Застосування симетрично многочленів

Сумський держаний педагогічний університет імені А. С. Макаренка

Кафедра математики

Курсова робота

з алгебри

на тему: В«ЗАСТОСУВАННЯ симетрично МНОГОЧЛЕНІВВ»

Студенка 3 курсу 432 групи

напряму підготовкі 0402 фізико-математичних наук

спеціальності 6.040203 математика

Рудченко Олені Володімірівні

Керівник викладач кафедри математики

Друшляк Марина Григорівна

м. Сумі - 2010 р.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. Теоретичні ПОЛОЖЕННЯ ПРО СІМЕТРІЧНІ многочленами ТА ЇХ Властивості

1.1 Загальні Поняття про симетрично многочлен

1.2 Властивості симетрично многочленів

РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ Симетрично МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв'язування систем рівнянь

2.2 Доведення тотожності

2.3 Звільнення від ірраціональності

2.4 вилучення коренів

ВИСНОВКИ

Список використаних джерел

ВСТУП

Важливе Місце в курсі алгебри посідають сіметрічні многочленами та, зокрема, застосування симетрично многочленів при розв'язуванні рівнянь, систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожня, Звільнення від ірраціональності у дробом ТОЩО. Цімі харчування Займан Багато вчених, зокрема, Франсуа Вієт.

Франсуа Вієт розробив ряд Важливим харчування Теорії рівнянь 1 - 4 степенів. ВІН сформулював и довів кілька теорем про взаємозв'язкі Між корінними и коефіцієнтамі рівнянь, зокрема, й теорему про зведене квадратне рівняння (Теорема Вієта). На сьогоднішній день теорема Вієта є необхідною и Важливим Частина шкільної прогр.

Дана курсова робота Складається з вступити, двох розділів, вісновків и списком використаних джерел. Перший Розділ В«Теоретичні положення про будинок сіметрічні многочленами та їх Властивості В»Складається з двох параграфів. Смороду прісвячені Загальна поняттям та основна властівостям симетрично многочленів. Другий Розділ В«Застосування симетрично многочленівВ» містіть в собі Приклади застосування симетрично многочленів на практіці. Розділ Складається з чотірьох параграфів. Смороду прісвячені застосування симетрично многочленів до розв'язуванні систем рівнянь, доведення тотожності, Звільнення від ірраціональності у дріб та вилучення коренів.

властівість рівняння симетрично многочлен

РОЗДІЛ I. Теоретичні ПОЛОЖЕННЯ ПРО СІМЕТРІЧНІ многочленами ТА ЇХ Властивості

1.1 Загальні Поняття про симетрично многочлен

Серед найбільш важка Завдання на розв'язання систем рівнянь віщіх степенів є наступні:

Усі ці системи мают одну Загальну властівість - ліві частина рівнянь є многочленами, у які x и y входять однаково способом.

Означення. Многочлен від x и y назівають симетрично, ЯКЩО ВІН НЕ змінюється при заміні x на y, та y на x.

Означення. симетрично многочлен - многочлен від n змінніх F (x 1 , x 2 , ..., x n ), Що не змінюється при Всіх перестановках змінніх. Тобто многочлен F є R [x 1 , x 2 , ..., x n ] от n змінніх над комутатівнім кільцем R є симетрично Якщо для довільної перестановки.

Справедлива рівність: F ( x 1 , x 2 , ..., x n )

Сіметрічні многочленами утворюють підалгебру R-алгебри R [ x 1 , x 2 , ..., X n ] многочленів від n змінніх над кільцем R.

Многочлен x 2 y + xy 2 - симетрично. Навпаки, многочлен x 3 - 3y 2 не є симетрично: при заміні x на y , а y на x ВІН перетворюється на многочлен y 3 - 3x 2 , Який НЕ збігається з Первин.

Пріведемо найважлівіші Приклади симетрично многочленів. Як відомо з арифметики, сума двох чисел не міняється при перестановці доданків, тобто:

x + y = y + x

для будь-яких чисел x и y . Ця рівність показує, Що многочлен x + y є симетрично. Так само із Законом комутатівності множення xy = yx

вітікає, Що добуток xy є симетрично многочленом. Сіметрічні многочленами x + y и xy є найпростішімі. Їх назівають елементарних симетрично многочленами від x и y . Для них вікорістовують спеціальні позначені:

Коженна многочлен від основних симетрично, є симетрично.

Окрім І, часто зустрічаються так звані степеневі суми, тобто многочленами x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ,. . ., X n + y n ,. . . прийнятя означать многочлен x n + y n через s n . Таким чином,

. (1)

Ця формула дозволяє послідовно знаходіті S n через і. Так за допомог цієї формули можна послідовно знайте:

;

и т. д. У табліці 1 Зведені виразі степеневих сум s 1 , s 2 ,. . ., S 10 через и ці виразі будуть нам Корисні при розв'язанні задач.

Таблиця 1 вираженість степеневих сум s n = x n + y n через

1.2 Властивості симетрично многочленів

Встановімо тепер деякі елементарні Властивості довільніх симетрично многочленів.

1. Сума, різніця и добуток симетрично многочленів над Деяк полем Р є симетрично многочленами над ЦІМ полем.

Це твердження очевидна.

Наслідок.

множини Всіх симетрично многочленів над полем Р утворює область цілісності з одиницею відносно Дій додавання и множення. Зрозуміло, Що це кільце є підкільцем Всіх многочленів над полем Р.

2. ЯКЩО симетрично многочлен f ( x 1 , x 2 , ..., X n ) містіть Деяк член

(2)

то ВІН містіть и член, утворення з (2) внаслідок будь-якої перестановки показніків .

доведення. Оскількі, Як відомо, від довільної перестановки показніків до всякої іншої перестановки ціх показніків можна перейти за допомог скінченного числа транспозіцій, то Досить показати, Що при транспозіції довільніх двох показніків степенів у члені (2) мі дістаємо Знову Деяк член симетрично многочлена

f ( x 1 , x 2 , ..., x n )

Віконуючі, Наприклад, транспозіцію показніків, та, матімемо член

(3)

за окреслений симетрично многочлена

f (, , ..., x n ) = f (, , ..., x n )

Альо другий з ціх многочленів винен містіті член (3), бо Його дістаємо з члена (2) заміною на и навпаки. Тому внаслідок єдіності канонічної форми I Сейчас многочлен винен містіті член (3).

Наслідок. ЯКЩО

(4)

є вищий член симетрично многочлена, то .

Доведення.Справді, пріпустімо супротивне, тобто Що при якомусь. На підставі Властивості 2 Сейчас многочлен разом з членом (4) містіть и член

(5)

Альо з Умови віпліває, Що член (5) вищий за член (4), тобто член (4) не Може буті віщім у многочлені. Ця суперечність доводити наше твердження.

такоже можна сформулювати таку Важливим властівість симетрично многочленів, Якові назівають основна теорема.

Теорема1 (Основна теорема Теорії симетрично многочленів): Всякий симетрично многочлен f ( x 1 , x 2 ,... ..., x n ) від п змінніх над полем Р можна податі у вігляді многочлена від основних симетрично функцій ціх змінніх, коефіцієнті Якого належать тому самому полю Р. І таке зображення єдине.

доведення. Зробимо насамперед Такі Зауваження.

1) усіх членів Певного степеня L, утворення з даніх змінніх x 1 , x 2 , ..., x n (не враховуючі подібніх), Може буті Ліше скінченне число; Це число, очевидно, дорівнює числу способів, якімі можна податі Як торбу n невід'ємніх ціліх упорядкованіх доданків.

2) Теорему Досить довести для однорідніх симетрично многочленів, бо всякий симетрично многочлен можна податі Як торбу однорідніх симетрично многочленів. Справді, всякий многочлен є сумою однорідніх многочленів. ЯКЩО ж Сейчас многочлен симетрично, то й Кожній складового однорідній многочлен винен буті симетрично, бо при переставлянні змінніх x 1 , x 2 , ..., X n Кожній член Може перейти Ліше в член того самого степеня, тобто в Інший член того самого однорідного складового многочлена.

3) Вищий член будь-якого симетрично багаточлена можна податі Як вищий член Деяк добутку основних симетрично функцій

Справді, розглянемо добуток

(6)

За наслідком з Властивості 2, ВСІ степені - невід'ємні числа, того (6) є многочленом від x 1 , x 2 , ..., x n . За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку віщіх членів многочленів (Причому піднесення до степеня слід розглядаті Як множення однакових многочленів). Оскількі віщі члени дорівнюють відповідно x 1 ; x 1 x 2 ; ...; x 1 x 2 ... x n-1 ; x 1 x 2 ... x n-1 x n , то вищий член добутку (6) дорівнює:

тобто (Як це видно після елементарних перетвореності) збігається з завданні членом

Після ціх Зауваження легко довести теорему.

1) доведення Існування. Нехай вищий член симетрично многочлена f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) (Який мі в результаті Зауваження 2 Можемо вважаті одноріднім многочленом степеня N) дорівнює

(7)

Побудуємо симетрично многочлен

Згідно з Зауваження 3, вищий член цього многочлена дорівнює (7). Крім того, ВІН однорідній, бо такими є ВСІ многочленів, а тому, очевидно, и їх добуток. Степінь многочлена дорівнює ступеня многочлена f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) < i> бо в них однакові віщі члени.

Візьмемо

f 1 (, , ... x n ) f (, , x n ) -.

Зрозуміло, Що f (, , x n ) - також однорідній симетрично многочлен степеня N. Альо (, , x n ) Вже НЕ містіть усіх членів цього степеня. Справді, ВІН НЕ містіть віщого члена (7), Який у Цій різніці зніщується. Крім того, в Цій різніці зніщуються ВСІ n! членів, які дістаємо з віщого члена перестановки показніків бо ці члени, за властівістю 2, входять в обидвоє сіметрічні многочленами.

Тепер зрозуміло, Що (, , x n ) Може містіті Ліше члени, ніжчі за (7). Застосовуємо до цього многочлена тій самий метод. Нехай вищий член многочлена має Вигляд:

(8)

Вважаючі

B

и утворюючі різніцю:

f 2 (, , ... x n ) f 1 (, , x n ) -,

бачімо, Що (, , x n ) є симетрично и однорідній многочлен степеня N, Який НЕ Може містіті Ні члена (7), НІ члена (8), а Тільки члени, ніжчі за них. Оскількі, взагалі, різніх членів степеня N Може буті Ліше скінченне число (Зауваження 1), то, продовжуючі цею процес, ми на якомусь кроці обов'язково дістанемо, Що різніця

f k +1 (x 1 , x 2 , ... x п ) = f k (x 1 , x 2 , ... x п ) - g k (x 1 , x 2 , ... x n )

Не Може містіті жодних члена степеня N, тобто дорівнює нулю. Тоді з рівностей

,

,

.

віпліває, Що

.

А оскількі ВСІ віражені через добуткі то многочлен f (, , x n ) подано Як многочлен від основних симетрично функцій f (, , x n ) = (9)

коефіцієнті Якого Знайда з коефіцієнтів даного многочлена за допомог операцій додавання и віднімання и того належать полю Р. Теорему доведено. Справедлива кож теорема про є Д.І н і с т ь многочлена

2) доведення єдіності.

Нехай маємо

f (, , x n ) =

f (, , x n ) =

Тоді різніця

=

винна дорівнюваті нулю при будь-яких значеннях x 1 , x 2 , ..., x n .

Зауважімо, Що многочлен можна розглядаті двояко: як многочлен від x 1 , x 2 , ..., x n (бо від ціх змінніх залежався) i Як многочлен від нас треба розглянуті Останнє. Єдіність зображення (9) полягає самє в тому, Що многочленів, мают однакові відповідні коефіцієнті, тобто Що многочлен має коефіцієнті які дорівнюють нулю, в усіх членах. Альо залежні Між собою, бо віражаються через ті Самі змінні , , x n . У зв'язку з ЦІМ поряд з многочленом від залежних змінніх розглянемо такий самий многочлен від незалежних змінніх . Тепер нам треба довести, Що коли тій. Ті самє можна сформулювати ї інакше: нам треба довести, Що коли, то тоді й.

Доведемо Це методом математичної індукції по n . Нехай n = 1 і . Через ті, Що в цьому разі дорівнює x 1 , то, бо, Що ті самє, Що й

Нехай тепер п > 1, и наше твердження правильне для будь-якого числа змінніх, Меншем п. Чі Може буті воно несправедливо для якогось многочлена від п змінніх? Пріпустімо, Що це так и існує многочлен такий, ЩО, альо. Подам за ступенями y п

де - многочленом від, за нашим припущені

(11)

Оскількі, то хоч бі Один з Його коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважаті, що. ЯКЩО, то надалі міркування проводять відносно многочлена , Який дістаємо з після скорочення на . виходе, Що при у п = 0

(12)

З іншого боку, візьмемо в (11) х п = 0. Тоді, а Інші, перетворюються в Основні сіметрічні функції від ( п- 1) змінніх. Позначімо їх через. Отже, при х п = 0 з (11) дістаємо:

, 0) = (13)

Порівнюючі (12) з (13) бачімо, Що мі Прийшли до суперечності з припущені індукції, а тому вісловлене твердження Справедливе и для п.

Єдіність зображення (9) доведено.

З ОСНОВНОЇ теореми Теорії симетрично многочленів можна Зробити Важливим Висновок.

Теорема 2: ЯКЩО f ( x ) - многочлен від однієї змінної над полем Р з Корінні (які можут не належать Р), то будь-який симетрично многочлен f ( x 1 , x 2 , ......, x n ) над полем Р при набуває значення, його призначення та є елементом поля Р.

доведення. Нехай дано якійсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вігляді) над полем Р:

(14)

Позначімо корені цього многочлена через; смороду можут и не належать полю Р. Візьмемо тепер довільній симетрично многочлен над Р от п змінніх. За основною теоремою Теорії симетрично многочленів, многочлен можна податі у вігляді многочлена від основних симетрично функцій з коефіцієнтамі з поля Р, тобто

Візьмемо тепер тут . Тоді за формулами Вієта ВСІ Основні сіметрічні функції дорівнюватімуть відповіднім коефіцієнтам многочлена (14) з належности знаком:

.....................................................................

У зв'язку з ЦІМ

Альо тоді елемент поля Р Як результат ві Конаном операцій додавання и множення над елементами з поля Р. Таким чином,. Отже, ми довели такє твердження.

У ряді харчування доводитися зустрічатіся з задачею побудова за данім многочленом f (х ) є Р [Х ] з корінних такого багаточлена g (у ) , корені Якого віражаються через відповідні корені за допомог Деяк многочлена у = f ( х ) над полем Р; . Найпростіші Задачі такого типу зустрічаються в шкільному курсі алгебри для Р = Q. Оскількі коефіцієнті многочлена g ( у ) відповідно до формул Вієта визначаються рівностямі

.....................................................................

,

то смороду є значення Деяк симетрично многочленів над Р, аргументи якіх є корінь даного многочлена f ( х ) . З oсновної теореми Теорії симетрично многочленів віпліває, Що Завжди можна знайте виразі коефіцієнтів через коефіціeнті даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, Що знайденій многочлен належатіме тому самому кільцю Р [ х ] , Що ї Сейчас многочлен.

Зауважімо, Що сказань залішається справедливості и для більш Загальна випадка, коли , де - довільні сіметрічні многочленом над полем Р.

Розглянутій Вище метод доведення ОСНОВНОЇ теореми можна вікорістаті для практичного зображення симетрично многочленів через Основні сіметрічні функції.

Приклад. Податі симетрично многочлен над полем

+

+

через Основні сіметрічні функції. Як и при доведенні теореми, запішемо цею многочлен Як торбу однорідніх многочленів. Дістанемо:

де

Спочатку подам через Основні сіметрічні многочленами. Вищий Його член є . Згідно з методикою доведення теореми, от слід відняті многочлен

бо система показніків у віщому члені є 2, 1, 0. Альо Немає спожи Фактично віконуваті Це віднімання. Спіраючісь на можлівість и єдіність зображення даного многочлена у вігляді многочлена Досить візначіті можливости Вигляд членів и скорістатіся методом невизначенності коефіцієнтів.

У різніці зніщаться ВСІ члени увазі з довільною Перестановки показніків 2, 1, 0. Проти одночасно можут з'явитися члени того самого степеня 3, альо з іншою, ніжчою системою показніків, а саме: 1, 1, 1. Отже, потім треба буде відняті симетрично многочлен

Тому можна запісаті:,

де а - невизначенності Поки Що коефіцієнт, тобто:

Щоб знайте а, Досить надаті Деяк числове значення зміннім Наприклад = 1. Тоді дістанемо 6 = 9 + а. Отже, а = 3. Таким чином,

Аналогічно міркуватімемо відносно многочлена

Можліві системи показніків тут будуть 2, 0, 0 и 1, 1, 0. Отже, відніматімемо Такі многочленами:

І Далі, аналогічно до Попередня,. При = 1 маємо 3 = 3 2 + b 3, тобто b = 2 і того

(15)

Отже, дістаємо остаточно

РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ Симетрично МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв'язування систем рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частина якіх симетрично залежався від невідоміх x, y. У цьому випадка Зручний перейти до нових невідоміх. За основною теореми Теорії симетрично многочленів, Це Завжди можливости. Необхідність Такої заміні невідоміх полягає в тому, Що степені рівнянь після заміні зменшуються (Оскількі є многочленом Другої степені від x, y). Іншімі словами, Як правило, розв'язування системи відносно нових невідоміх простіше, Ніж розв'язування первінної системи.

Після того, Як знайдені значення величин, треба знайте Значення Первин невідоміх x, y . Це Може буті Зроблено за допомог наступної теореми

Теорема. Нехай - два довільні числа. Квадратний рівняння

(*)

и система рівнянь

(**)

пов'язані Один з одним таким чином: Якщо z 1 , z 2 - Корні квадратного рівняння (*) , то система (**) має два розв ' язки:

и інших розв'язків НЕ має; ЯКЩО x = a, y = b - розв ' язки системи (**) , то числа a и b є корінь квадратний рівняння (*) .

доведення. ЯКЩО z 1 и z 2 - корні квадратного рівняння (*), то по формулах Вієта

тобто числа

є розв'язку системи (**). Ті, Що інших розв'язків система (**) не має, вітікає з последнего твердження теореми, його призначення та мі зараз доведемо.

Отже,

Тоді

Альо Теорема доведена.

Наведемо приклада.

Введемо

З

Отже,

Ця

Розв'язання

Звідсі

З

Таким

У

Таблиця 2.

Таблиця

Наприклад:

З

(*)

ЯКЩО

(**)

З

У

Таблиця

Наприклад,

За

.

Умова

З

З

З

Для

Тоді 2. Ліва

а

Таким

Вказані 2.

Вважаючі,

Мі 2.

Для цього Досить

Складніше доданків. приклада.

Приклад 1.

Вигляд

формули

табл.

,

Звідки:

)

Залішається

Зауваження. (*).

мі

Звідсі

В

,

Звідки:

Мі

,

у

Тепер

.

Потрібно

В

Розглянуті

Іншімі

де f

.

Як

,

ЯКЩО

Іноді .цьому випадка Може Допомогті Наступний прийом. Спробуємо вікорістовуваті (для Отримання многочлен, Що діліться на) не Тільки степеневі суми s n , s 2n , s 3n , . . ., Альо кож и величину Аджея при мі маємо тобто до раціональних віразів s n , s 2n , s 3n ,. . , Мі додаємо Ліше одну ірраціональність. Для Звільнення від цієї ірраціональності, Що залишилась, можна скорістатіся способами, вказанімі на качанів цього пункту.

2.4 вилучення коренів

вилучення коренів можна недоладно віконаті за допомог так званого методу послід...овніх наближення. Додатковий з ЦІМ методом можна ознайомітісь в роботі [3]. Мі опішемо один спосіб Побудова послідовніх наближення, пов'язаний з симетрично многочленами.

Нехай треба обчісліті, де N - Деяк додатнє число. У ЯКОСТІ "Нульовий наближенняВ» віберемо довільні додатні числа и додамо до них число

Взяті числа володіють тією властівістю, Що їхній добуток

Обчіслімо тепер елементарні сімметрічні многочленами від чисел a, які складають Нульовий наближення, и в ЯКОСТІ Першого наближення візьмемо числа

Добуток усіх чисел Першого наближення дорівнює

тобто так Як и раніше дорівнює N .

Тепер складемо елементарні сіметрічні многочленами від чисел, які складають перше наближення, и по ним так само Знайдемо Наступний, одному, наближення:

Добуток Всіх чисел іншого наближення Знову Рівний N. Потім по числах іншого наближення складемо Третє наближення Можна довести, Що при шкірних з величин Що складає n-ті наближення, прямує до.

Приклад 1. При k = 2, тобто при вілученні квадратного кореня мі маємо Такі формули:

и взагалі

,

Нехай, Наприклад, потрібно обчісліті Пріймемо за число 2. Тоді отрімуємо послідовно:

Переводячі Прості дроби в десяткові, маємо:

тобто Третє наближення Дає Вже сім вірніх знаків після коми! (Легко побачіті, Що Одне з чисел, Дає наближення числа з надлишки, а Інше - з недостачею, бо їх добуток дорівнює N.)

Приклад 2. При k = 3, тобто при вілученні кубічного кореня, формули будуть Наступний:

и взагалі

Нехай, Наприклад, потрібно обчісліті. Покладемо. Тоді отрімуємо послідовно:

,

,

Переводячі звічайні дробу в десяткові, маємо:

Наступний наближення почінається з числа

ЯКЩО обчісліті и , То мі переконаємося, Що п'ять знаків тут правильні.

ВИСНОВКИ

Дана курсова робота присвяч сіметрії в алгебрі, зокрема, застосуванню симетрично многочленів. У даній роботі Було розглянуто: Загальні Поняття про сіметрічні многочленами, їх Основні Властивості, основна теорема Теорії симетрично многочленів та застосування симетрично многочленів до розв'язуванні рівнянь, систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожня, Звільнення від ірраціональності у дробом ТОЩО.

У курсовій роботі Було розглянуто Способи розв'язування систем рівнянь и Приклади їх розв'язання; Було віражах степеневі суми через при умові (результати наведені в табліці 2.2), введено Означення орбіт O (x k y l ) , віражах орбіті O (x k y l ) через (результати наведені в табліці 2.2); булі розглянуті випадка, коли для Звільнення від ірраціональностей необхідно застосовуваті сіметрічні многочленів; Було розглянуто спосіб Побудова послідовніх наближення, пов'язаний з симетрично многочленами. Коженов параграф проілюстровано прикладами.

Список використаних джерел

1. Болтянский В. Г., Віленкін М. Я. Симетрія в алгебрі. - М.: МЦНМО, 2002.-240 с.

2. Вейл Г., Сімметрія.-М.: Наука, 1968.-192 с.

3. Віленкін Н. Я., Метод послідовніх наближення. - М.: Фізматгіз. - 1961.-203с.

4. Вінберг Е. Б. Симетрія многочленів. - М.: МЦНМО, 2001.-24 с.

5. Завал С.Т. та ін. Алгебра и теорія чисел: Практикум. Частина 2. - К.: Вища шк., 1986. - 264с.

6. Кудряшов Н. А. симетрии алгебраїчних і диференціальних рівнянь. Соросівський освітній журнал, № 9, 1998, с. 104-110.