DataLife Engine > Версия для печати > Визначення дуальних і подвійних чисел

Введення

В даний час різні види комплексних чисел вивчаються досить інтенсивно. З вченням про комплексні числа пов'язані важливі, не вирішені до сьогоднішнього дня завдання, над якими працюють учені в багатьох країнах.

Всі системи найзагальніших комплексних чисел фактично зводяться до наступних трьом різним системам: звичайні комплексні числа, дуальні числа, подвійні числа.

Звичайні комплексні числа тісно пов'язані з питанням про рішення рівнянь другого і вищих ступенів, вони відіграють основну роль в алгебрі і в багатьох розділах математичного аналізу. Дуальні ж і подвійні числа не мають ніякого відношення до теорії квадратних рівнянь з речовими коефіцієнтами і взагалі порівняно мало пов'язані з алгеброю. Основні застосування ці числа знаходять в геометрії (деякі застосування ці системи комплексних чисел знаходять також в теорії чисел).

Основні застосування подвійних чисел відносяться до неевклідової геометрії Лобачевського і до деяких іншим геометрії, відмінним від звичної геометрії Евкліда (наприклад, до так званої псевдоевклидовой геометрії, що грає фундаментальну роль в фізичної теорії відносності).

У нашій роботі досліджуються дуальні і подвійні числа, а також застосування цих чисел в геометрії Евкліда і в геометрії Лобачевського.

Глава I . Визначення дуальних і подвійних чисел

1.1 Дуальні числа

Додавання, віднімання та множення дуальних чисел визначається формулами:

(1)

Остання з цих формул показує, що твір дуального числа на інше число буде речовим лише в тому випадку, коли; якщо, то останнє рівність можна записати у вигляді. Речовим, в Зокрема, є добуток чисел і :

(2)

Число називають спряженим числу (І назад, пов'язане); корінь квадратний з твору (що співпадає з напівсумою сполучених чисел і) називають модулем дуального числа і позначають через (відзначимо, що модуль дуального числа може бути і негативним). Сума двох сполучених чисел є речовинною; різниця є числом чисто уявним (тобто відрізняється від лише речовим множником). Зауважимо ще, що, в повній аналогії із звичайними комплексними числами, дуальне число тоді і тільки тоді збігається зі своїм спряженим, коли воно є речовим. Також і справедливі для комплексних чисел формули (3)

,, , (3)

цілком залишаються в силі для дуальних чисел.

Правило ділення на дуальне число ми тепер можемо записати так:

. (4)

Звідси видно, що для можливості поділу на дуальне число необхідно, щоб модуль цього числа був відмінний від нуля; при цьому, на противагу звичайним комплексним числам, дуальне число нульового модуля саме може бути відмінним від нуля. У тих випадках, коли неможливість поділу на числа нульового модуля з'явиться для нас утрудненням, ми будемо вважати, що приватні та є числами нової природи, які домовимося позначати через і ; Введемо також в розгляд всілякі числа виду, де речовинно. Тоді будь-яке дуальне число матиме протилежне:

при; .

Правила дій над символом визначаються наступними формулами:

,, ,,, (5)

тут - довільне число, причому в середньому рівність, а під другому і в двох останніх (у цих формулах може бути і числом виду); правила дій над числами визначаються так:

(6)

Покладемо ще

,; (6а)

тоді для розширеного (Введенням чисел,) безлічі дуальних чисел зберігає силу рівність і все правила (3).

Число нульового модуля можна характеризувати тим, що існує відмінна від нуля дуальне число, рівне, твір якого на число дорівнює нулю:

. (7)

Тому ці числа називають дільниками нуля.

Дуальні числа ненульового модуля можна також записати в формі, близькій до тригонометричній формі комплексного числа:

. (8)

Тут є модуль числа, а відношення називається аргументом цього числа і позначається через Arg z ( r може бути довільним речовим числом, відмінним від нуля; - довільним дійсним числом). Очевидно, що речові числа характеризуються рівністю нулю їх аргументу; сполучені дуальні числа і мають однаковий модуль r і протилежні аргументи і.

Форма (8) записи дуальних чисел дуже зручна в тих випадках, коли ці числа припадає перемножувати або ділити. Дійсно,

; (9)

отже, модуль твори двох дуальних чисел дорівнює добутку модулів співмножників [1], а аргумент твори - сумі аргументів. Звідси випливає, що модуль приватного двох дуальних чисел дорівнює приватному модулів цих чисел, а аргумент приватного - різниці відповідних аргументів:

. (10)

Нарешті, з цих правил виводяться також і закони, що дозволяють піднімати дуальне число в будь-яку ступінь і отримувати з нього корінь:

(11)

(з останньої формули випливає, що корінь нечетной ступеня з дуального числа при визначається однозначно, корінь же четной ступеня не існує, якщо r <0, і має два значення, якщо r > 0 [2]) .

1.2 Подвійні числа

В повній аналогії з усім викладеним вище назвемо подвійні числа і сполученими, якщо вони мають вигляд

і.

Сума і твір сполучених подвійних чисел речовинні; корінь квадратний із числа, знак якого збігається зі знаком більшого по абсолютній величині з дійсних чисел a і b , називається модулем числа і позначається через. Легко перевірити, що для подвійних чисел залишаються в силі всі формули (3); крім того, ясно, що рівність характеризує речові числа, а рівність - чисто уявні числа.

Додавання, віднімання, множення і поділ подвійних чисел визначаються формулами

(12)

Звідси випливає, що і тут розподіл на можливе лише в тих випадках, коли. Подвійні числа, модуль яких дорівнює нулю, називаються дільниками нуля (зауважимо, що). У деяких випадках виявляється зручним вважати приватні, і числами нової природи; при цьому виявляється необхідною ще розширити поняття подвійного числа, ввівши додатково твори і нових чисел і на всілякі речові числа c і приватні й. Правила дії над символами,,, і визначаються формулами (5) і поруч співвідношень, споріднених (6), наприклад:

(13)

і т. д. Природно також покласти

,, ,, (13а)

що забезпечить виконання для розширеного зазначеним чином безлічі подвійних чисел рівності і всіх співвідношень (3).

Подвійні числа ненульового модуля можна також записати у формі, аналогічній формі (8) запису дуальних чисел. Нехай - модуль подвійного числа; далі

З визначення модуля випливає, що і що більша (по абсолютною величиною) з дробів і позитивна. Звідси випливає, що

, або ,, (14)

де є деяке число (певне формулами (14)), а й - Гіперболічний косинус і гіперболічний синус аргументу.

Таким чином, маємо

або. (15)

величина називається аргументом подвійного числа z і позначається через Arg z [3].

Форма (15) запису подвійних чисел дуже зручна в тих випадках, коли доводиться перемножувати два або декілька подвійних чисел. Дійсно, з формул додавання гіперболічних функцій випливає, що

(16)

Таким чином, модуль твори двох подвійних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, а аргумент твори - сумі аргументів; при цьому твір має першу або другу з форм (15) в залежності від того, чи мають співмножники одну і ту ж або різні форми. З формул (16) відразу випливають правила поділу подвійних чисел:

;

. (17)

З формул (16) виходять також правила, що дозволяють зводити подвійне число в будь-яку цілу позитивну ступінь n і отримувати з нього корінь ступеня n :

при

n непарному,

при n парному;

Глава II .

2.1 Дуальні числа як орієнтовані прямі площині.

Дві орієнтовані прямі будемо називати паралельними лише в тому випадку, якщо вони паралельні в звичайному сенсі і спрямування цих прямих збігаються (рис. 1, а); паралельні прямі протилежних напрямків будемо називати протівопараллельнимі (рис. 1, б).

а б

Рис. 1

Під відстанню від прямої a до не перетинає її прямий b будемо розуміти орієнтоване відстань { A , b } від a до b , тобто орієнтоване відстань від довільної точки прямої a до прямої b ; очевидно, що { a , b } = - { b , a }, якщо a і b паралельні, і { a , b } = { b , a }, якщо a і b протівопараллельни.

Полярні координати точок площині визначаються завданням деякої точки O (полюси системи координат) і проходить через O орієнтованої прямий o (полярної осі); координатами точки M служать відстань r = OM цієї точки від полюса і кут = { o , m }, утворений з o орієнтованої прямий m , що з'єднує < i> O і M . Аналогічно цього можна визначити полярні координати орієнтованих прямих площині, для завдання яких треба також вказати деяку орієнтовану пряму o (полярну вісь) і лежачу на o точку O (полюс); координатами прямий l служать кут = { o , l }, утворений l з полярною віссю o , і орієнтоване відстань s = { O , L } від O до точки L перетину l та o (рис. 2, а). Очевидно, що координата s орієнтованої прямий l може мати будь-яке значення, укладену між і; координата - будь-яке значення, укладену між 0 і 2. Природно вважати, що = 0 для прямих, паралельних полярної осі o , і = для прямих, протівопараллельних o ; якщо пряма не перетинає осі o , то координати s вона не має (можна вважати, що в цьому випадку).

Умовимося зіставляти орієнтованої прямий l з полярними координатами і s дуальне число

,, (19)

(рис. 2). При цьому паралельним o прямим, для яких = 0, природно відносити числа нульового модуля, тобто дільники нуля. Щоб встановити точну відповідність між паралельними o прямими і дільниками нуля, зауважимо, що відстань d = { O , l } не паралельної o прямий l від полюса O дорівнює

(20)

(рис. 2, а). Щоб формула (20) зберегла силу і для паралельної o прямий m , віддалений від o на відстані { o , m } = d , то цієї прямої потрібно зіставити число

(тобто, де u = 0 і).

Двом пересекающим o прямим l і l , який вирізняється тільки напрямком і, отже, мають полярні координати () і (), відповідають дуальні числа

і

.

Вважаючи, що це співвідношення зберігає силу і для прямих, що не перетинають o , умовимося відносити протівопараллельной o прямий m , віддалений від o на відстані { o , m } = d , число

(зауважимо, що якщо відстань { o , m } від o до паралельної o прямий m , що збігається за положенням на площині з прямою m , одно d , то d = - d ). Прямий o , що відрізняється тільки напрямом від полярної осі o (Протівоосі), ми зіставимо число.

Тим самим ми встановлюємо повне відповідність між орієнтованими прямими площини і дуальними числами, включаючи сюди також і числа виду w , де w 0 речовинно, і число.

Очевидно, що речовим числах відповідають проходять через полюс O прямі; числах модуля 1 - перпендикулярні o прямі; чисто уявним числам v (числах нульового модуля) і числах нескінченного модуля w відповідають паралельні і протівопараллельние осі o прямі. Спряженим числах і відповідають прямі симетричні відносно полюса O ; протилежним числах і - прямі, симетричні щодо полярної осі o (тобто прямі, що перетинають o в одній і тій же точці L і створюючі з o рівні кути { o , z } = { - z , o }; див. рис. 2, б); числах z і відповідають прямі, що відрізняються тільки напрямком. Таким чином, рівності

(а), (б), (В) (21)

можна розуміти як записи певних перетворень в безлічі орієнтованих прямих площині: симетрії відносно точки O , симетрії відносно прямої o і переорієнтації (зміни напрямку всіх прямих площини на протилежне).

З'ясуємо тепер, як записуються з допомогою дуальних чисел довільні рухи (до числа яких віднесемо і переорієнтацію, також не міняє відстаней між точками площини).

Паралельний перенос уздовж o на відстань t переводить пряму, якій відповідає дуальне число

,

в пряму, якій відповідає число

(рис. 3, а). Звідси випливає, що цей паралельний перенос можна записати так:

, де, (22)

(тому).

Паралельний перенос на відстань t в напрямку, перпендикулярному o , переводить пряму

в пряму

(рис. 3, б). Але

.

Останню формулу можна записати в більш витонченому вигляді. Зауважимо, що

;

таким чином, розглянутий паралельний перенесення записується формулою

, де, . (22, а)

Звідси випливає, що довільний паралельний перенос, тобто перенесення на відстань t в напрямку o і на відстань t в напрямку lo , записується формулою

,, ,

або, якщо ввести позначення (тобто) і скористатися тим, що,,, формулою

, (23)

де, ,,.

Перейдемо тепер до обертання площині. Очевидно, що поворот навколо O на кут переводить пряму в пряму, де (рис. 4). Таким чином,

(24)

(тут використовується той, що якщо z і z - дуальні числа, то, і). Далі, якщо d і d ' - відстані прямих z і z 'від полюса, то

тому

.

З іншого боку, оскільки, то

. (24а)

З (24) і (24а) випливає, що наше обертання записується формулою

, (25)

де, .

Нарешті, саме загальне рух являє собою поворот (25) навколо O на деякий кут, причому це обертання може супроводжуватися ще паралельним переносом (33):

.

В іншому вигляді це перетворення можна записати так:

, (26а)

де, .

Можливо, також, що вихідне рух являє собою симетрію (21б) відносно прямої o , супроводжувану перетворенням (36а) (обертанням навколо O і паралельним переносом):

. (26б)

Нарешті, рух може представляти собою переорієнтацію (21в), супроводжувану одним з перетворень (36а) або (36б):

, (26в)

де, , Або

, (26г)

де, .

Очевидно, що орієнтований кут {} між прямими і дорівнює (рис. 5, а)

Це можна записати так:

.

Отриманий результат можна також представити в наступній симетри...чною формою:

. (27)

Знайдемо тепер орієнтоване відстань d = {[], []} між точками [] та [] перетину певної прямий з двома іншими прямими і (рис. 5, б). Очевидно, що відстань d між точками перетину прямої o з прямими і дорівнює

.

Приклад руху, переводящего дану пряму в пряму o , дається формулою

;

це рух переводить прямі і в прямі і. Звідси отримуємо

. (28)

Умовою того, що прямі, і перетинаються в одній точці, є рівність нулю відстані між точками перетину і з, тобто, в силу формули (28), речовинність відносини.

Ця умова можна переписати ще так:

. (29)

Отже, "рівняння точки", тобто умова, якому задовольняють прямі, проходять через одну точку [], має вид

,

або

, A - чисто уявне (30)

(тут, ).

Знайдемо тепер умова того, що чотири орієнтовані точки,, і належать одній орієнтованої окружності. При цьому під орієнтованої окружністю ми тут розуміємо сукупність усіх орієнтованих прямих l , орієнтоване відстань { O , l } яких від даної точки O (центру кола) має фіксоване значення r . Число r називається радіусом окружності; таким чином, радіус орієнтованої окружності може бути як позитивним, так і негативним. З визначення орієнтованого відстані { O , l } від точки O до прямої l випливає, що радіус орієнтованої окружності буде позитивним, якщо напрямок обходу протилежно напрямку обертання годинникової стрілки, і негативним в іншому випадку.

Можна показати, що чотири орієнтовані прямі,, і в тому і тільки в тому випадку належать одній орієнтованої окружності або проходять через одну точку, якщо

{[], []} {[], []} = {[], []} {[], []}. (31)

Щоб переконатися в цьому, розглянемо рис. 33, на якому зображені чотири орієнтовані дотичні,, і орієнтованої окружності S , що стосуються S відповідно в точках M , N , P і Q ; точки [], [], [] і [] позначені через A , B , C і D . При цьому, очевидно, маємо

і

В силу відомого властивості дотичних до окружності

{ A , P } = { M , A }, { P , B } = { B , N }, { C , Q } = { N , C }, { Q , D } = { D , M },

значить, у всіх випадках виконується умова (31)

{ A , B } { C , D } = { D , A } { B , C }.

Неважко переконатися і в тому, що якщо рівність (31) має місце, то чотири прямі, , І належать одній орієнтованої окружності або проходять через одну точку.

Скориставшись тепер формулою (28), ми можемо переписати умову (31) наступним чином:

,

або, кілька спростивши ліву частину останнього рівності і перетворивши праву,

.

Але

і

(тому й)

Таким чином, рівність (31) можна переписати в наступному простій формі:

. (32)

дуальної число природно називати подвійним відношенням чотирьох прямих,, і; позначати його будемо символом W (,,,). Таким чином, умовою того, що чотири прямі,, і належать одній орієнтованої окружності (ненульового радіуса або окружності радіуса нуль - точці), є речовинність подвійного відносини W (,,,) = цих чотирьох прямих.

Останньому умові можна надати вигляду:

=, (33)

звідки випливає, що рівняння орієнтованої окружності (яка в окремому випадку може виявитися і точкою),
=. (34)
(35)

. (36)

, (37)

і

,

.
. (38)
числа

і.

і,

де і

противному випадку. тобто тобто
, або,
, (27)

. (28)
вид
(30)

(35)
Скориставшись якщо

,, співвідношення:

. (36)

Висновок
ісло, розширивши безліч дуальних чисел, ввели визначення дільника нуля, представили запис дуального числа у формі, близькій до тригонометричній формі комплексного числа, і вивели закони, що дозволяють зводити дуальне число в будь-яку цілу позитивну ступінь n і отримувати з нього корінь ступеня n . Аналогічним чином визначили подвійні числа і дії над ними. Ввівши на площині полярну систему координат, встановили повну відповідність між орієнтованими прямими площини і дуальними числами, за допомогою дуальних чисел записали всі види рухів, знайшли умова того, що чотири орієнтовані точки належать одній орієнтованої окружності, і, користуючись цією умовою, вивели рівняння орієнтованої окружності. В повній аналогії з викладеним вище встановили взаємно однозначна відповідність між множиною орієнтованих і нескінченно віддалених прямих площині Лобачевського і безліччю подвійних чисел і вивели формули для запису рухів. Також ми дали визначення циклу безлічі орієнтованих і нескінченно віддалених прямих площині Лобачевського і отримали необхідна і достатня умова приналежності одному циклу чотирьох прямих площині Лобачевського.

Ці результати можуть бути прикладені до доказу багатьох теорем евклідової геометрії та неевклідової геометрії Лобачевського. При цьому використання дуальних і подвійних чисел багато в чому спрощує доказ різних теорем.

Література

Яглом І. М. Комплексні числа та їх застосування в геометрії. - М.: Фізматгіз, 1963

Маркушевич А. І. Комплексні числа і конформні відображення. - М.: Наука, 1979

[1] Це твердження залишається в силі і в тому випадку, коли модуль одного або обох співмножників дорівнює нулю (Т. к. якщо, то і; так, наприклад,).

[2] Неважко бачити, що корінь цілій степені n > 1 з дуального числа, модуль якого дорівнює нулю (з числа, що є дільником нуля), витягти не можна.

[3] У деяких випадках зручно вважати, що аргумент подвійних чисел, що мають другу з форм (15), є звичайним комплексним числом

Arg { r ( sh j + ech j )} = j - i.

Ця угода зручно тим, що в такому випадку завжди

z = | z | [ ch ( Arg z ) + esh ( Arg z )]

Вернуться назад