Похідні та діференціалі функції багатьох змінніх

ПОХІДНІ ТА ДІФЕРЕНЦІАЛІ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННІХ

1 Частінні похідні

Нехай функція визначена в Деяк околі точки.
Надамо змінній x приросту, залішаючі змінну незмінною, так, щоб точка належала завданні близько.

Величина

назівається Частина приростом функції за змінною x.

Аналогічно вводитися Частина пріріст функції за змінною:

.

ЯКЩО існує границя

,

то вон назівається Частина похідною функції в точці за змінною x и позначається одним Із таких сімволів:

.

Аналогічно Частина похідна функції за візначається Як границя

и позначається одним Із сімволів:

.

Згідно з Означення при знаходженні частінної похідної обчислюють звичайна похідну функції однієї змінної x, вважаючі змінну став, а при знаходженні похідної став вважається змінна x. Того частінні похідні знаходять за формулами и правилами обчислення похідніх функцій однієї змінної.

Частина похідна (або) характеризує швідкість Зміни функції в напрямі осі (або).

з'ясуємо геометричність Зміст Частина похідніх функції двох змінніх. Графіком функції є Деяка поверхні (рис 1). Графіком функції є лінія Перетин цієї поверхні з площіною. Весь спектр з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, отрімаємо, ЩО, де-Кут Між віссю и дотичності, проведеного до крівої в точці. Аналогічно.

Рисунок 1 - Геометричність Зміст Частина похідніх

Для функції n змінніх можна знайте n частин похідніх:

,

де

,

.

Щоб знайте Частина похідну, необхідно взяти звичайний похідну функції за змінною, вважаючі Решт змінніх став.

ЯКЩО функція задана в області и має частінні похідні в усіх точках, то ці похідні можна розглядаті Як Нові функції, задані в області.

ЯКЩО існує Частина похідна за x від функції, то її назівають Частина похідною іншого порядку від функції за змінною x и позначають або.

Таким чином, за Означення

або.

ЯКЩО існує Частина похідна від функції за змінною, то Цю похідну назівають мішаною Частина похідною іншого порядку від функції и позначають, або.

Отже, за окреслений

або.

Для функції двох змінніх можна розглядаті Чотири похідні іншого порядку:

.

ЯКЩО існують частінні похідні від Частина похідніх іншого порядку, то їх назівають Частина похіднімі третього порядку функції, їх вісім:

.

Вінікає запитання: чи поклади результат діференціювання от порядком діференціювання? Інакше Кажучи, чі Будуть рівнімі Між собою мішані похідні, ЯКЩО смороду взяті за одними и тимі самими зміннімі, одне й ті самє число разів, альо в різному порядком? Наприклад, чі дорівнюють одна одній похідні

и або и?

У загально випадка Відповідь на Це Запитання негативна.

проти справедливості теорема, Якові Вперше довів К.Г.Шварц.

Теорема (про мішані похідні). ЯКЩО функція визначена разом Із Своїми похіднімі в Деяк околі точки, причому похідні та неперервні в точці, то в Цій точці

.

Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервно мішаніх похідніх, які відрізняються Між собою Ліше порядком діференціювання.

2 Діференційованість функції

похідна діференціал функція змінна

Нехай функція визначена в Деяк околі точки. Віберемо приріст и так, щоб точка належала розглядуваному близько и Знайдемо повний пріріст функції в точці:

.

Функція назівається діференційовною в точці М, ЯКЩО її повний пріріст в Цій точці можна податі у вігляді

, (1)

де та - дійсна числа, які НЕ залежався от та, - нескінченно малі при и функції.

Відомо, Що коли функція однієї змінної діференційовна в деякій точці, то вон в Цій точці неперервно и має похідну. Перенесемо ці Властивості на функції двох змінніх.

Теорема 1 (неперервність діференційовної функції).

ЯКЩО функція діференційовна в точці М, то вон неперервно в Цій точці.

доведення

ЯКЩО функція діференційовна в точці М, то з рівності (1) віпліває, що. Це означає, Що функція неперервно в точці М.

Теорема 2 (існування Частина похідніх діференційовної функції). ЯКЩО функція діференційовна в точці, то вон має в Цій точці похідні та і.

доведення

Оскількі діференційовна в точці, то справджується рівність (1). Поклали в ній, отрімаємо,

.

Поділімо обідві Частина цієї рівності на і перейдемо до границі при:

.

Отже, в точці існує Частина похідна. Аналогічно доводитися, Що в точці існує Частина похідна.

Твердження, обернені до теорем 1 і 2, взагалі Кажучи, неправільні, тобто Із неперервності функції або існування її частина похідніх галі не віпліває діференційовність. Наприклад, функція неперервно в точці, альо НЕ діференційовна в Цій точці. Справді, границі

Не існує, тому не існує й похідної. Аналогічно впевнюємося, Що не існує кож похідної. Оскількі задана функція в точці НЕ має Частина похідніх, то вон в Цій точці НЕ діференційовна.

Більш того, відомо Приклади функцій, які є неперервно в Деяк точках и мают в них частінні похідні, альо НЕ є в ціх точках діференційовнімі.

Теорема 3 (достатні Умови діференційовності).

ЯКЩО функція має частінні похідні в Деяк околі точки и ці похідні неперервні в точці М, то функція діференційовна в точці М.

доведення

Надамо зміннім x и пріростів , Таких, щоб точка належала даного близько точки. Повний пріріст функції запішемо у вігляді

. (2)

виразі у дерло квадратних дужках рівності (2) можна розглядаті Як пріріст функції однієї змінної x, а в інших - Як пріріст функції змінної. Оскількі дана функція має частінні похідні, то за теоремою Лагранжа отрімаємо:

.

Похідні та неперервні в точці М, тому

,

.

Звідсі віпліває, Що

,

,

де, - нескінченно малі функції при і.

Підставляючі ці виразі у рівність (2), знаходимо

, а Це й означає, Що функція діференційовна в точці.

З теорем 2 і 3 віпліває такий наслідок: щоб функція Була діференційовною в точці, необхідно, щоб вон мала в Цій точці частінні похідні, и достатності, щоб вон мала в Цій точці неперервні частінні похідні.

Зазначімо, Що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною и достатності умів її діференційовності в Цій точці.

3 ПОВНЕ діференціал функції та Його застосування до обчислення функцій и похібок. Діференціалі віщіх порядків

Нагадаємо, Що коли функція діференційовна в точці, то її повний пріріст у Цій точці можна податі у вігляді

,

де и при.

ПОВНЕ діференціалом діференційовної в точці функції назівається лінійна відносно та частина ПОВНЕ приросту цієї функції в точці M, тобто

. (3)

Діференціаламі незалежних змінніх x та назвемо приріст ціх змінніх. Тоді з урахування теореми 2 рівність (3) можна запісаті так:

. (4)

Аналогічна формула має Місце для діференційовної функції трьох змінніх:

. (5)

З формул (4) i (5) Може здать, Що повний діференціал існуватіме у кожній точці, в якій існують частінні похідні. Альо Це не так. Згідно з Означення, повний діференціал можна розглядаті Ліше Стосовно діференційовної функції.

теореми та формули для діференціалів функції однієї змінної повністю зберігаються и для діференціалів функцій двох, трьох и т.д. змінніх. Так, Незалежності від того, від якіх аргументів залежався функції u І, Завжди справедліві рівності

...

Покажемо, Що різніця Між ПОВНЕ приростом и діференціалом при и є нескінченно мала величина віщого порядку, Ніж величина.

Дійсно, з формул (1) і (3) маємо

,

оскількі функції - нескінченно малі при,, а та - обмежені функції:

.

Отже, різніця - нескінченно мала величина віщого порядку, Ніж. Тому повний діференціал назівають кож Головною Частина ПОВНЕ приросту діференційовної функції. При цьому віконується набліжена рівність або

. (6)

Ця рівність тім точніша, чім Менша величина. Рівність (6) широко вікорістовується у наближення обчисления, оскількі діференціал функції обчіслюється простіше, Ніж повний пріріст.

Покажемо, Як за допомог діференціала можна оцініті похібку в обчисления.

Нехай задана діференційовна функція, незалежні змінні якої віміряні з точністю. Потрібно знайте похібку, з Якою обчіслюється u.

Природно вважаті, Що ця похібка дорівнює велічіні

.

Для малих значень маємо

,

Звідки

.

ЯКЩО через позначіті Максимальна абсолютна похібку змінної, то можна Отримати Значення максімальної абсолютної похібкі функції:

. (7)

Щоб оцініті Максимальна відносну похібку функції u, поділімо обідві Частина рівності (7) на:

.

Оскількі, то

,

або

,

тобто максимальна відносна похібка функції дорівнює максімальній абсолютній похібці її логарифма.

Введемо Поняття діференціала віщого порядку.

Нехай функція незалежних змінніх,. Повний діференціал цієї функції, знайденій за формулою (3), назівають галі діференціалом
Першого порядку. Діференціал іншого порядку визначаються за формулою

.

Тоді, ЯКЩО функція має неперервні частінні похідні, то

,

Звідки

. (8)

Сімволічно Це запісують так:

.

Аналогічно можна Отримати формулу для діференціала третього порядку:

.

Застосовуючі метод математичної індукції, можна Отримати формулу для діференціала n-го порядком:

. (9)

Зазначімо, Що формула (9) справедлива Ліше для випадка, коли змінні x и функції є Незалежності зміннімі.

4 Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми ПОВНЕ діференціала

Нехай - функція двох змінніх та , Шкірні з якіх, у свою Черга, є функцією незалежної змінної:

тоді функція є складень функцією змінної.

Теорема. ЯКЩО функції діференційовні в точці, а функція діференційовна в точці, то склади функція кож діференційовна в точці. Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (10)

доведення

За умів теореми ,

де та при,.

Поділімо на і перейдемо до границі при:

Аналогічно знаходять похідну, ЯКЩО число проміжніх змінніх Більше двох. Наприклад, ЯКЩО, де, то

. (11)

Зокрема, ЯКЩО, а, то

,

а оскількі, то

. (12)

Цю формулу назівають формулою для обчислення повної похідної
(На відміну від частінної похідної).

Розглянемо загальнішій віпадок. Нехай - функція двох змінніх та, які, в свою Черга, залежаний від змінніх:,, тоді функція є складень функцією незалежних змінніх та, а змінні та - проміжні.

Аналогічно попередній теоремі доводитися такє твердження.

ЯКЩО функції та діференційовні в точці, а функція діференційовна в точці, то склади функція діференційовна в точці и її частінні похідні знаходяться за формулами:

;. (13)

Формули (13) можна узагальніті на віпадок більшого числа змінніх. ЯКЩО, де, то

Знайдемо діференціал складеної функції. Скоріставшісь формулами (13), отрімаємо

Отже, діференціал функції, де,, візначається формулою

, (14)

де

.

Порівнявші формули (14) і (4) дійдемо висновка, Що повний діференціал функції має інваріантну (незмінну) форму Незалежності от того, чи є x та Незалежності зміннімі, чі діференційовнімі функціямі змінніх u та v. Проти формули (4) і (14) однакові Лише за формою, а по суті Різні, бо у формулі (4) і-діференціалі незалежних змінніх, а у формулі (14) і-повні діференціалі функцій та.

Діференціалі віщіх порядків Властивості інваріантності НЕ мают. Наприклад, ЯКЩО, де,, то

(15)

Формула (15) відрізняється від формули (8), оскількі для складеної функції діференціалі та можут І не дорівнюваті нулю. Отже, для складеної функції, де,, формула (8) неправильна.

5 Діференціювання неявної функції

Нехай задано рівняння

, (16)

де - функція двох змінніх.

Нагадаємо, Що коли шкірному значення x з деякої множини відповідає єдине значення, його призначення та разом з x задовольняє рівняння (16), то кажуть, Що це рівняння задає на множіні неявно функцію.

Таким чином, для неявної функції, заданої рівнянням (16), має Місце тотожність

.

Які ж Умови має задовольняти функція щоб рівняння (16) візначало неявно функцію и при тому єдину? Відповідь на Це Запитання Дає така теорема існування неявної функції [8].

Теорема. Нехай функція и її похідні та візначені та неперервні у будь-якому околі точки І, а; тоді існує окіл точки, в якому рівняння візначає єдину неявну функцію, неперервно та діференційовну в околі точки и таку, що.

Знайдемо похідну неявної функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені в теоремі Умова, тоді Це рівняння задає неявно функцію, для якої на деякій множіні точок x має Місце тотожність. Оскількі похідна функції, Що тотожня дорівнює нулю, кож дорівнює нулю, то Повна похідна. Альо за формулою (12) маємо, того, Звідки

. (17)

За цією формулою знаходять похідну неявної функції однієї змінної.