Магічні квадрати

Реферат з математики учениці 8 г класу Бісеровой Альони

Муніципальне освітній заклад - Гімназія № 47

р. Єкатеринбург, 2000р.

Введення

Великі вчені давнини вважали кількісні відносини основою сутності світу. Тому числа і їх співвідношення займали найвидатніші уми людства. В«У дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що становив ... магічні квадрати В»- писав Бенджамін Франклін. Магічний квадрат-це квадрат, сума чисел якого в кожному горизонтальному ряду, в кожному вертикальному ряду і по кожній з діагоналей одна і та ж.

Деякі видатні математики присвятили свої роботи магічним квадратам і отримані ними результати вплинули на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиттів, матриць, порівнянь та інших нетривіальних розділів математики.

Мета цього реферату - знайомство з різними магічними квадратами, латинськими квадратами і вивчення областей їх застосування.

Магічні квадрати.

Повного опису всіх можливих магічних квадратів не отримано і до цього часу. Магічних квадратів 2х2 не існує. Існує єдиний магічний квадрат 3х3, оскільки решта магічні квадрати 3х3 виходять з нього або поворотом навколо центру, або відображенням відносно однієї з його осей симетрії.

Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами:

4 9 2 3 5 7 8 1 6

9 +5 +1

9 +4 +2

8 +6 +2

8 +5 +2

8 +4 +3

7 +6 +2

7 +5 +3

6 +5 +4

В магічному квадраті 3х3 магічною постійної 15 повинні дорівнювати сумі трьох чисел з 8 напрямів: по 3 рядках, 3 стовпцях і 2 діагоналях. Так як число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю і 2 діагоналях, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відомо: воно дорівнює 5.

Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел. Ми не можемо помістити його в кут, так як кожна кутова клітина належить 3 трійкам: рядку, стовпцю і діагоналі. Отже, число 9 має стояти в якійсь клітині, що примикає до сторони квадрата в її середині. Через симетрії квадрата байдуже, яку зі сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоять в центральній клітці. По обидві сторони від дев'ятки у верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел виявиться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову - таки не має значення, так як одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному відображенні. Решта клітини заповнюються автоматично. Проведене нами проста побудова магічного квадрата 3х3 доводить його єдиність.

Такий магічний квадрат був у древніх китайців символом величезного значення. Цифра 5 в середині означала землю, а навколо неї в строгій рівновазі розташовувалися вогонь (2 і 7), вода (1 і 6),

дерево (3 і 8), метал (4 і 9).

З збільшенням розмірів квадрата (числа клітин) швидко зростає кількість можливих магічних квадратів такого розміру. Існує 880 магічних квадратів порядку 4 і 275 305 224 магічних квадратів порядку 5. Причому, квадрати 5х5 були відомі ще в середні століття. Мусульмани, наприклад, дуже благоговійно ставилися до таких квадратом з цифрою 1 в середині, вважаючи його символом єдності Аллаха.

Магічний квадрат Піфагора

Великий вчений Піфагор, який заснував релігійно - філософське вчення, яке проголосило кількісні відносини основою сутності речей, вважав, що сутність людини полягає теж у числі - дату народження. Тому за допомогою магічного квадрата Піфагора можна пізнати характер людини, ступінь відпущеного здоров'я і його потенційні можливості, розкрити достоїнства і недоліки і тим самим виявити, що слід зробити для його вдосконалення.

Для того, щоб зрозуміти, що таке магічний квадрат Піфагора і як підраховуються його показники, зроблю його розрахунок на своєму прикладі. А щоб переконатися, що результати підрахунку дійсно відповідають реальному характеру тієї чи іншої особистості, спочатку я перевірю його на собі. Для цього я буду робити розрахунок по своєї даті народження. Отже, моя дата народження 20.08.1986. Складемо цифри дня, місяця й року народження (без урахування нулів): 2 +8 +1 +9 +8 +6 = 34. Далі складаємо цифри результату: 3 +4 = 7. Потім з першої суми віднімаємо подвоєну першу цифру дня народження: 34-4 = 30. І знову складаємо цифри останнього числа:

3 +0 = 3. Залишилося зробити останні складання - 1-й та 3-й і 2-й і 4-й сум: 34 +30 = 64, 7 +3 = 10. Отримали числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

і складаємо магічний квадрат так, щоб всі одиниці цих чисел увійшли в клітинку 1, всі двійки - у комірку 2 і т. д. Нулі при цьому до уваги не беруться. В Внаслідок мій квадрат буде виглядати наступним чином:

44 9 2 33 - 7 88 11 66

Осередки квадрата означають наступне:

Осередок 1 - цілеспрямованість, воля, завзятість, егоїзм.

1 - Закінчені егоїсти, прагнуть з будь-якого становища отримати максимальну вигоду.

11 - Характер, близький до егоїстичного.

111 - В«Золота серединаВ». Характер спокійний, поступливий, комунікабельний.

1111 - Люди сильного характеру, вольові. Чоловіки з таким характером підходять на роль військових - професіоналів, а жінки тримають свою сім'ю в кулаці.

11111 - Диктатор, самодур.

111111 - Людина жорстокий, здатний зробити неможливе; нерідко потрапляє під вплив якої - то ідеї.

Осередок 2 - біоенергетика, емоційність, душевність, чуттєвість. Кількість двійок визначає рівень біоенергетики.

Двійок ні - відкритий канал для інтенсивного набору біоенергетики. Ці люди виховані і благородні від природи.

2 - Звичайні в біоенергетичному відношенні люди. Такі люди дуже чутливі до змінам в атмосфері.

22 - Відносно великий запас біоенергетики. З таких людей виходять гарні лікарі, медсестри, санітари. У сім'ї таких людей рідко у кого бувають нервові стреси.

222 - Знак екстрасенса.

Осередок 3 - точність, конкретність, організованість, акуратність, пунктуальність, охайність, скупість, схильність до постійного В«відновлення справедливостіВ».

Наростання трійок підсилює всі ці якості. З ними людині є сенс шукати себе в науках, особливо точних. Перевага трійок породжує педантів, людей у ​​футлярі.

Осередок 4 - здоров'я. Це пов'язано з екгрегором, тобто енергетичним простором, напрацьованим предками і захищає людину. Відсутність четвірок свідчить про хворобливість людини.

4 - Здоров'я середнє, необхідно загартовувати організм. З видів спорту рекомендуються плавання та біг.

44 - Здоров'я міцне.

444 і більше - люди з дуже міцним здоров'ям.

Осередок 5 - інтуїція, ясновидіння, розпочате проявлятися у таких людей вже на рівні трьох п'ятірок.

п'ятірок ні - канал зв'язку з космосом закритий. Ці люди часто

помиляються.

5 - Канал зв'язку відкритий. Ці люди можуть правильно розрахувати ситуацію витягти з неї максима...льну користь.

55 - Сильно розвинена інтуїція. Коли бачать В«віщі сниВ», можуть передбачати хід подій. Підходящі для них професії - юрист, слідчий.

555 - Майже ясновидці.

5555 - Ясновидці.

Осередок 6 - приземленість, матеріальність, розрахунок, схильність до кількісного освоєння світу і недовіра до якісних стрибків і тим більше до чудес духовного порядку.

шісток ні - цим людям необхідна фізична праця, хоча вони його, як правило, не люблять. Вони наділені неординарним уявою, фантазією, художнім смаком. Тонкі натури, вони тим не менш здатні на вчинок.

6 - Можуть займатися творчістю або точними науками, але фізична праця є обов'язковою умовою існування.

66 - Люди дуже заземлені, тягнуться до фізичної праці, хоча саме для них він не обов'язковий; бажана розумова діяльність або заняття мистецтвом.

666 - Знак Сатани, особливий і зловісний знак. Ці люди володіють підвищеним темпераментом, чарівні, незмінно стають в суспільстві центром уваги.

6666 - Ці люди в своїх попередніх втіленнях набрали занадто багато заземленности, вони дуже багато працювали і не представляють своє життя без праці. Якщо в їх квадраті є

дев'ятки, їм обов'язково потрібно займатися розумовою діяльністю, розвивати інтелект, хоча б здобути вищу освіту.

Осередок 7 - кількість сімок визначає міру таланту.

7 - Чим більше вони працюють, тим більше одержують згодом.

77 - Дуже обдаровані, музичні люди, володіють тонким художнім смаком, можуть мати схильність до образотворчого мистецтва.

777 - Ці люди, як правило, приходять на Землю ненадовго. Вони добрі, безтурботні, болісно сприймають будь-яку несправедливість. Вони чутливі, люблять мріяти, не завжди відчувають реальність.

7777 - Знак Ангела. Люди з таким знаком вмирають в дитинстві, а якщо і живуть, то їх життя постійно загрожує небезпека.

Осередок 8 - карма, обов'язок, обов'язок, відповідальність. Кількість вісімок визначає ступінь почуття боргу.

вісімок ні - у цих людей майже повністю відсутнє почуття обов'язку.

8 - Натури відповідальні, сумлінні, точні.

88 - У цих людей розвинене почуття обов'язку, їх завжди відрізняє бажання допомогти іншим, особливо слабким, хворим, самотнім.

888 - Знак великого боргу, знак служіння народу. Правитель з трьома вісімками домагається видатних результатів.

8888 - Ці люди володіють парапсихологічними здібностями та виключної сприйнятливістю до точних наук. Їм відкриті надприродні шляху.

Осередок 9 - розум, мудрість. Відсутність дев'яток - свідчення того, що розумові здатності вкрай обмежені.

9 - Ці люди повинні все життя наполегливо працювати, щоб заповнити недолік розуму.

99 - Ці люди розумні від народження. Вчаться завжди неохоче, тому що знання даються їм легко. Вони наділені почуттям гумору з іронічним відтінком, незалежні.

999 - Дуже розумні. До вчення взагалі не прикладають ніяких зусиль. Прекрасні співрозмовники.

9999 - Цим людям відкривається істина. Якщо у них до того ж розвинена інтуїція, то вони гарантовані від провалу в будь-якому зі своїх починань. При всьому цьому вони, як правило, досить

приємні, так як гострий розум робить їх грубими, немилосердними і жорстокими.

Отже, склавши магічний квадрат Піфагора і знаючи значення всіх комбінацій цифр, входять до його осередки, ви зможете в достатній мірі оцінити ті якості вашої натури, якими наділила матінка - природа.

Латинські квадрати.

Не Незважаючи на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати найбільше застосування в науці і техніці знайшли латинські квадрати.

Латинським квадратом називається квадрат nхn клітин, в яких написані числа 1, 2, ..., n, притому так, що в кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються всі ці числа по одному разу. На рис.3 зображені два таких квадрата 4х4. Вони мають цікавою особливістю: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари одержані чисел виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними.

1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3

Завдання відшукання ортогональних латинських квадратів вперше поставив Л. Ейлер, причому в такий цікавій формулюванні: "Серед 36 офіцерів порівну уланів, драгунів, гусарів, кірасирів, кавалергардів і гренадерів і крім того порівну генералів, полковників, майорів, капітанів, поручиків і підпоручиків, причому кожен рід військ представлений офіцерами всіх шести рангів. Чи можна вибудувати всіх офіцерів в каре 6 х 6 так, щоб у будь колоні і будь шерензі зустрічалися офіцери всіх рангів? "

Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р. було доведено, що такого рішення НЕ сушествует. У той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і для таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для решти значень n, тобто якщо число n при діленні на 4 дасть в залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р. було доведено, що ортогональних Квадрат 6 6 не існує, і це посилювало впевненість у справедливості гіпотези Ейлера. Однак у 1959 р. допомогою ЕОМ були знайдені спочатку ортогональні квадрати 10х10, потім 14х14, 18х18, 22х22. А потім було показано, що для будь-якого n, крім 6, існують ортогональні квадрати nхn.

Магічні і латинські квадрати - близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональних квадрата. Заповнимо клітини нового квадрата тих же розмірів наступним чином. Поставимо туди число n (a - 1) + b, де а - число в такій клітці перший квадрат, а b - число в такий же клітинах другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел у рядках і стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.

Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як в самій математиці, так і в її застосуваннях. Наведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати 4 сорти пшениці на урожайність в даній місцевості, причому хочемо врахувати вплив ступеня розрідженості посівів і вплив двох видів добрив. Для того розіб'ємо квадратний ділянку землі на 16 делянок (рис.4). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, відповідних нижній горизонтальній смузі, наступний сорт - на чотирьох ділянках, відповідних наступній смузі, і т. д. (на малюнку сорт позначений кольором). При цьому максимальна густота посівів нехай буде на тих ділянках, які відповідають лівому вертикальному стовпцю малюнка, і зменшується при переході вправо (на малюнку цьому відповідає зменшення інтенсивності кольору). Цифри ж, які стоять в клітинах малюнка, нехай означають:...

Перший - Кількість кілограмів добрива першого виду, внесеного на цю ділянку, а друга - кількість вноситься добрива другого виду. Неважко зрозуміти, що при цьому реалізовані всі можливі пари сполучень як сорти і густоти посіву, так і інших компонентів: сорти і добрив першого виду, добрив першого і другого видів, густоти і добрив другого виду.

11 22 33 44 23 14 41 32 34 43 23 32 42 31 24 13

Використання ортогональних латинських квадратів допомагає врахувати всі можливі варіанти в експериментах в сільському господарстві, фізики, хімії, техніці.

Висновок

В справжньому рефераті розглянуті питання, пов'язані з історією розвитку одного з питань математики, який обіймав уми дуже багатьох великих людей, - магічних квадратів. Незважаючи на те, що власне магічні квадрати не знайшли широкого застосування в науці і техніці, вони спонукали на заняття математикою безліч непересічних людей і сприяли розвитку інших розділів математики (теорії груп, визначників, матриць і т.д.).

Найближчі родичі магічних квадратів - латинські квадрати знайшли численні застосування як в математиці, так і в її застосуваннях при постановці і обробці результатів експериментів. У рефераті наведено приклад постановки такого експерименту.

В рефераті також розглянуто питання про квадраті Піфагора, що представляє історичний інтерес і, можливо, корисному для складання психологічного портрета особистості.

Список літератури

1. Енциклопедичний словник юного математика. М., В«ПедагогікаВ», 1989р.

2. М.Гарднер В«Подорож у часіВ», М., В«МирВ», 1990р.

3. Фізкультура і спорт № 10, 1998р.