Деякі чудові криві

Міністерство освіти і науки РФ

Череповецький державний університет

Інститут інформаційних технологій

Кафедра прикладної математики

Дисципліна: Геометрія і алгебра

Курсова робота

на тему В«Деякі чудові криві В»

р. Череповець

2010-2011 н.р.

Зміст

Введення

1. Строфоїди

1.1 Визначення

1.2 Історичні відомості

1.3 стереометричних освіту

1.4 Особливості форми

1.5 Завдання

2. Ціссоіда Діокла

2.1 Визначення та побудова

2.2 Історичні відомості

2.3 Площа S смуги

2.4 Обсяг V тіла обертання

2.5 Завдання

3. Декартом лист

3.1 Історичні відомості

3.2 Побудова

3.3 Особливості форми

3.4 Завдання

4. Равлик Паскаля

4.1 Визначення та побудова

4.2 Історичні відомості

4.3 Особливості форми

4.4 Властивості нормалі

4.5 Побудова дотичної

4.5 Завдання

5. Лемніската Бернуллі

5.1 Визначення

5.2 Історичні відомості

5.3 Побудова

5.4 Особливості форми

5.5 Властивості нормалі

5.6 Побудова дотичної

5.7 Завдання

<p> Висновок

Використана література

Введення

В даній роботі ми розглянемо деякі чудові криві і їх особливості.

У параграфі 1 буде розглянута строфоїди, особливості її форми, стереометрическое освіту і історичні відомості.

У 2-му параграфі ми вивчимо ціссоіду Діокла і деякі формули, пов'язані з нею.

У пункті 3 дізнаємося метод побудови, особливості форми і історичні відомості про кривої, званої В«Декартом листВ».

У 4-му параграфі розглянемо равлика Паскаля. Її визначення, побудова, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної. плоский кривої Лемніската Бернулі строфоїди

У параграфі 5 буде вивчена Лемніската Бернуллі: визначення, побудова, історичні відомості, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної.

А також за допомогою завдань дізнаємося формули кривих в прямокутній декартовій та полярній системах координат.

1. Строфоїди

1.1 Визначення.

Пряма строфоїди , або просто строфоїди , визначається так: беремо взаємно-перпендикулярні прямі AB, CD (Рис.1) і на одній з них точку A; через неї проводимо свавілля пряму AL, перетинає CD в точці P. На AL відкладаємо відрізки PM 1, , PM 2 рівні PO (O - Точка перетину AB та CD). Строфоїди (пряма) є геометричне місце точок M 1 , M 2 .

Коса строфоїди (Рис.2) будується аналогічно з тією різницею, що AB і CD перетинаються косокутних.

1.2 Історія питання

строфоїди була розглянуто (ймовірно, вперше) Ж. Роберваля в 1645 р. під ім'ям птероіди. Нинішня назва введено Міді в 1849 р.

1.3 стереометричних освіту

Уявімо собі циліндричну поверхню з віссю CD (Див. рис.1) і радіусом AO. Через точку A проведемо перпендикулярну площині креслення довільну площину K (Пряма AL - слід цієї площині). У перетині отримаємо еліпс; його фокуси M 1 , M 2 описують пряму строфоїди.

Коса строфоїди будується аналогічно з тією лише різницею, що циліндрична поверхня замінюється конічної: вісь конуса (OS на рис.2) проходить через O перпендикулярно AB; пряма UV, проходить через B паралельно CD, - Одна з утворюють. Точки M 1 , M 2 - Фокуси відповідного конічного перетину; коса строфоїди розташована на обох порожнинах конічній поверхні і проходить через вершину S останньої.

1.4 Особливості форми

Точка O - Вузлова; дотичні до гілок, які проходять через O, взаємно перпендикулярні (як для прямої, так і для косою строфоїди). Для косою строфоїди (рис.2) пряма UV служить асимптотою (при нескінченному віддаленні вниз). Крім того, UV стосується косою строфоїди в точці S, равноотстоящей від A і B.

У прямій строфоїди точка торкання S В«йде в нескінченність В»(при видаленні вгору), так що пряма UV (Див. рис.1) служить асимптотою для обох гілок.

1.5 Завдання

Написати рівняння строфоїди в прямокутній декартовій системі координат, осями якої є прямі AB і CD, а напрямок осі OX визначається напрямком осі строфоїди.

Рішення:

Нехай O - Початок координат; вісь OX спрямована по променю OB; AO = a, AOD = О±; коли строфоїди - коса, система координат - косокутних, вісь OY спрямована по променю OD:

(1)

Для прямої строфоїди рівняння (1) приводиться до вигляду

.

2. Ціссоіда Діокла

2.1 Визначення та побудова

На відрізку OA = 2a, як на діаметрі, будуємо окружність C (рис.3) і проводимо через A дотичну UV. Через O проводимо довільну пряму OF, що перетинає UV в точці F; ця пряма перетне (Вдруге) окружність C в точці E. На прямій OF від точки F у напрямку до O відкладаємо відрізок FM, рівний хорді OE.

Лінія, описувана точкою M при обертанні OF близько O, називається ціссоідой Діокла - по імені грецького вченого 2 століття до н.е., який ввів цю лінію для графічного рішення задачі про подвоєння куба.

Особливості форми. Ціссоіда симетрична щодо OA, проходить через точки B, D і має асимптоти UV (X = 2a); O - точка повернення (радіус кривизни RO = O).

Побудова дотичної. Щоб побудувати дотичну до ціссоіде в її точці M, проводимо MPOM. Нехай Q, P - Точки перетину MP з прямими OX, OY. Від точки P на продовженні відрізка QP відкладаємо відрізок PK = PQ. Будуємо KNMO і ONQP. Точку N перетину KN і ON з'єднуємо з M. Пряма MN - нормаль до ціссоіде. Шукана дотична MT перпендикулярна MN.

2.2 Історичні відомості

Діокл визначав ціссоіду за допомогою іншого побудови. Він проводив діаметр BD, перпендикулярний OA; точка M виходила в перетині хорди OE з прямою GG М• BD, проведеної через точку G, симетричну з E відносно BD. Тому лінія Діокла розташовувалася цілком усередині кола C. Вона складалася з дуг OB і OD. Якщо замкнути лінію BOD ​​півколом BAD, описаної точкою E, виходить фігура, що нагадує листок плюща. Звідси назва В«ціссоідаВ».

Приблизно в 1640 р. Роберваля, а пізніше Р. де Слюз помітили, що ціссоіда необмежено продовжується і за межі кола, якщо точка E описує та іншу півколо BOD; тоді M лежить на продовженні хорди OE. Однак найменування В«Ціссоіда СлюзВ», запропоноване Гюйгенсом, не утвердилося в літературі.

2.3 Площа S смуги

укладеної між ціссоідой і її асимптотою (ця смуга тягнеться в нескінченність), конечна; вона втричі більше площі виробляючого круга C:

.

2.4 Обсяг V тіла обертання

вищезгаданої смуги близько асимптоти UV дорівнює обсягу VМ• тіла обертання круга C близько тієї ж осі (Слюз):

.

При обертанні тієї ж смуги близько осі симетрії виходить тіло нескінченного обсягу.

2.5 Завдання

Дана ціссоіда Діокла з полюсом в точці O, віссю OA і параметром 2a. Прийнявши точку O за полюс, а вісь кривої за вісь полярної системи, вивести рівняння кривої в полярних координатах. Записати рівняння кривої в прямокутній декартовій системі координат.

Рішення:

Нехай O - Початок координат, OX - вісь абсцис. Тоді рівняння в прямокутній системі координат:

.

Як...що O - Полюс і OX - полярна вісь, то рівняння в полярних координати буде мати вигляд:

.

3. Декартом лист

3.1 Історичні відомості

У 1638 р. Р. Декарт, щоб спростувати (невірно їм зрозуміле) правило П. Ферма для знаходження дотичних, запропонував Ферма знайти дотичну до лінії. При звичайному для нас тлумаченні негативних координат ця лінія, яку в 18 столітті стали називати декартовим листом, складається з петлі OBAC (Рис.4) та двох нескінченних гілок (OI, OL).

Але в такому вигляді її представив вперше Х. Гюйгенс (1692 р.). До цього лінію представляли в вигляді чотирьох пелюсток (один з них OBAC), симетрично розташованих в чотирьох координатних кутах. Тому її називали В«Квіткою жасминуВ».

3.2 Побудова

Щоб побудувати Декартом лист з діаметром петлі проведемо окружність A радіусу і яку пряму GH, паралельну AO. Далі проведемо прямі AA М• і OE, перпендикулярні AO, і відзначимо точки A М• , E їх перетину з GH. Нарешті, відкладемо на промені OA відрізок OF = 3OA і проведемо пряму FE. Тепер шукана лінія будується по крапках наступним чином.

Через O проводимо будь-яку пряму ON і через точку N, де ця пряма перетинає (вдруге) окружність, проводимо NQAA М• . Точку Q, де NQ перетинає пряму OF з'єднуємо з A М• і відзначаємо точку K, де QA М• перетинає FE. Проводимо пряму AK до перетину з прямою GH в точці Q М• . Нарешті, відкладаємо на прямій OA відрізок OP, рівний і равнонаправленний з відрізком A М• Q М• . Пряма M 1 M 2 , проведена через P паралельно AA М• , перетне пряму ON в точці M 1 . Ця точка (а також точка M 2 , симетрична їй щодо AO), належить шуканої лінії.

Коли точка N, виходячи з O, описує коло A проти годинникової стрілки, точка M 1 описує траєкторію LOCABOI.

3.3 Особливості форми

Точка O - Вузлова. Дотичні, що проходять через O, збігаються з осями координат. Пряма OA () Є вісь симетрії. Точка, найбільш віддалена від вузлової точки, називається вершиною (коефіцієнт виражає діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді OA петлі, так що). Пряма UV () - Асимптота обох нескінченних гілок.

3.4 Завдання

Написати рівняння декартова аркуша в прямокутній системі координат і, прийнявши точку O за полюс, в полярній системі координат.

Рішення:

Рівняння в прямокутній системі:

.

Рівняння в полярній системі (OX - полярна вісь):

.

4. Равлик Паскаля

4.1 Визначення та побудова

Дано: Точка O ( Полюс ), окружність K діаметра OB = a (Рис.6), що проходить через полюс ( основна окружність ; вона показана на кресленні пунктиром), і відрізок. З полюса O проводимо довільну пряму OP. Від точки P, де пряма OP вдруге перетинає коло, відкладаємо в обидві сторони від P відрізки. Геометричне місце точок M 1 , M 2 (Жирна лінія на рис.6) називається равликом Паскаля - на честь Етьєна Паскаля (1588 - 1651), батька знаменитого французького вченого Блеза Паскаля (1623 - 1662).

4.2 Історичні відомості

Термін В«равлик ПаскаляВ» запропонований Ж. Роберваля , сучасником і другом Паскаля. Роберваля розглядав цю лінію як один з видів узагальненої конхоида.

4.3 Особливості форми

Равлик Паскаля симетрична відносно прямої OB. Ця пряма (вісь равлики) перетинає равлика: 1) в точці O (Якщо остання належить равлику); 2) у двох точках A, C ( вершини ). Форма лінії залежить від співвідношення між відрізками і.

1) Коли (лінія 1 жирна; для неї) равлик Паскаля перетинає сама себе в вузловій точці O

,

утворюючи дві петлі: зовнішню OHA 1 GO і внутрішню OH ' C 1 G ' O. Кутовий коефіцієнт дотичних OD, OE в вузловій точці:

.

Для побудови дотичних досить провести хорд OD, OE довжини l в окружності K. Найбільш віддаленим від осі точках G, H зовнішньої петлі відповідає значення

;

Найбільш віддаленим точкам G ', H ' внутрішньої петлі - значення

.

Відповідне полярне значення полярного радіуса:

.

2) Коли (лінія 2 на рис.6), внутрішня петля затягується до полюса і перетворюється в точку повернення, де рух у напрямку променя OX змінюється рухом у протилежному напрямку. Найбільш віддаленим від осі точкам L, M відповідають значення

.

Лінія 2 називається кардіоїда , тобто В«СердцеобразнойВ» (термін введений Кастіллоном в 1741г.). Вона зображена окремо на рис.7

3) Коли (Лінія 3; для неї), равлик Паскаля - замкнена лінія без самопересеченія; відірвавшись від полюса, вона укладає його всередині себе. Найбільш віддаленим від осі точках L ', N ' відповідає значення. Втративши точки повернення, равлик набуває замість точки перегину R, Q, яким відповідає значення. Кут ROQ , Під яким відрізок RQ видно з полюса, по Принаймні зростання спочатку зростає від нуля до; цьому значенню відповідає. При подальшому збільшенні кут ROQ убуває, прагнучи до нуля при.

4) При точки перегину, зливаючись з вершиною C пропадають (Причому кривизна в точці C стає рівною нулю). Улітку набуває овальну форму і зберігає її при всіх значеннях

(лінія 4; для неї). Найбільш віддаленим від осі точках L '' , N '' відповідає значення

.

4.4 Властивості нормалі

Нормаль равлики Паскаля в її точці M (рис.7) проходить через точку N основного кола K, діаметрально протилежну тій точці P, де OM перетинається з основний окружністю.

4.5 Побудова дотичній

Щоб провести дотичну до равлику Паскаля в її точці M, соежіняем останню з полюсом O. Точку N основний окрудності K, діаметрально протилежних точці P, з'єднуємо з M. Пряма MN буде нормаллю до равлику. Проводячи MT MN, отримаємо шукану дотичну.

4.6 Завдання

Дана равлик Паскаля з полюсом в точці O. Написати рівняння в прямокутній і полярній системах координат.

Рішення:

Нехай початок координат - В полюсі O, вісь OX спрямована по променю OB. Тоді рівняння в прямокутній системі координат буде мати вигляд:

. (1)

Строго кажучи, це рівняння являє фігуру, що складається з равлики Паскаля і полюса O, який може і не належати певному вище геометричному місцю (такий випадок має місце для ліній 3 і 4 на рис.6).

Рівняння в полярній системі (O - полюс, OX - Полярна вісь):

, (2)

де змінюється від якого-небудь значення до.

5. Лемніската Бернуллі

5.1 Визначення

Лемніската є геометричне місце точці, для яких твір відстаней від них до решт данно отрещка одно. Точки F 1 , F 2 називаються фокусами Лемніската; пряма F 1 F 2 - Її віссю.

5.2 Історичні відомості

У 1694 р. Якоб Бернулі в роботі, присвяченій теорії припливів і відливів, використовував у як допоміжний засіб лінію, яку він задає рівнянням. Він відзначає схожість цієї лінії (рис.8) з цифрою 8 і узлообразних пов'язкою, яку він іменує В«лемніскомВ». Звідси називання Лемніската. Лемніската от...римала широку івестность в 1718 р., коли італійський математик Джуліо Карло Фаньяно (1682 - 1766) встановив, що інтеграл, що представляє довжину дуги Лемніската, не виражається через елементарні функції, і тим не менш Лемніската можна розділити (за допомогою лінійки та циркуля) на n рівних дуг за умови, що або або, де m - Будь-яке ціле позитивне число.

Лемніската є приватний вид лінії Кассіні. Однак, хоча лінії Кассіні отримали загальну популярність з 1749 р., тотожність В«вісімки КассініВ» з Лемніската Бернулі була уставновлена ​​лише в 1806 р. (італійським математиком Саладін ).

5.3 Побудова

Можна застосовувати загальний спосіб побудована лінія Кассіні, але нижчевикладений спосіб ( К. Маклорена ) і простіше і краще. Будуємо (див. рис.) Коло радіуса з центром в точці F 1 (Або F 2 ). Проводимо довільну січну OPQ і відкладаємо на цій прямій по обидва боки від точки O відрізки OM і OM 1 , рівні хорді PQ. Точка M опише одну з петель Лемніската, точка M 1 - Іншу.

5.4 Особливості форми

Лемніската має дві осі симетрії: пряму F 1 F 2 (OX) і пряму OYOX. Точка O - вузлова; обидві гілки мають тут перегин. Дотичні в цій точці складають з віссю OX кути. Точки A 1 , A 2 Лемніската, найбільш віддалені від вузла O ( Вершини Лемніската), лежать на осі F 1 F 2 на відстані від вузла.

5.5 Властивості нормалі.

Подяоний радіус OM Лемніската утворює з нормаллю MN кут, удвічі більше полярного кута:

.

Іншими словами: кут між віссю OX і вектором NN ' зовнішньої нормалі Лемніската в точці M дорівнює потроєному полярному куту точки M:

.

5.6 Побудова дотичній

Щоб побудувати дотичну до Лемніската в її точці M, проводимо полярний радіус OM і будуємо. Перпендикуляр MT до прямої MN є шукана дотична.

5.7 Завдання

Написати рівняння Лемніската Бернуллі в прямокутній системі координат (O - Серідіни відрізка F 1 F 2 ) і в полярній системі координат (O - Полюс).

Рішення:

Нехай точка O - Початок координат; вісь OX спрямована по F 1 F 2 . Тоді Рівняння в прямокутній системі координат:

.

Якщо O - Полюс, OX - полярна вісь, то рівняння в полярній системі:

.

Кут змінюється в проміжках і.

Висновок

В даній роботі ми розглянули деякі чудові криві, вивчили їх способи побудови, особливості форми і завдання, пов'язані з цими кривими.

У параграфі 1 була розглянута строфоїди, особливості її форми, стереометрическое освіту і історичні відомості.

У 2-му параграфі ми вивчили ціссоіду Діокла і деякі формули, пов'язані з нею.

У пункті 3 дізналися метод побудови, особливості форми і історичні відомості про кривої, званої В«Декартом листВ».

У 4-му параграфі розглянули равлика Паскаля. Її визначення, побудова, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної.

У параграфі 5 була вивчена Лемніската Бернуллі: визначення, побудова, історичні відомості, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної.

А також за допомогою завдань дізналися формули кривих в прямокутній декартовій та полярній системах координат.

Використовувана література:

1. Маркушевич А.І., Чудові криві, М., 1978 р., 48 стор з іл.

2. Вигодський М.Я., Довідник з вищої математиці, М.: АСТ: Астрель, 2008, 991 стор з іл.

3. Атанасян Л.С. і Атанасян В.А., Збірник задач з геометрії. Учеб. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. ін-тів. Ч. I, М., "Просвіта", 1973, 256 с.

4. Гурова А.Е. Чудові криві навколо нас. М, 1989

5. Маркушевич А.І. Чудові криві. - М, 1978

6. ru.wikipedia.org/wiki/Строфоида

7. ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли

8. ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля