Автокореляційна функція. Приклади розрахунків

Курсова робота

Тема:

Автокореляційна функція. Приклади розрахунків

Введення

Періодична залежність відігравати роль загального типу компонентів часового ряду. Не складно помітити, що кожне спостереження дуже схоже на прикордонне; до того ж є повторювана періодична складова, що означає, що кожне спостереження також схоже на спостереження, що були в тому же самий час період назад.

У загальній складності, періодична залежність може бути формально визначена як кореляційна залежність порядку n між кожним i-м елементом ряду і (in) - м елементом. Її можна вимірювати за допомогою автокореляції (тобто кореляції між самими членами ряду); n зазвичай називають лагом (іноді використовують еквівалентні терміни: зсув, запізнювання). Якщо помилка вимірювання не надто велика, то періодичність можна визначити візуально, розглядаючи поведінку членів ряду через кожні n часових одиниць.

Періодичні складові тимчасового ряду можуть бути знайдені за допомогою коррелограмми. Коррелограмми (автокоррелограмма) являє чисельно та графічно автокореляційної функції. Іншими словами, коефіцієнти автокореляції для послідовності кроків з визначеного діапазону. На коррелограмми просто відзначається діапазон в розмірі двох стандартних помилок на кожному Лаге, проте зазвичай величина автокореляції більш цікава, ніж її надійність, тому що інтерес в основному представляють дуже сильні автокореляції [6, 207].

При вивченні коррелограмми слід знати наступне: автокореляції послідовних лагів формально залежні між собою.

Розглянемо приклад. Якщо перший член ряду тісно пов'язаний з другим, а другий з третім, то перший елемент повинен також якимось чином залежати від третього і т.д. Це призводить до того, що періодична залежність може істотно змінитися після видалення автокореляцій першого порядку, (тобто після взяття різниці з лагом 1).

Мета роботи:

1. Дати основні теоретичні відомості

2. Дати приклади розрахунку АКФ

1. Теоретичні відомості 1.1 Коефіцієнт автокореляції та його оцінка

Для досконалої характеристики випадкового руху недостатньо його математичного сподівання і дисперсії. Імовірність того, що на певному місці виникнуть ті чи інші конкретні значення залежить від того, які ролі випадкова величина отримала раніше чи буде отримувати пізніше.

Іншими словами, існує поле розсіювання пар значень x (t), x (t + n) тимчасового ряду, де n - постійний інтервал або затримка, яка характеризує залежність подальших реалізацій процесу від попередніх. Тіснота цього взаємозв'язку оцінюється коефіцієнтами автоковаріаціі -

g (n) = E [(x (t) - m) (x (t + n) - m)] -

і автокореляції

r (n) = E [(x (t) - m) (x (t + n) - m)]/D,

де m і D - математичне очікування і дисперсія випадкового процесу. Для розрахунку автоковаріаціі і автокореляції реальних процесів необхідна інформація про спільне розподілі ймовірностей рівнів ряду p (x (t1), x (t2)).

r (n) = g (n)/G (0),

звідки випливає, що r (0) = 1. У тих же умовах стаціонарності множник кореляції r (n) між двома значеннями тимчасового ряду залежить лише від величини часового інтервалу n і не залежить від самих моментів спостережень t. [1]

У статистиці є кілька вибіркових оцінок теоретичних значень автокореляції r (n) процесу по кінцевому тимчасовому ряду з n спостережень. Найбільш популярною оцінкою є нециклічний коефіцієнт автокореляції із затримкою n

автокореляційної функція excel розрахунок

Головним з різних коефіцієнтів автокореляції є перший - r1, що вимірює тісноту зв'язку між рівнями x (1), x (2), ..., x (n -1) і x (2), x (3), ..., x (n).

Розподіл коефіцієнтів автокореляції невідомо, тому для оцінки їх правдивості іноді використовують непараметричних теорію Андерсона (1976), який запропонував статистику [4, 112]

t = r1 (n -1) 0.5,

яка при достатньо великій вибірці розподілена нормально, має нульову середню і дисперсію, рівну одиниці (Тінтнер, 1965).

1.2 автокореляційної функції

Послідовність коефіцієнтів кореляції rn, де n = 1, 2, ..., n, як функція інтервалу n між спостереженнями називається автокореляційної функцією.

Вид вибіркової автокореляційної функції тісно пов'язаний зі структурою ряду.

В· Автокореляційна функція rn для В«білого шумуВ», при n> 0, також утворює стаціонарний часовий ряд із середнім значенням 0.

В· Для стаціонарного ряду АКФ швидко убуває з ростом n. При наявності виразного тренда автокореляційна функція набуває характерного вигляду дуже повільно спадає кривої [3, 268].

В· У випадку вираженої сезонності в графіку АКФ також присутні викиди для запізнювань, кратних періоду сезонності, але ці викиди можуть бути завуальовані присутністю тренда або великою дисперсією випадкової компоненти.

Розглянемо приклади автокореляційної функції:

В· на рис. 1 представлений графік АКФ, що характеризується помірним трендом і неясно вираженою сезонністю;

В· рис. 2 демонструє АКФ ряду, що характеризується феноменальною сезонної детермінантою;

В· практично незгасаючий графік АКФ ряду (рис. 3) свідчить про наявність виразного тренда.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

У загальному випадку можна припускати, що в рядах, що складаються з відхилень від тренда, автокореляції немає. Наприклад, на рис. 4 представлений графік АКФ для залишків, отриманих від згладжування ряду, дуже нагадує процес В«білого шуму В». Проте нерідкі випадки, коли залишки (випадкова компонента h) можуть виявитися автокоррелірованнимі, наприклад, з наступних причин [1, 172]:

В· в детермінованих чи стохастичних моделях динаміки не врахований істотний фактор [2]

В· в моделі не враховано кілька несуттєвих факторів, взаємний вплив яких виявляється істотним внаслідок збігу фаз і напрямків їх зміни;

В· обраний неправильний тип моделі (порушений принцип контрінтуітівності);

В· випадкова компонента має специфічну структуру.

Рис. 4.

1.3 Критерій Дарбіна-Уотсона

Критерій Дарбіна-Уотсона (Durbin, 1969) являє собою поширену статистику, призначену для тестування наявності автокореляції залишки першого порядку після згладжування ряду або в регресійних моделях.

Чисельне значення коефіцієнта дорівнює

d = [(e (2) - e (1)) 2 + ... + (E (n) - e (n -1)) 2]/[e (1) 2 + ... + e (n) 2],

де e (t) - залишки.

Можливі значення критерію знаходяться в інтервалі від 0 до 4, причому табульованого його табличні порогові значення для різних рівнів значущості (Лізер, 1971).

Значення d близько до величиною 2 * (1 - r1), де r - вибірковий коефіцієнт автокореляції для залишків. Відповідно, ідеальне значення статистики - 2 (автокореляція відсутня). Менші значення відповідають позитивної автокореляції залишків, великі - негативною [2, 193].

Наприклад, після згладжування ряду ряд залишків має критерій d = 1.912. Аналогічна статистика після згладжування ряду - d = 1.638 - свідчить про деяку автокоррелірованності залишків.

2. Приклади практичних розрахунків за допомогою макросу Excel В«Автокореляційна функція В»

Всі дані взяті з сайту e3.prime-tass.ru/macro/

Приклад 1. ВВП РФ

Наведемо дані про ВВП РФ

Рік квартал ВВП перший різниця 2001 I 1900,9 II 2105,0 204,1 III 2487,9 382,9 IV 2449,8 -38,1 2002 I 2259,5 -190,3 II 2525,7 266,2 III 3009,2 483,5 IV 3023,1 13,9 2003 I 2850,7 -172,4 II 3107,8 257,1 III 3629,8 522,0 IV 3655,0 25,2 2004 I 3516,8 -138,2 II 3969,8 453,0 III 4615,2 645,4 IV 4946,4 331,2 2005 I 4479,2 -467,2 II 5172,9 693,7 III 5871,7 698,8 IV 6096,2 224,5 2006 I 5661,8 -434,4 II 6325,8 664,0 III 7248,1 922,3 IV 7545,4 297,3 2007 I 6566,2 -979,2 II 7647,5 1081,3

Досліджуємо ряд

На діаграмах показані: вихідний ряд (зверху) і автокореляційна функція до лага 9 (знизу). На нижній діаграмі штриховою лінією позначений рівень В«білого шумуВ» - Межа статистичної значущості коефіцієнтів кореляції. Видно, що є сильна кореляція 1 і 2 порядку, сусідніх членів ряду, але й віддалених на 1 одиницю часу один від одного. Кореляційні коефіцієнти значно перевищують рівень В«білого шумуВ». За графіком автокореляції бачимо наявність чіткого тренда.

Нижче дані значення автокореляційної функції і рівня білого шуму

АКФ (...) Помилка АКФ 1 0,856 0,203 -0,203 2 0,762 0,616 -0,616 3 0,658 0,747 -0,747 4 0,550 0,831 -0,831 5 0,418 0,885 -0,885 6 0,315 0,915 -0,915 7 0,224 0,932 -0,932 8 0,131 0,940 -0,940

Якщо нас цікавить внутрішня динаміка ряду необхідно знайти першу різниця його членів, тобто для кожного кварталу знайти зміна значення в порівнянні з попереднім кварталом. Для першої різниці побудуємо автокореляційної функції.

Статистика Дарбіна-Ватсона (DW) = 1,813 DW Up = 1,450 DW Low = 1,290

Статистика Дарбіна-Уотсона показує, що автокореляції 1-го порядку немає. За графіком можна бачити, що перші різниці зростають, т. к. тренд висхідний. Видна автокорреляция 2 і 4-го порядків, що говорить про піврічний та річний сезонності. Значення функції і межі для В«білого шумуВ» представлені нижче

АКФ (...) Помилка АКФ 1 -0,203 0,392 -0,392 2 -0,530 0,416 -0,416 3 -0,003 0,513 -0,513 4 0,637 0,513 -0,513 5 -0,087 0,627 -0,627 6 -0,423 0,629 -0,629 7 -0,028 0,673 -0,673 Приклад 2. Імпорт

Дано

рік квартал номер значення різниця 1999 I 1 3,10 II 2 3,40 0,30 III 3 3,33 -0,07 IV 4 3,80 0,47 2000 I 5 3,20 -0,60 II 6 3,60 0,40 III 7 3,70 0,10 IV 8 4,33 0,63 2001 I 9 3,60 -0,73 II 10 4,43 0,83 III 11 4,30 -0,13 IV 12 5,17 0,87 2002 I 13 4,13 -1,03 II 14 4,77 0,63 III 15 5,20 0,43 IV 16 5,97 0,77 2003 I 17 5,10 -0,87 II 18 5,90 0,80 III 19 6,33 0,43 IV 20 7,23 0,90 2004 I 21 6,43 -0,80 II 22 7,70 1,27 III 23 8,17 0,47 IV 24 9,08 0,92 2005 I 25 8,17 -0,92 II 26 9,80 1,63 III 27 10,50 0,70 IV 28 12,47 1,97 2006 I 29 10,40 -2,07 II 30 12,67 2,27 III 31 14,20 1,53 IV 32 17,10 2,90

Побудуємо автокореляційної функції

АКФ (...) Помилка АКФ 1 0,802 0,211 -0,211 2 0,693 0,535 -0,535 3 0,585 0,637 -0,637 4 0,566 0,701 -0,701 5 0,423 0,756 -0,756 6 0,343 0,785 -0,785 7 0,255 0,803 -0,803 8 0,231 0,813 -0,813 9 0,131 0,822 -0,822 10 0,072 0,824 -0,824

Бачимо, що є автокорреляция 1-го і 2-го порядків. Графік показує наявність тренда. Позитивна автокорреляция пояснюється неправильно обраної специфікацією, т. к. лінійний тренд тут непридатний, він скоріше експонентний. Тому зробимо ряд стаціонарним, узявши перші різниця.

АКФ (...) Помилка АКФ 1 -0,297 0,343 -0,343 2 0,309 0,390 -0,390 3 -0,420 0,420 -0,420 4 0,636 0,471 -0,471 5 -0,226 0,571 -0,571 6 0,214 0,583 -0,583 7 -0,311 0,593 -0,593 8 0,444 0,613 -0,613 9 -0,229 0,653 -0,653

Бачимо наявність автокореляції 4-го порядку, що відповідає кореляції даних, віддалених на рік. Автокореляції першого порядку не маємо.

Статистика Дарбіна-Ватсона (DW) = 2,023 DW Up = 1,500 DW Low = 1,360 Приклад 3. Експорт

Наведемо дані

рік квартал номер значення різниця 2000 I 1 22,30 II 2 22,80 0,50 III 3 24,80 2,00 IV 4 24,80 0,00 2001 I 5 25,50 0,70 II 6 25,50 0,00 III 7 25,90 0,40 IV 8 26,20 0,30 2002 I 9 26,30 0,10 II 10 28,60 2,30 III 11 28,70 0,10 IV 12 30,30 1,60 2003 I 13 30,50 0,20 II 14 31,00 0,50 III 15 33,80 2,80 IV 16 36,40 2,60 2004 I 17 38,00 1,60 II 18 41,40 3,40 III 19 47,20 5,80 IV 20... 52,36 5,16 2005 I 21 52,50 0,14 II 22 60,40 7,90 III 23 65,70 5,30 IV 24 67,40 1,70 2006 I 25 69,00 1,60 II 26 76,60 7,60 III 27 79,80 3,20 IV 28 71,00 -8,80 2007 I 29 80,50 9,50

Для початкового ряду маємо:

АКФ (...) Помилка АКФ 1 0,896 0,165 -0,165 2 0,822 0,600 -0,600 3 0,712 0,739 -0,739 4 0,592 0,828 -0,828 5 0,483 0,884 -0,884 6 0,372 0,920 -0,920 7 0,261 0,941 -0,941 8 0,150 0,950 -0,950 9 0,062 0,954 -0,954

Очевидно наявність чіткого тренда, значимими є коефіцієнти автокореляції 1-го і 2-го порядків. Для першої різниці

АКФ (...) Помилка АКФ 1 -0,173 0,372 -0,372 2 -0,090 0,389 -0,389 3 0,353 0,392 -0,392 4 0,240 0,435 -0,435 5 -0,106 0,454 -0,454 6 -0,088 0,457 -0,457 7 0,315 0,460 -0,460 8 -0,136 0,490 -0,490

автокореляції вже не бачимо, залишки розподілені як В«білий шумВ».

Висновок

Ще одна корисна технологія дослідження періодичності полягає в обстеженні приватної автокореляційної функції (ЧАКФ), яка являє собою поглиблення погляду звичайної автокореляційної функції.

У приватній автокореляційної функції ліквідується залежність між проміжними спостереженнями. Іншими словами, приватна автокорреляция на даному Лаге схожа на звичайну автокореляції, виключаючи те, що при обчисленні з неї забирається вплив автокореляцій з меншими лагами. На лагу 1 (коли немає проміжних елементів всередині лага), приватна автокорреляция дорівнює звичайній автокореляції. Приватна автокорреляция дає більш В«чистуВ» картину періодичних залежностей.

Як було зазначено раніше, періодична складова для даного лага n може бути видалена взяттям різниці відповідного порядку. Це позначає, що з кожного i-го елемента ряду віднімається (in) - й елемент. На користь таких перетворень є доводи. По-перше, таким чином можна визначити приховані періодичні складові ряду. Нагадаємо, що автокореляції на послідовних лагах залежні. Тому видалення деяких автокореляцій змінить інші автокореляції, які, можливо, придушували їх, і зробить деякі інші сезонні складові більш помітними. По-друге, видалення періодичних складових робить ряд стаціонарним, що необхідно для застосування деяких методів аналізу.

Література

1. В.Є. Гмурман В«Теорія ймовірностей і математична статистикаВ». Москва: Вища школа, 1979 р.

2. В.Е Гмурман. В«Керівництво до вирішення завдань по теорії ймовірностей і математичній статистиці В». Москва: Вища школа, 1997 р.

3. В.Н. Калініна, В.Ф. Панкін.... В«Математична статистикаВ». Москва: Вища школа, 1994 р.

4. І.П. Мацкевич, Г.П. Свирид, Г.М. Булдик. В«Збірник завдань і вправ з вищої математики (Теорія ймовірностей і математична статистика) В». Вища школа, 1998

5. Л.К. Тимофєєва, Є.І. Суханова, Г.Г. Сафіуллін. В«Збірник задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці В».

6. Тимофєєва Л.К., Суханова Є.І. В«Математика для економістівВ». Збірник задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. - М.: У В«Навчальна літератураВ», 1999 р.

[1] Коефіцієнт автокореляції може бути оцінений і для нестаціонарного ряду, але в цьому випадку його імовірнісна інтерпретація втрачається.

[2] фактично, порушений принцип омніпотентності