Главная > Математика > Геометрічні Місця точок на площині та їх застосування
Геометрічні Місця точок на площині та їх застосування25-01-2012, 10:29. Разместил: tester8 |
|
Курсова робота на тему: В«Геометрічні Місця точок на площині та їх застосування В» Вступ Актуальність Дослідження. Поняття геометричного Місця точок у просторі (ГМТ) має велике методичне и загальноосвітнє значення. Неможливо переоцініті Його роль у роз В¬ витку просторової уяви. Розв'язування задач, в якіх застосовуються геометрічні Місця точок Як на площині, так и в просторі, актівізують творчу мнение и фантазію, розвиваються логічне мислення, кмітлівість, змушують перебіраті в пам'яті ВСІ відомі теореми з метою відбору и застосування найбільш прідатної з них. Таким чином, тема Геометрічні Місця точок на площині та їх застосування, на сучасности етапі є Досить актуальною. Зв ' язок роботи з Наукова планами, програмами, темами. Дана курсова робота пов'язана з дісціпліною Геометрія та загально Навчально планом Міколаївського державного універсітету імені В.О. Сухомлинського. Про ' єкт Дослідження. Розділ геометрії - Аналітична геометрії та Його застосування на практіці. Предметом Дослідження є геометрічні Місця точок на площині та їх застосування. Метою Дослідження є теоретичне та практичне застосування Поняття геометрії - геометрічні Місця точок на площині. Відповідно до поставленої мети нам необхідно вірішіті наступні завдання: 1. Дослідіті наукову та методичні літературу з обраної тими курсової роботи. 2. Здійсніті Загальна характеристика визначення ГМТ в межах курсового Дослідження. 3. Проаналізуваті Основні ГМТ на площині. 4. Привести Приклади задач на відшукання ГМТ 5. Вісвітліті процес застосування ГМТ до розв'язання задач на побудову. теоретичність та практичне значення . Матеріали даної курсової роботи можна вікорістовуваті при вікладанні відповідної тими з курсом Геометрія, а кож для участі у наукових семінарах та конференціях, викладання на уроках геометрії. 1. Визначення ГМТ геометричність Місце точок є одним з найважлівішіх зрозуміти геометрії. Альо воно широко вікорістовується НЕ Ліше в геометрії, ай в математичних аналізі, механіці и в багатьох технічних дісціплінах. Того Поняття геометричного Місця точок має велике загальноосвітнє значення. Означення. Геометричність місцем точок назіваємо фігуру, ВСІ точки якої мают Певної властівість, Яка належить обов'язково и віключно точкам цієї фігурі. Колі розглядаті геометричність Місце точок на площині, то можна здобудуть, Наприклад: пряму, промінь, коло и Інші плоскі кріві, точку, сукупність ізольованіх точок, сукупність прямих, відрізок, сукупність відрізків, дугу, сукупність дуг, Деяк Частину площіні ТОЩО. На понятті про геометричність Місце точок грунтується особливий спосіб розв'язування задач на побудову, Що має Назва методу геометричних місць. Суть Його така: зводять всю задачу на побудову до відшукання положення на площіні однієї або декількох точок, які визначаються двома умів, Що випливають з вимоги Задачі. ЯКЩО відкінуті одну з ціх умов Задачі, то вон стані невизначенності и Решт умів буде задовольняти, не одна точка, а нескінченна множини точок, Що утворюють якесь геометричність Місце. ЯКЩО потім відновіті відкінуту Умова, а відкінуті одному, то Решт умів, знов буде задовольняти нескінченна множини точок, Що утворюють нове геометричність Місце. Кожна точка Перетин ціх двох геометричних місць задовольняє вимоги Задачі І, отже, буде шуканою. Завдання матіме стількі розв'язків, скількі спільніх точок мают знайдені геометрічні Місця.
Подана характеристика методу геометричних місць показує, Що Його застосовують при розв'язуванні таких задач, умів якіх можна розчленуваті на Дві незалежні вимоги, шкірні з якіх Окрема візначає відповідне геометричність Місце точок. Правда, Інколи одне з геометричних місць Буває завданні самою умів Задачі. позитивні рісамі методу є Такі: а) при розв'язуванні задач методом гeoметрічніх місць спрощується відшукання плану розв'язування Задачі и способу її побудова, б) відкідаючі одну умів Задачі и змінюючі іншу, можна об'єднати декілька завдань на побудову в одну групу и розглядаті їх Як Різні варіанті деякої Загальної конструктівної проблеми. Пояснімо Сказання про Особливості методу геометричних місць точок на такому прікладі: Задача. Дано трикутник ABC. Побудуваті в площіні три кутника точку М, Яка би була на однаковій віддалі від вершин А та В і на віддалі d від третьої вершини С (рис. 202). аналіз. Шукало точка М винна задовольняти Дві умови: а) вон винна знаходітісь на однаковій віддалі від двох точок А і В і б) вон винна знаходітісь на віддалі d від третьої точки. Відкінемо одному умів. Тоді одну дерло умів буде задовольняти нескінченна множини точок, Що утворюють геометричність Місце - перпендикуляр, проваджень через середину D відрізка АВ. Збережемо тепер одному умів и відкінемо дерло. Тоді одну одному умів буде задовольняти нескінченна множини точок, Що утворюють геометричність Місце - коло з центром в точці С і радіусом, рівнім d. Точки М и М 1 Перетин Першого геометричного Місця з іншим Будуть Шуканімі. спонукало а. Для розв'язування Задачі потрібно побудуваті перше и друга геометрічні Місця. Будуємо перпендикуляр ND до відрізка АВ в Його середіні D (основна побудова дів. В§ 2) i коло радіусом, рівнім а, з цент ром у С; точка Перетин кола з перпендикуляром ND Визначіть шукану точку M. Дослідження. Оскількі коло Може перетінаті прямо не більш Ніж у двох точках, то залежних від даніх (О” ABC и d) задача Може НЕ мати жодних розв'язку або мати до двох троянд в'язків. На рис. 202 показано віпадок двох розв'язків. При розв'язуванні Задачі мі корістувалісь Першим и іншим геометричність місцем, Як данімі. Ця обставинних приводити до необхідності знання хоча б основних геометричних місць на площині, ЯКЩО мі Бажаємо навчітісь розв'язувати Задачі на побудову методом геометричних місць. 2. Основні ГМТ на площині І. Геометричність місцем точок, рівновіддаленіх від даної точки, є коло з центром у Цій точці и з радіусом, Який дорівнює даній відстані.ІІ. Геометричність місцем точок, рівновіддаленіх від двох даніх точок, є середина перпендикуляр до відрізка, Який з'єднує ці точки.
ІІІ. Геометричність Місце точок, віддаленіх від даної прямої на відстань А, Складається з двох прямих, паралельних даній и віддаленіх від неї на відстань h : геометричність місцем точок, рівновіддаленіх від двох паралельних прямих, є пряма, паралельна данім Прямі и однаково віддалена від них. геометричність Місце точок, рівновіддаленіх від двох прямих, Що перетінаються, Складається з двох прямих, які містять бісектрісі кутів, отриманого в результаті Перетин даніх прямих.
Щоб Знайте геометричність Місце точок (фігуру), потрібно скластись за даною їх властівістю рівняння и назваті фігуру, Яка візначається ЦІМ рівнянням. Складаючі рівняння, Спочатку позначаємо координат та довільної точки шуканого геометричного Місця трочок черех х, у. Потім, застосовуючі відомі рівняння (відстані Між точками, середини відрізка, кола и прямої), складаємо нове рівняння, його призначення та аналітічно віражає зв'язок Між координатами шуканої и д...аніх точок. ЦІМ самим обгрунтуємо Пряме твердження: Якщо М - довільна точка шуканого геометричного Місця точок, то її координати задовольняють знайдене рівняння. Після цього Доводимо обернене твердження: Якщо координати довільної точки М задовольняють знайдене рівняння, то вон належиться шуканому геометричність місцю точок. Розглянемо приклада. Задача 1. Дано коло радіуса R и точку А на ньому. Знайте геометричність Місце точок, які ділять Хорді, проведені через точку А кола, навпіл. Розв'язання. За качан координат візьмемо центр кола так, щоб точка А мала координати - R; 0 (Мал. 134). Нехай АВ - довільна хорда, Що проходити через точку А, а М - одна з точок шуканого геометричного Місця точок, тобто така, Що АМ = ВМ. Позначені координат та точок В і М відповідно через х 1 , у 1 и х, у, матімемо: Звідсі (1) Точка В (х 1 ; біля 1 ) лежить га колі, тому її координати задовольняють рівняння кола. Маємо: або, враховуючі рівності (1), (2)
Звідсі (3) Мі показали, Що коли точка М - довільна точка шуканого геометричного Місця точок, то її координати задовольняють рівняння (3). Тепер потрібно довести, Що довільна точка М (х; у), координат якої задовольняють рівняння (3), належить шуканому геометричність місцю точок. Розглянемо на коордінатній площіні точку В з координатами х 1 = 2х + R, у 1 = 2у. З рівності (2) віпліває, Що точка В лежить на даного колі. З іншого боку, з рівності х 1 = 2х + R, у 1 = 2у дістанемо: Отже, точка М поділяє хорду АВ навпіл. Таким чином, рівняння є рівнянням шуканого геометричного Місця точок. ЦІМ рівнянням візначається коло радіуса з центром у точці (Мал. 135). Задача 2. Знайте геометричність Місце точок, рівновіддаленіх від даної точки F и даної прямої d, Яка НЕ проходити через Цю точку. Розв'язання. Нехай відстань від даної точки F до даної прямої d дорівнює р. Візьмемо систему координат так, щоб вісь Ох проходила через точку F и Була перпендикулярно до прямої d (Мал. 136), а вісь Оу поділяла навпіл відрізок осі Ох Між прямою d и цяткою F.
Нехай М (х; у) - довільна точка шуканого геометричного Місця точок. Опустімо з точки М на пряму d перпендикуляр МК. Координати точки К:; координати точки F: За Умова МК = MF. Запішемо Цю рівність у координатах: Піднесемо до квадрата обідві Частина цієї рівності и спростімо:
або
звідсі (1) Мі показали, Що координат та х; у довільної точки М шуканого геометричного Місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе й обернене твердження: точка, координати х, у якої задовольняють рівняння (1), належить шуканому геометричність місцю точок. Справедліві, рівність
Звідсі, беручи До уваги, Що х> 0 і; маємо
З останньої рівності віпліває, Що точка М (х; у) рівновіддалена від прямої d и от точки F, тобто М належиться шуканому геометричність місцю точок. Знайдене рівняння у 2 = 2 рх візначає лінію, Яка назівається параболи (Малий. 137). Точка F назівається фокусі параболи, а пряма d - директриса. параболи можна побудуваті так. Проведемо директрису параболи d и позначімо фокус F (Мал. 138). Середина Про відрізка DF належить параболі и є її вершиною. Через довільну точку К Променя OF проведемо пряму, перпендикулярну до осі параболи. Знайдемо Дві точки М и М 1 Перетин цієї прямої з колом, центром Якого є фокус F, а радіус дорівнює відстані від цієї прямої до діректорії d. Точки М и М 1 належать параболі. ЯКЩО проведемо кілька прямих, перпендикулярних до осі параболи, и побудуємо точки Перетин їх з колами, центрами якіх є фокус F, а радіусі дорівнюють відстаням від директриси до відповідної прямої, то дістанемо парі точок параболи. Знайдемо точки сполучімо плавно лінією за допомог лекала. Задача 3. Знайте геометричність Місце точок, сума відстаней якіх до двох даніх точок є величина стала. Розв'язання. Нехай відстань Між данімі точками F 1 i F 2 дорівнює 2 с. Візьмемо за початок координат середину Про відрізка F 1 F 2 (Мал. 139), а промінь OF 2 - за додатну піввісь Ох. Тоді точка F 1 матіме координат та - з; 0, а точка F 2 - координати с; 0. Нехай М (х; у) - довільна точка шуканого геометричного Місця точок. За умів торба F 1 M + F 2 M стала. Позначімо її через 2а. Запішемо Цю рівність у координатах. За формулою відстані Між двома точками дістанемо:
або
Піднесемо до квадрата обідві Частина цієї рівності и спростімо:
Тепер Знову піднесемо обідві Частина рівності до квадрата. Дістанемо:
або після Спрощення:
Оскількі F 1 M + F 2 M> F 1 F 2 , тобто 2а> 2с, то а 2 - з 2 > 0. Позначімо а 2 -з 2 = b 2 . Тоді останню рівність запішемо так: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Поділівші обідві Частина рівності на a 2 b 2 , дістанемо: (1) Мі показали, Що координат та х; у довільної точки М шуканого геометричного Місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе и обернене твердження: Якщо координат та довільної точки М задовольняють рівняння (1), то вон належиться шуканому геометричність місцю точок. Таким чином, рівняння (1) є рівнянням шуканого геометричного Місця точок.
Рівнянням візначається опукла Замкніть лінія, Яка назівається еліпсом. Точки F 1 и F 2 назіваються фокусами еліпса. Форму еліпса має лінія похилилася розрізу ціліндрічніх и конічніх тіл: дерева, ковбаса, морквіні ТОЩО. Еліпс можна побудуваті так. Візьмемо нитку певної довжина (Наприклад, 20 см) i закріпімо її кінці в точка F 1 та F 2 (Мал. 140). (Довжина нитки має буті більшою за довжина відрізка F 1 F 2 ). Натягуємо нитку вістрям олівця и переміщаємо на площині. Вістря олівця опишіть еліпс. Для кожної точки еліпса сума її відстаней від двох нерухомости точок F 1 и F 2 є стала величина (У нашому прікладі ця сума дорівнює довжіні нитки). ЯКЩО довжина нитки залішіті ту саму, а відстань Між фокусами Изменить І знову побудуваті еліпс, то Його форм а змініться (еліпс вітягнеться або округлі). Розглянутій спосіб Побудова еліпса вікорістовує садівник, щоб надаті клумбі еліптічну форму, маляр, Який будує еліптічній контур для розпису стелі, стоялр, віготовляючі дерев'яні Деталі еліптічної формува. 3. Задачі на відшукання ГМТ І. Геометричність Місце точок, які перебувають на рівніх віддалях від трьох даніх точок А, В, С, Що не лежати на одній прямій, є точка - центр кола, його призначення та проходити через ці точки. ІІ. Геометричність Місце крайніх точок рівніх відрізків, дотичності до даного кола, є коло, концентричності з данім.
ІІІ. Геометричність Місце точок, які мают ту властівість, Що кут Між шкірно парою дотичності, Проведення з них до даного кола, має дану величину, є коло, концетрічне з данім. IV. Геометричність Місце середин рівніх хорд, проведених у даного колі До, є коло, концентричності з данім и дотичності до кожної з ціх хорд. V. Геометричність Місце точок, Що ділять у даного відношенні відрізкі C 1 D 1 , C 2 D 2 , C 3 D 3 и т.д. паралельні прямі, які перетінають Сторони даного кута АОВ (рис. 203), є пряма, Що сполучає вершину Пр...о кута з точкою, Наприклад Е 3 , Яка діліть Один з даніх відрізків C 3 D 3 в даного відношенні.
Зауваження. ЯКЩО відношення, в якому поділені відрізкі, дорівнює одініці, то геометричність місцем точок є продовжено медіана трикутника, Який одержуємо від Перетин даного кута однією Із згаданіх паралельних прямої, проведеної з вершини О. VI. Геометричність Місце точок, Що їх віддалі від двох прямих АВ и CD відносяться, Як m: n, є сукупність двох прямих LK и MN (рис. 204), Що проходять через точку Е Перетин прямих АВ и CD и через точки К і L, M и N Перетин прямих, паралельних АВ и віддаленіх від неї на ь, з прямими, паралельних CD и віддаленімі від неї на n. VII. Геометричність Місце точок, з якіх відрізок АВ видно Під данім кутом О±, є дуга кола, стягувана хорди АВ, з центром О або О 1 (рис. 205). Дуги АМВ и ANB, а кож ентр Про и Про 1 сіметрічні відносно відрізка АВ. Щоб побудуваті центри Про и Про 1 , в цінцях відрізка АВ, з обох боків від нього, провідності Прямі Під кутом О± до прямої АВ и Будуємо з точок А і В Перпендикуляр до проведення прямої. На перетіні ціх перпендікулярів з перпендикуляром до відрізка АВ через Його середину и лежати центри Про и Про 1 . Зауваження. Точки А і В треба віключіті, бо смороду НЕ мают Властивості, Якові мают ВСІ Інші точки. VIII. Геометричність Місце точок, Що їх віддалі від двох даніх точок А і В відносяться, Як m: n, є коло, побудоване на відрізку CD, Як на діаметрі, притому точки C и D на прямій АВ ділять відрізок АВ відповідно у внутрішньому и зовнішньому відношенні, рівному m: n. Інакше Кажучи, точки А, С, В і D - гармонічно спряжені точки.
Доведемо теорему відносно поданого геометричного Місця, або так званого кола Аполлонія. Теорема 242. Довільна точка М така, Що відношення її віддалей від двох даніх точок А і У дорівн.є m: n, лежить на колі з діаметром CD, причому точки С і D ділять відрізок АВ відповідно зсередіна и зовні у відношенні m: n. Дані точки А і В і така точка М (поза прямою АВ), Що МА: МВ = m: n (рис. 206). Будуємо на прямій АВ Такі Дві точки С і D, Що: СА: СВ = DA: DB = m: n. Сполучаємо точку М з точкою А, С, В і D. Через ті Що , то
Тобто МС и MD - бісектрісі відповідно внутрішнього и зовнішнього кутів трикутника АВМ, або кут CMD = Отже, де не лежала б точка М, при умів нашо' теореми, Завжди буде так, Що Отже, точка М лежить на колі з діаметром CD. Теорема 243. Довільна точка М кола з діаметром CD при умові, Що точки C и D ділять відрізок АВ (точки А і В дані) відповідно зсередіні и зовні у відношенні m: n, має ту властівість, Що МА: МВ = m: n. Дані точки А, С, В і D так, Що СА: СВ = m: n, и коло з діаметром CD (рис. 207). Треба довести, Що для довільної точки М кола існує відношення МА: МВ = m: n.
Через точку В провідність прямої KL | | MA. З подібності трікутніків АСМ, ТСК и ADM, BDL маємо:
тобто
Звідки одержуємо: BK = BL. Тому Що то медіана прямокутного трикутника KLM, проведена на гіпотенузу, дорівнює її половіні, тобто BM = BK = BL. Таким чином, маємо Що й треба Було довести. ХІХ. Геометричність Місце точок, з якіх два даніх кола видно Під одним и тім же кутом, є коло. Доведемо теорему про дяни Місце точок. Теорема 244. Будь-яка точка М, Що має відносно двох даніх кіл (рис. 208) К і К 1 таку властівість, ЩО, де МЕ и MF джотічні, проведені з точки М до кола К, а MG и MH - до кола До 1 лежить на колі Аполлонія. Нехай Про и Про 1 є центри кіл К і К 1 , а R и r - їх радіусі, проведені відповідно до точок F и G. Прямокутні трикутником OFM и O 1 GM подібні, бо мают по рівному ГОСТР кутові О±. Звідки маємо:
Отже, ВСІ точки М шуканого геометричного Місця лежати на колі Аполлонія, коли R в‰ r, и на прямій, ЯКЩО R = r. Теорема 245. ЯКЩО точка М лежить на колі з діаметром CD, причому точки C и D ділять лінію центрів ГО 1 даніх кіл К і К 1 у відношенні R: r - радіусів ціх кіл, то з точки М кола К і К 1 видно Під одним и тім же кутом О±. Із точки М можна провести дотічні до кіл К і К 1 (рис. 208), ЯКЩО М зовнішня по відношенню до обох кіл. Провівші дотичності MF до кола К і дотичності MG до кола До 1 , Знайдемо за властівістю кола Аполлонія, Що в прямокутніх трикутником MOF и MGO 1
ЯКЩО Зауваження. Х. Теорема 246. Нехай Побудуємо Альо Звідки
Таким
Зауваження 1. Зауваження 2. б) в) г) д) оберніть Дані Треба провідності ХІ.
Теорема 247.
Дані З Зауваження 1. Колі Зауваження 2. б) в) Теорема 248. Дані Доведемо, Так, їх. Відрізок Довести, Що Тут розв'язування. ЯКЩО Попередній Відрізок Візначіті
Весь спектр 1. В Задачі. 2. 3.Частина аналізу. 4. Дослідження розв'язку Задачі в залежності від Зміни даніх Умови и відсування найпростішого способу Побудова знайденого геометричного Місця точок. Задача 1. Побудуваті трикутник за основою, кутом при вершіні и радіусу високого кола. аналіз. Нехай АВС - шуканій трикутник, А - Сейчас Його кут, r - завдань радіус вписання кола, нд = а - задана основа.
Розглянемо центр 0 вписання кола. Точка О віддалена від точки НД на відстань r (перша властівість центру). Крім цього (Мал. 54),, так Що (друга властівість центру). ГМТ, його призначення та має дерло властівість, представляє пару прямих паралельних НД ГМТ, його призначення та володіє другою властівістю (відрізок НД видно Із Про Під кутом), представляє пару дуг сегментів, які містять кут. Кожна точка Перетин ціх двох геометричних місць Може служити центром вписання кола. Побудова: 1) На довільній прямій відкладаємо відрізок ВС = а (Мал. 55).
Дані Будуємо поступово: 2) пару прямих р 1 и р 2 паралельних НД и віддаленіх от НД на даній відстані r; 3) пару сегментів, які містять кут; 4) точку О Як одну Із точок Перетин згаданіх геометричних місць; 5) коло П‰ (О, r); 6) Із точок В і С провідності промені В і С, які дотікаються до кола, П‰; 7) відмічаємо точку А Перетин ціх променів. Трикутник АВС - шуканій. Дослідження: Щоб ікнулі точки, перетин згадуваніх Вище двох геометричних місць, необхідно достатності, щоб Стріла сегмента Була не менше відрізка r, тобто щоб віконувалось відношення: (1) Кроки 5, 6 і 7 Завжди виконують. Останнє слідує з того, Що
того Що промені в і з перетінаються. Чи не роблячі Розмір Між чотірма можливости однаково розв'язку (в залежності від вибор точки О), пріходімо до висновка, Що при умові (1) задача має єдиний розв'язок, а ЯКЩО ця розумів не віконується, то розв'язків Немає. Задача. Побудуваті трикутник за Його ГОСТР кутом, при вершіні, радіусом вписаного кола и сумі квадратів бокових сторін. аналіз. Нехай АВС - шуканій трикутник, П‰ (О 1 К) - описів коло Навколо нього, А = О± - завдань кут, АВ 2 + АС 2 = d 2 , де d - Сейчас відрізок (Мал. 56).
Величина Хорді НД візначається без умів, Що її видно з деякої точки кола П‰ Під данім кутом О±, а отже, Із центра О - Під кутом 2О± (рівнім центральним кутом відповідають рівні хорди). Що стосується точки А, Що вон візначається двома умів. 1) Вона лежить на крузі П‰; 2) вон належиться ГМТ, для якіх сума квадратів відстане...й від точок В і С Рівна d 2 (це кож коло). Побудова. Будуємо поступово: 1) коло П‰ (О; R) з центром у довільній точці О; 2) два радіусі ОВ и ОС цього кола Під кутом 2О± один до іншого; 3) відрізок НД и Його середину М; 4) коло Г, Який є геометричність місцем точок Р, для якіх ВР 2 + СР 2 = d 2 ; 5) точку А перетин кругів П‰ и Г; 6) відрізкі АВ и АС. Трикутник АВС відомій. Доведення зрозуміло з аналізу. Дослідження. Колі коло Г існує и має спільну точку з дугою ВДС кола П‰ (Мал. 56), то задача має єдиний розв'язок. В іншому разі розв'язку Немає. Зауваження: Так Як радіус r кола Г дорівнює
МВ = RsinО±, BC = 2RsinО±, MD = R (1 + cosО±), то аналітічно умів розв'язку можна запісаті так: МВ або після відповідніх перетвореності:
Висновок Отже, в ході проведення Дослідження мі дійшлі Наступний вісновків. геометричність місцем точок назівається фігура, Що Складається з усіх точок площіні, які мают Певної властівість. геометричність Місце точок є одним з найважлівішіх зрозуміти геометрії. Альо воно широко вікорістовується НЕ Ліше в геометрії, ай в математичних аналізі, механіці и в багатьох технічних дісціплінах. Того Поняття геометричного Місця точок має велике загальноосвітнє значення. такоже, Було досягнуть поставленої мети та вірішено візначені, відповідно до мети, Завдання. Література 1. І.Ф. Тесленко В«Елементарних математика, геометріяВ», Київ, 1968 р. 2. Б.І. Аргунов і М.Б. Балк В«Геометричні побудови на площиніВ», Москва, 1957 р. 3. М.І. Бурда, Л.М. Савченко В«ГеометріяВ» 8-9 кл., Київ В«ОсвітаВ», 1966 р. 4. Чекова А.М. В«ГеометріяВ» 7-11 класи, 2007 р. 5. Тесленко І.Ф., Геометрічні побудова, В«Радянська школаВ», 1956 р. |