхні

класу КА)

Розглянемо дві просторові криві:

(1)

і, (2)

площину з нормальним вектором. Причому будемо вважати, що для будь-яких площину з нормальних вектором, що проходить через точку перетинає криву рівно в одній точці. Ця умова ми будемо для стислості називати умовою узгодженості кривих відносно площини. Відповідно, дві таких кривих ми будемо називати узгодженими відносно площини.

Визначення 4.1.

Нехай криві (1) і (2) согласованни відносно площини. Тоді безліч прямих, спираються на ці криві і паралельних площині називається поверхня класу КА. Площина в даному випадку називається площиною паралелізму.

Цю поверхню можна собі уявити наступним чином. Нехай в просторі розташовані дві криві, узгоджені щодо деякої площини. Нехай площина спочатку проходить через точку першого кривої і точку другої кривої. Пряма належить численности, описуваного у визначенні 2. Рухаючись паралельно самій собі, площина буде перетинати нові пари точок, що лежать на заданих кривих - вони також будуть належати формованої таким чином поверхні. Мож...на сказати, що площина В«відбудовуєВ» поверхня, проходячи через дані криві.

Першим нашим кроків в вивченні даного виду поверхонь буде висновок рівняння даної поверхні.

4.1 Виведення рівняння поверхні класу КА

Отже, нехай задають дві криві і вектор (нормальний вектор породжує площині).

Виберемо систему координат так, щоб вісь збігалася з напрямком з заданим вектором.

Маємо:

- перша крива.

- друга крива.

,

,

.

Додатково вимагаємо, щоб перша і друга криві були узгоджені щодо площини.

Візьмемо точку, що лежить на осі . Площина, що проходить через дану точку і має нормальний вектор, згідно умові узгодженості перетинає кожну з кривих рівно в одній точці.

Криву I в точці.

Криву II в точці.

Ставати очевидним, що в якості параметра кривих зручно вибрати. При переході до параметру (Це можна зробити зважаючи умови узгодженості), рівняння кривих набувають вигляду:

- перша крива,

- друга крива.

Тоді при вибраній точці породжує площину перетне першої кривої в точці, а другу криву в точці.

Таким чином, спрямовує вектор прямої, породженої даної площиною і лежачої на поверхні є вектор

.

Тоді легко зрозуміти, що вся поверхня описується рівнянням:

(3)

Так як різниця - знову функція параметра, то іноді буде зручно використовувати наступний запис рівняння:

(3 *)

Рівняння (3) будемо називати рівнянням поверхні класу КА в параметричній формі. Ще раз зауважимо, що рівняння (3) і (3 *) взаємозамінні при розгляді загального випадку.

4.2 Виведення рівняння поверхні класу КА по заданих кривих

і нормальному вектору породжує площині

Вище, ми вивели рівняння квазіціліндріческой поверхні в канонічному вигляді, припускаючи, що нормальний вектор породжує площині спрямований по осі.

Однак, цікаво б було отримати параметричне (або загальне рівняння) такої поверхні без такого допущення (тобто у випадку, коли вектор нормалі породжує площині спрямований довільно).

Для цього ми скористаємося простим міркуванням. Щоб скористатися канонічним рівнянням поверхні у формі (3) нам треба повернути поверхню так, щоб нормальний вектор породжує площині став сонаправлени направляючому вектору осі.

Нам достатньо вивести матрицю такого повороту. Для цього поворот будемо здійснювати в два етапи:

1. Поворот щодо осі, так, щоб проекція вектора на площину опинилася б у площині .

2. Поворот навколо нового положення осі (після операції 1) до збігу нового положення осі з самим вектором.

Розглянемо площину.

Очевидно:

.

Тобто нам треба повернути поверхню на кут відносно осі. Однак, тут є два важливих моменти:

1) Якщо ми будемо обертати в позитивному напрямку, то кут слід брати зі знаком +, якщо в негативному, - зі знаком мінус. Таким чином, вираз для кута повороту відносно осі прийме вид:

.

2) Отримане в п. 1 вираз для кута повороту також не є точним, оскільки в разі ставати некоректним.

Очевидно, в цьому випадком вектор лежить на осі і обертати щодо її поверхню не вимагається. Вирішити проблему можна так: замість підставити функцію:

.

Таку функцію легко записати аналітично:

Отже, ми отримаємо вираз для кута повороту щодо осі:

(4)

Після першого повороту, нам треба здійснити другий - щодо осі (ця вісь спрямована В«вглибВ» малюнка.

Звідки очевидно:

.

Цей поворот нам доведеться робити або в позитивному, або в негативному напрямку, тому формула для другого кута повороту набуде вигляду:

.

Тут важливо відзначити, що першим поворотом ми завжди прийдемо до картини, коли кут між направляючим вектором осі і вектором (нового його положення) завжди буде лежати на відрізку (це відбувається через правильного вибору знака кута першого повороту).

Залишилося відзначити один неприємний окремий випадок, а саме, коли вектор лежить на осі. У цьому випадку, а значить, що невірно, коли вектор спрямований в негативному напрямку осі (у цьому випадку, нам потрібно здійснити поворот на кут або). Користуючись прийомом, застосованим у пункті 1 ми уточнимо нашу формулу:

(5)

Додаткових уточнень, тут, ймовірно, вже не потрібно.

Як відомо, матриця повороту щодо осі має вигляд:

.

Щодо осі (у нашому випадку, - нового її положення):

.

Сумарно поворот описується добутком цих матриць:

Підставляти значення кутів в цю матрицю, - суще безумство, тому просто зрозуміємо, як будуть виглядати рівняння для направляючих кривих квазілінейчатой вЂ‹вЂ‹поверхні при такому повороті.

Нехай

- перша крива, - друга крива до описаного повороту. Очевидно, після повороту вони перетворюються так:

Для першої і другої кривої відповідно. Тобто

,

Запишемо тепер канонічне рівняння в поверхні в параметричній формі.

Отже, якщо задано дві криві,, узгоджені відносно площини з нормальним вектором, то параметричне рівняння відповідної поверхні визначається наступними співвідношеннями (6) і (7)

(6)

де

(7)

Це удавана складність. Надалі, для вивчення внутрішньої геометрії поверхні ми будемо користуватися, як правило, канонічним її завданням.

Ми можемо розглянути інший підхід до параметризації поверхонь класу КА.

А саме.

Теорема 4.1. Всяка поверхню класу КА є поверхнею Каталана. Зворотне невірно: є поверхні Каталана, що не є поверхнями класу КА.

Доказ

Перше твердження теореми - очевидно, в силу визначення поверхні класу КА.

Для доказу другого - досить навести приклад.

Таким прикладом може служити прямий круговий циліндр - площина паралелізму буде перетинати кожну з цих кривих, за винятком двох точок рівно по двох точках.

Зауваження 4.1.

Слід зазначити, що поверхню Каталана завжди можна розбити на шматки, кожен з яких буде представляти із себе поверхню класу КА.

Теорема 4.2. Поверхня класу КА є циліндричної, тоді і тільки тоді, коли різниці між радіус-векторами направляючих кривих при узгоджених значеннях параметрів для кожної з них є колінеарними векторами.

Глава 5. Диференціальна геометрія поверхонь класу КА

Визначимо основні характеристики поверхонь класу КА. Нам буде цікаво, зокрема, розглядати різні поняття і властивості цих поверхонь в розрізі направляючих кривих, так, що ми будемо використовувати (3) форму запису рівняння поверхні.

Зробимо попереднє зауваження щодо позначень. Для зручності запису і наочності індекси, позначають приналежність координатних функцій до першої або до другої кривої будуть вказувати в зліва вгорі щодо символу, на відміну від попередніх глав.

Так як поверхні класу КА є лінійчатими поверхнями, то щоб виділити деякі їх особливі, відмінні від усіх лінійчатих поверхонь властивості, ми для початку розрахуємо деякі характеристики лінійчатих поверхонь.

5.1 Перша і друга квадратичні форми лінійчатої

поверхні

Ясна річ, нас цікавлять лише коефіцієнти, однозначно визначають саму форму.

,,

,

,

,

.

.

.

Визначник для стислості позначимо так (бо безпосереднє покоординатного обчислення не дає досить легким для читання результату).

.

,,.

1. Розрахунок.

(8)

4. Розрахунок M.

.

. (9)

5. Розрахунок N.

.

(10)

Отже, ми розрахували коефіцієнти першої та другої квадратичних форм лінійчатої пов...ерхні. Зробимо деякі зауваження.

Зауваження 5.1.

З формули (9) очевидно, що необхідна і достатня умова того, що дана лінійчата поверхня є розгортається, може бути переписано у вигляді:.

Зауваження 5.2. Про різних точках лінійчатої поверхні.

Обчислимо дискримінант другу квадратичної форми для лінійчатої поверхні.

. (11)

У зв'язку з цим, проведемо
1.
2. друга
3.
4. .

.

,

,

,,.

,

,

.
Тобто

У нашому випадку:

,

,

,

,

,

,

Отже, остаточно
,

,

,

,

.

Де

Глава 6. Про програму
Дана програма
Є також можливість багато іншого.
роботи.

При розробці поверхні.

Висновки

1. Проведено докладний
2.
3.
4. Таким чином,

Список літератури

геометрії. - М.: Едіторіал УРСС, 2003. - 432 с. поверхонь. - Вид. і доп. - М.: Едіторіал УРСС, 2003. - 488 с. малюнками. інженерів.
3. Лекції з диференціальної геометрії. - 376 с. В числа. рішення.
4. геометрії. - 344 с. визначенийия і розглядаються найпростіші властивості простої дуги кривої і простого шматка поверхні. У першій частині викладається теорія кривих, описуються натуральні рівняння кривої і теорія огибающих. У другій частині докладно розглядається теорія поверхонь. Також в книгу включено короткий історичний нарис розвитку диференціальної геометрії від Лейбніца до наших днів. Рекомендується математикам, механікам, фізикам-теоретикам - студентам, аспірантам, викладачам і науковцям).

5. Тайманов І.А. Лекції з диференціальної геометрії. - М.: Інститут комп'ютерних досліджень, Регулярна і хаотична динаміка, 2006. - 256 с. - ISBN 5-93972-467-1 (Викладено основи диференціальної геометрії кривих і поверхонь, а також кілька додаткових розділів, присвячених теорії груп Лі і елементам теорії представлення. Книга виникла з курсу лекцій, прочитаних автором на механіко-математичному факультеті Новосибірського державного університету. Незважаючи на компактність книги, всі питання розібрані достатньо доступно, маються завдання для самостійного рішення. Може слугувати навчальним посібником для студентів механіко-математичних і фізичних спеціальностей університетів).

6. Шварц Дж. Диференціальна геометрія і топологія. - Новокузнецьк: ИО НФМІ, 2003. - 222 с. - ISBN 5-80323-307-2 (Книга являє собою курс лекцій, прочитаних відомим американським математиком Дж. Шварцем. Лаконічність і порівняльна простота викладу дозволяють читачеві швидко ознайомитися з основними поняттями диференціальної геометрії і топології. Починаючи з загальної теорії різноманіть, з'ясовуючи далі зв'язок топологічних інваріантів з інваріантами римановой метрики і переходячи до К-теорії, автор завершує виклад теоремою про векторних полях на сферах. Книга представляє інтерес для широких кіл математиків. Її можуть використовувати студенти, аспіранти та викладачі університетів і педінститутів).

7. Торп Дж. Початкові глави диференціальної геометрії. - М.: Платон, 2000. - 360 с. - ISBN 5-80100-284-7 (Книга американського вченого, який знайомить з основними поняттями та методами диференціальної геометрії. У ній використаний досить загальний алгебраїчний підхід, виклад багато ілюстроване графічним матеріалом, є близько 300 завдань).

8. Бюшгенс С.С. Диференціальна геометрія. - М.: КомКніга, 2006. - 304 с. - ISBN 5-484-00450-0 (Пропонована увазі читача книга, написана відомим вітчизняним математиком С.С. Бюшгенсом, являє собою підручник з диференціальної геометрії. Автор розглядає наступні теми: дослідження плоскої кривої по її рівнянню, зіткнення плоских кривих і кривизна кривої, просторові криві, поверхні, кривизна поверхонь метод рухомого репера для поверхонь. Книга містить велика кількість вправ і завдань, які супроводжуються або повними рішеннями, або достатніми вказівками для проведення цих рішень. Рекомендується студентам, аспірантам та викладачам математичних вузів, а також фахівцям - математикам і фізикам, що застосовують у своїх дослідженнях методи диференціальної геометрії).

9. Гусейн-Заде С.М. Диференціальна геометрія. Сучасні лекційні курси. М.: МЦНМО, 2004. - 80 с. - SBN 5-900916-93-6 (Справжній текст являє собою записи лекцій, читавшихся С.М. Гусейн-Заде в Незалежному Московському Університеті в 1994/95 і 1995/96 навчальних роках для студентів 3 курсу (у II семестрі) з мінімальними вилученнями і доповненнями. Лекції були продовженням частини курсу, читайте в першому семестрі С.П. Новіковим, і грунтувалися на ньому. Текст публікується в авторській редакції).

10. Блашке В. Введення в диференціальну геометрію. - У.: Видавництво Удмуртського університету, Регулярна і хаотична динаміка, 2005. - 232 с. - ISBN 5-7029-0342-0 (В цій книзі викладається в елементарній формі основи теорії кривих і поверхонь з допомогою методу зовнішніх форм Картана. Ідеї вЂ‹вЂ‹цього методу викладені в обсязі, достатньому для розуміння основного матеріалу. В кінці кожного розділу наведені завдання і питання. У коментарях В.А. Александрова відображено сучасно стан обговорюваних питань. Книга розрахована на студентів і аспірантів, спеціалізуються в галузі математики).

11. Корн Г., Корн Т. Довідник по математики для наукових працівників та інженерів. - М.: Лань, 2003. - 832 с. - ISBN 5-8114-0485-9 ("Довідник" містить відомості по наступних розділах: вища алгебра, аналітична і диференціальна геометрія, математичний аналіз (включаючи інтеграли Лебега і Стілтьєса), векторний і тензорний аналіз, криволінійні координати, функції комплексного змінного, операційне числення, диференціальні рівняння звичайні і з приватними похідними, варіаційне числення, абстрактна алгебра, матриці, лінійні векторні простору, оператори і теорія зображень, інтегральні рівняння, крайові завдання, теорія ймовірностей і математична статистика, чисельні методи аналізу, спеціальні функції. Довідник розрахований на студентів старших курсів математичних спеціальностей, науковців і інженерів).

12. Міщенко О.С., Фоменко А.Т. Курс диференціальної геометрії і топології. - М.: Видавництво В«Факторіал ПресВ», 2000. - 448 с. - ISBN: 5-88688-048-8 ( Книга являє собою курс диференціальної геометрії, читаний протягом двох семестрів на математичних факультетах університетів. Вона містить основний програмний матеріал по загальній топології, нелінійним системам координат, теорії гладких многовидів, теорії кривих і поверхонь, групам перетворень, тензорного аналізу і римановой геометрії, теорії інтегрування і гомологиям, фундаментальним групам поверхонь, варіаційним принципам у римановой геометрії. Виклад ілюструється великою кількістю прикладів і супроводжується завданнями, часто містять додатковий матеріал. Для математиків і фізиків - студентів, аспірантів, викладачів і науковців працівників).

13. Ейнджел Е. Інтерактивна комп'ютерна графіка. - М.: Видавничий дім В«ВільямсВ», 2001. - 592 с. - ISBN 5-8459-0209-6 (Книга являє собою вступний курс комп'ютерної графіки, в якому основний акцент зроблено на питаннях прикладного програмування. Вона включає опис структури графічних систем і обговорення основних концепції формування зображень тривимірних об'єктів і сцен. Розглядається взаємодія освітлення і матеріалів, також наводяться основні відомості про методи тонування освітлених поверхонь, принципах ієрархічної організації графічних моделей і нових можливостях сучасних... апаратних графічних засобів. У книгу включені ті розділи лінійної алгебри та геометрії, які необхідні для розуміння основ комп'ютерної графіки. Обговорюються методи побудови кривих і поверхонь, мовні моделі, фрактали і системи частинок, а також методика застосування графічних засобів для візуалізації результатів наукових розрахунків. Весь теоретичний матеріал в книзі ілюструється програмами на OpenGL. Книга адресована в основному студентам старших курсів і аспірантам першого року навчання, що спеціалізуються в області інформатики та обчислювальної техніки, але буде також корисна і багатьом професіоналам).

14. Шрайнер Д. OpenGL. Офіційний довідник. - СПб: ТОВ В«ДіаСофтЮПВ», 2002. - 512 с. - ISBN 0-201-65765-1, 5-93772-048-2 (Ця книга є першим російським виданням третьої редакції офіційного довідника по OpenGL, підготовленим Спостережною Радою по Архітектурі OpenGL і компанією SGI. Матеріал у книзі розташований так, що дозволяє читачеві швидко і ефективно знайти у величезній графічної бібліотеки OpenGL потрібну команду або константу, познайомитися з основними ідеями і принципами реалізації тієї чи іншої команди, зрозуміти, як працює та чи інша команда, а також розібратися з загальною архітектурою OpenGL. Книга написана досить строго, але зрозуміло, і розрахована на широке коло читачів - від новачків до фахівців, що вже працюють з OpenGL).

15. М. Ву, Т. Девіс, Дж. Нейдер, Д. Шрайнер. OpenGL. Керівництво по програмуванню. - СПб: В«ПітерВ», 2006. - 624 с. - ISBN 5-94723-827-6, 0-3211-7348-1 ( Це 4-е видання визнаного бестселера, присвяченого OpenGL і його бібліотеці інструментів. У книзі описані всі можливості OpenGL і найзначніші додатки, міститься опис базових методів комп'ютерної графіки, таких як побудова та відтворення тривимірних моделей, інтерактивний перегляд об'єктів з різних точок спостереження, використання тонування, освітлення та ефектів текстурирования. Представлено поглиблений опис додаткових методів комп'ютерної графіки: накладення текстур, згладжування, "туман" і імітація інших атмосферних ефектів, сплайни, конвеєрна обробка зображень і інші ключові теми, такі як підвищення продуктивності програм, розширення OpenGL і створення кросс-платформних додатків).

Вернуться назад