Математичні поняття

Термін "Поняття" зазвичай застосовується для позначення уявного образу деякого класу речей, процесів, відносин об'єктивної реальності або нашого свідомості.

Математичні поняття відображають у нашому мисленні певні форми і відносини Насправді, абстраговані від реальних ситуацій.

Кожне поняття поєднує в собі клас об'єктів (речей, відносин) - обсяг цього поняття - і характеристичне властивість, притаманну всім об'єктам цього класу, і тільки їм, - зміст цього поняття. Наприклад, поняття "Трикутник" поєднує в собі клас. Всіляких трикутників (Обсяг цього поняття) і характеристичне властивість - наявність трьох сторін, трьох вершин, трьох кутів (зміст поняття); поняття "рівняння" з'єднує в собі клас всіляких рівнянь (обсяг поняття) і характеристичне властивість - рівність, що містить одну або кілька змінних (зміст поняття).

Зміст поняття розкривається за допомогою визначення, обсяг - за допомогою класифікації. Допомогою визначення і класифікації окремі поняття організовуються в систему взаємопов'язаних понять.

Формування понять - складний психологічний процес, що починається з освіти найпростіших форм пізнання - відчуттів - і протікає часто за такою схемою: відчуття - сприйняття - уявлення - поняття.

Зазвичай поділяють цей процес на два ступені: чуттєву, що складається в освіті відчуттів, сприйняття і уявлення, і логічну, яка полягає в переході від уявлення до поняття за допомогою узагальнення і абстрагування.

Чуттєва щабель у процесі формування понять відповідає першому етапу шляху пізнання взагалі, тобто "живому спогляданню", і тому її здійснення вимагає широкого застосування наочності. Якщо учневі ніколи не показували модель куба або предмети, що мають форму куба, то у нього не може утворитися уявлення, а отже, і поняття куба.

Процес формування понять буде ефективним, якщо він орієнтує учнів на узагальнення і абстрагування істотних ознак (характеристичного властивості) формованого поняття.

Розглянемо процес формування понять на прикладі поняття куба.

Дітям (6-7років) показують багато предметів, що відрізняються формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, з якого вони зроблені, причому таких, що одні з них мають форму куба, а інші ні. Діти, після того як їм показують на одне з цих тіл і кажуть, що це куб, безпомилково відбирають всі ті тіла, які мають таку ж форму, нехтуючи відмінностями, що стосуються розміру, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з класу предметів підкласу, ототожнення тел проводиться за одному ще недостатньо проаналізувати ознаки - зовнішній формі. Діти ще не знають властивостей куба, вони розпізнають його тільки по формі.

Подальша робота по формуванню поняття куба полягає в аналізі цієї форми з метою з'ясування її властивостей. Учням пропонують шляхом спостереження знайти, що є спільного у всіх відібраних тіл, що мають форму куба, чим вони відрізняються від решти. Встановлюється, що у кожного куба 8 вершин, 6 граней. Але у деяких тіл, які ми не віднесли до кубів, теж 8 вершин і 6 граней. Виявляється, у куба всі грані - квадрати (ця робота зазвичай проводиться після аналогічної роботи по виділенню класу квадратів з безлічі плоских фігур).

Залишається один крок до утворення поняття куба - перехід від уявлення до поняття шляхом абстрагування, тобто відділення загальних властивостей від г ^ рочіх, несуттєвих. Зрозуміло, на початковому етапі навчання не можна ще говорити про повне абстрагуванні цих властивостей, у дітей ще не утворюється поняття куба в чистому вигляді, вони ще не визначають куб і протиставляють його прямокутному паралелепіпеда з різними вимірами. Надалі ж, коли буде сконструйована логічно впорядкована система геометричних понять (в рамках систематичного курсу геометрії), учні дізнаються, що куб - це вид прямокутного паралелепіпеда. У цьому - діалектика розвитку понять.

Наведений приклад показує, що процес формування понять, як правило, тривалий процес, що сприяє розвитку узагальнюючої і абстрагує діяльності учнів.

Однак формування математичних понять не завжди протікає за наведеною вище схемою, що починається з відчуттів. Зокрема, коли сформоване поняття пов'язане, в тій чи іншій формі, з категорією нескінченності (як, наприклад, поняття прямої, площини, щільності безлічі раціональних чисел, межі та ін), то чуттєва ступінь відіграє меншу роль, так як ми не в змозі сприймати нескінченне (ні в якій формі), і наочність із засобу, що сприяє формуванню поняття, іноді стає гальмуючим фактором.

Наприклад, нескінченність безлічі раціональних чисел, що лежать між будь-якими двома раціональними числами, не підкріплюється, а, навпаки, "спростовується" конкретним сприйняттям кінцевого відрізка, що містить це безліч. Властивість щільності безлічі раціональних чисел не можна виявити дослідним шляхом, воно не підтверджується наочними геометричними уявленнями, а встановлюється логічно. Цей та інші численні приклади підтверджують висновки наших психологів про те, що сприйняття наочного матеріалу у силу об'єктивних особливостей цього матеріалу може відігравати не лише позитивну, але і негативну роль.

Заключним етапом формування поняття, як правило, є його визначення.

В математики і в навчанні математиці застосовуються різні способи визначення понять.

Найбільш часто, особливо в навчанні геометрії, зустрічається визначення "через найближчий рід і видову відмінність ". Прикладом такого визначення є наступне: Прямокутник є паралелограм з прямим кутом. Як видно, це визначення складається з двох частин: "прямокутник" - визначуваний поняття і "паралелограм з прямим кутом" - визначальне поняття. Зв'язка "є" (іноді замість "прямокутник є ..." говорять "прямокутником називається ...") означає тут, що термін "Прямокутник" (знову введений) позначає те ж поняття, що і вираз "паралелограм з прямим кутом", складене з раніше вже відомих термінів ("паралелограм", "прямий кут").

Аналізуючи б поняття "паралелограм з прямим кутом", виділяємо поняття "паралелограм" (найближчий рід) і властивість "наявність прямого кута "(видова відмінність). Назва "найближчий рід" виправдано тим, що не виділено інше поняття, обсяг якого включається в безліч паралелограмів і включає безліч прямокутників. Якби ми визначили прямокутник як чотирикутник, у якого протилежні попарно паралельні й мається прямий кут, то ми отримали б, як видно, більш громіздке визначення саме тому, що поняття "Чотирикутник" не є найближчим родом для прямокутника (Мається поняття "паралелограм", обсяг якого включається в безліч чотирикутників і включає безліч прямокутників), і тому ускладнилося характеристичне властивість (видова відмінність).

Загальна схема визначення "через найближчий рід і видову відмінність" може бути записана на мові множин (класів).:

В = {х | Х А і Р (х)}

(клас В складається з об'єктів х, що належать А - найближчому роду - і володіють властивістю Р - видовим відзнакою).

В нашому прикладі В - визначуваний клас прямокутників (або властивість "бути прямокутником "), А - клас паралелограмів (або властивість" бути паралелограмом "), Р - властивість" наявність прямого кута ".

Таке визначення є явним визначенням, в якому чітко (явно) виділені визначуване і визначальне поняття. Воно дозволяє нам замінити при необхідності одне поняття іншим. Дуже часто такою заміною користуємося в доказах теорем.

Однак не всі математичні поняття можуть визначатися таким чином. Процес формально-логічного визначення, як видно з наведеного вище прикладу, є процес зведення одного поняття до іншого, з більш широким обсягом, другого - до третьому, з ще більш широким обсягом, і т. д. Процес відомості не може бути нескінченним. Повинні бути деякі вихідні, початкові поняття, які неопределяеми через інші поняття даної теорії, так як їм не передують ніякі інші поняття цієї теорії. У процесі навчання повинні створюва...тися такі педагогічні ситуації, які допомогли б учням відкрити характерну особливість системи математичних понять, пов'язану з дедуктивним побудовою теорії. Для цієї мети можна використовувати різний конкретний матеріал. Наприклад, можна побудувати таку послідовність визначень:

П1: квадрат - ромб з прямим кутом;

П2: ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами;

П3: паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні;

П4: чотирикутник - багатокутник з чотирма сторонами;

П5: багатокутник - фігура, обмежена замкнутою ламаною лінією;

П6: фігура - безліч точок.

Як видно, цей процес відомості одних понять до інших доходить до понять "Безліч" і "точка", які приймаються за початкові і саме тому не визначаються через інші поняття.

Отже, початкові, вихідні поняття не визначаються явним чином через інші поняття даної теорії. Це, однак, не означає, що вони ніяк не визначаються. У аксіомах виражаються основні властивості вихідних понять і відносин між ними, якими користуються при розгортанні теорії на базі цих аксіом, тобто при доказі теорем і визначенні інших (визначених) понять. Тому системи аксіом можна розглядати як неявні, непрямі визначення вихідних понять. Таким чином, коли говорять, наприклад, що поняття "точка" і "пряма" - вихідні поняття і тому не визначаються, треба це розуміти точніше: "не визначаються явно через інші поняття".

Один і той же розділ шкільного курсу математики може будуватися за допомогою різних систем понять, що розрізняються між собою порядком введення понять або самими поняттями. Вибір вихідних понять не визначає однозначно послідовність вивчення понять системи. Система понять виявляється лише частково упорядкованою. Наприклад, в традиційній системі понять стереометрії такі поняття, як "Кут перехресних прямих" та "перпендикулярність прямих і площин ", можуть вивчатися в будь-якому порядку. У підручнику А. П. Кисельова кут перехресних прямих вивчався після перпендикулярності і тому перпендикулярність прямих у просторі, ознака перпендикулярності прямої і площині, теорема про три перпендикуляри формувалися лише в окремих випадках. В результаті такого розташування матеріалу учні вивчали теорему про три перпендикулярах лише для випадку, коли пряма на площині проходить через підставу похилій, і не могли бачити її застосування в задачах, де пряма на площині не проходить через основу похилої. У більшості ж випадків саме така ситуація спостерігається в задачах.

Про визначенні не має сенсу говорити, істинно воно або помилково. Визначення може бити правильним (коректним) або неправильною (некоректним) в залежності від того, задовольняє воно чи ні певним вимогам.

Найважливішим вимогою, що пред'являються до визначень, є відсутність порочного кола. Порушення цієї вимоги проявляється в тому, що обумовлене міститься (явно або неявно) у визначальному. Наприклад, фрази: "Рішення рівняння - це те число, яке є його рішенням "," Подібними називаються фігури, які між собою подібні "- не можуть служити визначеннями рішення рівняння і подібних фігур відповідно, так як у кожному з цих пропозицій міститься порочне коло.

Порочне коло може відноситися не до окремої ухвали, а до двох або кількох визначень. Наприклад, у двох визначеннях: "Кут називається прямим, якщо його боку взаємно перпендикулярні "і" Дві прямі взаємно перпендикулярні, якщо вони утворюють прямий кут "- мається порочне коло, так як в одному поняття прямого кута визначається через перпендикулярні прямі, а в іншому це друге поняття визначається через перше.

Інша важлива вимога, виконання якого необхідно для коректності визначення, - Це відсутність омонімії: кожен термін (символ) має зустрітися не більше одного разу в якості обумовленого. Порушення цієї вимоги призводить до того, що один і той же термін (символ) позначає різні поняття, тобто порушується один із принципів вживання символів або термінів в якості імен.

Певні мовні вирази (символи штучної мови або терміни, слова або групи слів природної мови) виконують функцію позначення. Вони зіставляються певних класів об'єктів (речей, відносин) або їх уявним образам (Поняттями) в якості назв, імен.

Зв'язок імен з їх значеннями (з ними позначається об'єктами) відображає зв'язок мислення з промовою. Формування понять можливе лише за умови їх іменування, тобто приписування їм певних імен. Тому важливо нагадати принципи коректного вживання імен.

1) Принцип предметності: пропозиція говорить про предмети, імена яких зустрічаються в цьому реченні (а не про їх імена). Наприклад, пропозиція "3 <5" говорить про те, що число, позначене цифрою 3, менше числа, позначеного цифрою 5, тобто говорить про числа, а не про їх іменах, зустрічаються в цьому реченні; пропозиція "Трикутник - багатокутник "говорить про те, що клас об'єктів, що позначаються терміном "Трикутник", є підкласом класу об'єктів, що позначаються терміном "багатокутник", тобто говорить про об'єкти, імена яких зустрічаються в цьому реченні, а не про самих цих іменах.

2) Принцип однозначності: кожен символ (термін), використовуваний в якості імені, позначає не більше одного об'єкта, іншими словами, кожне ім'я має не більше одного значення. Чому не говоримо, що кожне ім'я має точно одне значення, а говоримо: "не більше одного значення"? Наприклад, стверджуючи, що число а не можна ділити на 0, ми не стверджуємо, що неможлива запис "а: 0"; цей запис настільки ж припустима, як, наприклад, запис "про: 2". Стверджується лише відсутність об'єкта, ім'я якого є мовне вираження "А: 0", тобто цей вислів не є ім'ям якого числа, або це ім'я без значення.

Порушення принципу однозначності має серйозні наслідки, особливо в навчанні, так як це означає застосування імен з більш ніж одним значенням, яке призводить до плутанини і зміщення понятті.

3) Принцип заміни імен: пропозиція не змінює свого істінностного значення, коли одне з вхідних в нього імен замінюється іншим ім'ям, що має те ж саме значення (тобто синонімом).

Різні імена одного і того ж предмета часто порізному характеризують його, за допомогою різної інформації про нього. У такому випадку говорять, що імена мають одне й те ж значення, але різні смисли. Наприклад, одна і та ж пряма може позначатися символом "а" або символом "АВ". Перше з цих іменпростое ім'я, довільно закріплюється за прямий (ми можемо позначити цю ж пряму буквою b), що розглядається як неподільне. Друге ім'я "AB" - складене ім'я, що містить інші імена ("A", "В") в якості своїх частин і володіє будівлею, що відображає той спосіб, яким воно позначає предмет (пряму, що проходить через точки А і В). Цілком зрозуміло, що друге, складене ім'я має більшу пізнавальною цінністю. Воно повідомляє нам, що позначається цим іменем пряма проходить через точки А і В.

Таким чином, у відношенні іменування беруть участь три різних поняття: "Ім'я", "значення імені", "сенс імені". Кажуть, що ім'я називає своє значення і висловлює свій сенс (або що воно має такоето значення і такий-то сенс), а зміст визначає значення.

З сказаного випливає, що треба розрізняти вираження "Не має сенсу" і "Не має значення". Наприклад, в області натуральних чисел ім'я "Корінь рівняння х + 4 = 3" не має значення. У той же час це ім'я має ясний сенс: це таке число, що після підстановки його замість х в дане рівняння ліворуч і праворуч від знаку рівності вийдуть імена одного і того ж числа. Точно так само в області дійсних чисел ім'я "" не має значення, але має сенс (таке число, що після зведення його в квадрат вийде число - 4) або ім'я "2: 0" не має значення, але має сенс (число, яке, будучи помножена на 0, дає 2).

В шкільному викладанні необхідно ретельно стежити за тим, щоб вживані терміни та символи мали певні сенс і значення.

Не всі явні визначення можна віднести до визначень через найближчий рід і видову відмінність. Наведемо приклади:

<...p> (1) "Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої цій площині ",

(2) "Число а ділиться на число b, якщо існує число з таке, що а = b * з ",

В кожному з цих визначень нове ставлення (обумовлений) визначається через раніше відомі відносини (визначають): перпендикулярність прямої і площини - Через перпендикулярність прямих, відношення "ділиться на" - через відношення "бути твором". Всі ці визначення є явними, але в них не можна виділити найближчий рід і видову відмінність.

Застосовуваний тут знак "" читається: "означає по визначенню "або" тоді і тільки тоді по визначенню ".

Додавання "За визначенням" суттєво тому, що, хоча словесні формулювання явних визначень мають вигляд оповідних пропозицій, ці пропозиції не виражають висловлювання (у тому сенсі, в якому термін "вислів"

Знання засвоєнні.

Важливе Для цієї мети

Під

Одна

Поки

Ми

Часто

Методично

Для

З

Значення Необхідність Цьому

Список літератури

Для