Чудові криві в математику

Пряма і окружність

Пряма і окружність - дві найбільш прості і разом з тим найбільш чудові за своїми властивостями криві. Будь-яка людина знайомий з прямою і колом більше, ніж з іншими кривими. Але нехай він не думає, що йому добре відомі всі найважливіші властивості прямих і кіл. Чи знає він, наприклад, що якщо вершини двох трикутників АВС і A'B'C 'лежать на трьох прямих, що перетинаються в одній точці 5 (рис. 1), то тоді три точки М, К., L перетину відповідних сторін трикутників АВ з ​​А'В ', нд з В'С' і АС з А'С 'повинні знаходитися на одній і тій же прямій?

Рис. 1. Рис. 2.

Читачеві, звичайно, відомо, що точка М, що рухається по площині, залишаючись на рівних відстанях від двох нерухомих точок F 1 і F 2 тій же площині, тобто так, що MF 1 = MF 2 ; описує пряму (рис. 2). Але, ймовірно, він затрудняється відповісти, яку криву опише точка М, якщо її відстань до точки F 1 буде в певне число разів перевершувати відстань до точки F 2 (наприклад, удвічі, як на рис. 3). Виявляється, що цієї кривої є коло. Отже, якщо точка М рухається по площині так, що її відстань до однієї з двох нерухомих точок F 1 і F 2 площині буде змінюватися пропорційно відстані до іншої точки:

Рис. 3.

MF 1 = k MF 2 ,

то М буде описувати або пряму (Коли коефіцієнт пропорційності k дорівнює одиниці), або окружність (коли коефіцієнт пропорційності відмінний від одиниці).

Рис. 4.

Розглянемо криву, описувану точкою М так, що сума відстаней цієї точки до двох нерухомих точок F 1 і F 2 залишається незмінною. Візьмемо нитка, кінці її прив'яжемо до двох шпильок і застромимо ці шпильки в аркуш паперу, залишаючи спочатку нитка ненатягнута. Якщо відтягнути тепер нитка за допомогою вертикально поставленого олівця і потім пересувати олівець, злегка придавлюючи його до папері і стежачи за тим, щоб нитка була натягнутою (рис. 4), то вістрі М олівця опише криву овальної форми (схожу на сплющений коло); вона називається еліпсом.

Щоб отримати повний еліпс, доведеться перекинути нитку на іншу сторону від шпильок, після того як буде описана одна половина еліпса. Очевидно, що сума відстаней від вістря М олівця до шпилькових проколів F 1 і F 2 залишається незмінною в усі час руху; ця сума дорівнює довжині нитки.

Рис. 5.

Проколи шпильок відзначають на папері дві точки, звані фокусами еліпса. Слово фокус в перекладі з латинської означає В«вогнищеВ», В«вогоньВ»; воно виправдовується наступним чудовим властивістю еліпса.

Якщо зігнути вузьку смужку добре відполірованого металу по дузі еліпса і помістити точкове джерело світла (В«вогоньВ») в одному фокусі, то промені світла, відбившись від смужки, зберуться в іншому фокусі; тож і в другому фокусі буде також видно В«вогоньВ» - Зображення першого (рис. 5.).

циклоїди

Докладемо до нижнього краю класної дошки лінійку і будемо котити по ній обруч або круг (картонний або дерев'яний), притискаючи його до лінійки і до дошки. Якщо прикріпити до обруча або колу шматок крейди (В точці дотику його з лінійкою), то крейда буде викреслювати криву (Рис. 37), звану циклоїдою (що по-грецьки означає В«колоподібнаВ»). Одному обороту обруча відповідає одна В«аркаВ» циклоїди MM'M'' N ', якщо обруч буде котитися далі, то будуть виходити ще і ще арки тієї ж циклоїди.

Рис. 6.

Щоб побудувати на папері наближено одну арку циклоїди, описану при коченні обруча діаметром, рівним, наприклад, трьом сантиметрам, відкладемо на прямій відрізок, рівний 3х3, 14 = 9,42 см.

. Одержимо відрізок, довжина якого дорівнює довжині обода обруча, тобто довжині окружності діаметром у три сантиметри. Розділимо далі цей відрізок на деяке число рівних частин, наприклад на 6, і для кожної точки ділення зобразимо наш обруч в тому його положенні, коли він спирається саме на дану точку (рис. 38), занумерувати ці положення цифрами:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Щоб перейти з одного положення в сусіднє, обруч повинен обернутися на одну шосту повного обороту ^ так як відстань між сусідніми точками ділення одно шостий частини кола). Тому якщо в положенні 0 крейда буде знаходитися в точці М 0 , то в положенні 1 він буде лежати в точці M 1 - на одній шостій окружності від точки дотику, в положенні 2 - в точці М 2 - на дві шостих від точки дотику і т. д. Щоб отримати точки M 1 , M 2 , М 3 і т.д., потрібно лише виробляти зарубки відповідної окружності, починаючи від точки дотику, радіусом, рівним

Рис. 7.

1,5 см, причому в положенні 1 потрібна одна зарубка, в положенні 2 - дві зарубки, виконані одна за одною, в положенні 3 - три зарубки і т. д. Тепер для креслення циклоїди залишається з'єднати точки

М 0 , M 1 , М 2 , М 3 , M 4 , M 5 , M 6

плавною кривою (на око).

Крива найкоротшого спуску

Серед багатьох чудових властивостей циклоїди відзначимо одне, через якого вона заслужила голосно звучить мудроване назву: В«брахістохронаВ». Ця назва складається з двох грецьких слів, що означають В«найкоротшийВ» і В«часВ».

Розглянемо таке питання: яку форму слід надати добре відшліфованому металевому жолобу, що з'єднує дві задані точки А і В (рис. 8.), щоб полірований металевий кулька скочувався з цього жолобу з точки А в точку В у найкоротший час? На перший погляд здається, що потрібно зупинитися на прямолінійній жолобі, так як тільки вздовж нього кульку пройде найкоротший шлях від А до В. Однак мова йде не про найкоротшому шляху, а про найкоротший часу; час же залежить не тільки від довжини шляху, але і від швидкості, з якою біжить кульку. Якщо жолоб прогнути вниз, то його частина, починаючи від точки А, буде крутіше опускатися вниз, ніж у випадку прямолінійного жолоби, і кулька, падаючи по

Рис. 8.

нього, придбає швидкість більшу, ніж на ділянці такої ж довжини прямолінійного жолоби. Але якщо зробити початкову частину дуже крутий і порівняно довгою, то тоді частина, що примикає до точки В, буде дуже пологою і також порівняно довгою; першу частину кулька пройде швидко, Друга дуже повільно і кулька може запізнитися з приходом в точку

Рис. 9.

В. Отже, жолобу, мабуть, потрібно надавати увігнуту форму, але робити вигин не дуже значним.

Італійський фізик і астроном Галілей (1564 - 1642) думав, що жолоб найкоротшого часу потрібно вигинати по дузі кола. Але швейцарські математики брати Бернуллі близько трьохсот років тому довели точним розрахунком, що це не так і що жолоб потрібно вигинати по дузі циклоїди (Перекинутої вниз, рис. 9.). З тих пір циклоїда і заслужила прізвисько брахістохрони, а докази Бернуллі послужили, початком нової галузі математики - варіаційного числення. Останнє займається відшуканням виду кривих, для яких та чи інша цікавить нас величина досягає свого найменшого (а в деяких питаннях - найбільшого) значення.

Спіраль Архімеда

Уявімо нескінченно довгу секундну стрілку, по якій, починаючи від центру циферблату, невтомно біжить маленький жучок з постійною швидкістю v см/с. Через хвилину жучок буде на відстані 60v см від центру, через дві - 120v і т.д. Взагалі, через t секунд після початку пробігу відстань жучка від центру буде одно vt см. За цей час стрілка повернеться на кут, містить 6 t В° (адже за одну секунду вона встигає повернутися на кут 360 В°: 60 = 6 В°). Тому положення жучка на площині циферблата через будь-яке число t секунд після початку руху знаходиться так. Треба відкласти від початкового положення стрілки в напрямку її... обертання кут а, що містить 6t В°, і відміряти від центру уздовж нового положення стрілки відстань r = vt см. Тут ми і наздоженемо жучка (рис. 10.).

Рис. 10.

Очевидно, що співвідношення між кутом повороту a стрілки (у градусах) і пройденою відстанню r (в сантиметрах) буде таке:

r = (va)/6

Іншими словами, r прямо пропорційно a, причому коефіцієнт пропорційності k = v/6.

приладнав до нашого бігунові маленьку, але невичерпну баночку з чорною фарбою і припустимо, що фарба, витікаючи через крихітне отвір, залишає на папері слід від знесеного разом із стрілкою жучка. Тоді на папері буде поступово вимальовуватися крива, вперше вивчена Архімедом (287 - 212 до н.е.). У його честь вона називається спіраллю Архімеда. Потрібно тільки сказати, що у Архімеда не було мови ні про секундної стрілкою (тоді і годин з пружиною не було: їх винайшли тільки в XVII в.), ні про жучків. Ми ввели їх тут для наочності.

Рис. 11. Рис. 12.

Спіраль Архімеда складається з нескінченно багатьох витків. Вона починається в центрі циферблату, і все більше і більше віддаляється від нього в міру того, як росте число обертів. На рис. 42 зображені перший виток і частину другого.

Ви, напевно, чули, що за допомогою циркуля і лінійки неможливо розділити на три рівні частини навмання взятий кут (в приватних випадках, коли кут містить, наприклад, 180 В°, 135 В° або 90 В°, ця задача легко вирішується). А ось якщо користуватися акуратно накресленої архимедовой спіраллю, то будь-який кут можна розділити на яке завгодно число рівних частин.

Розділимо, наприклад, кут АОВ на три рівні частини (рис. 12.). Якщо вважати, що стрілка повернулася якраз на цей кут, то жучок, буде знаходитися в точці N на стороні кута. Але коли кут повороту був утричі менше, то і жучок був втричі ближче до центру О. Щоб знайти це його положення, розділимо спочатку відрізок ON на три рівні частини. Це можна зробити за допомогою циркуля і лінійки. Отримаємо відрізок ON 1 , довжина якого втричі менше, ніж ON. Щоб повернути жучка на спіраль, потрібно зробити зарубки цієї кривої радіусом ON 1 (Знову циркуль!). Отримаємо точку М. Кут АОМ і буде втричі менше кута AON.

Завдання Архімеда

Самого Архімеда займали, однак, інші, більш важкі завдання, які він сам поставив і вирішив: 1) знайти площа фігури, обмеженої першого витка спіралі (на рис. 11. вона заштрихована); 2) отримати спосіб побудови дотичної до спіралі в якій-небудь її точці N.

Чудово, що обидві задачі являють собою самі ранні приклади завдань, що відносяться до математичного аналізу. Починаючи з XVII в., Площі фігур обчислюються математиками за Допомогою інтеграла, а дотичні проводяться за допомогою похідних. Тому Архімеда можна назвати попередником математичного аналізу.

Для першої з названих завдань ми просто вкажемо результат, отриманий Архімедом: площа фігури складає точно 1/3 площі круга радіусу Про А. Для другого завдання можна показати хід її рішення, кілька спростивши при цьому міркування самого Архімеда. Вся справа в тому, що швидкість, з якою жучок описує спіраль, в кожній точці N направлена ​​по дотичної до спіралі в цій точці. Якщо будемо знати, як спрямована ця швидкість, то і дотичну побудуємо.

Але рух жучка в точці N складається з двох різних рухів (рис. 13.): одне - за напрямком стрілки зі швидкістю v см/с, а інше - обертальне по окружності з центром в О і радіусом ОN. Щоб уявити останнє, припустимо, що жучок завмер на мить у точці N. Тоді він буде нестися разом зі стрілкою по колу радіуса ON. Швидкість останнього обертального руху спрямована по дотичній до окружності. А яка її величина? Якби жучок міг описати повну окружність радіуса ON, то за 60 секунд він проробив би шлях, рівний 2л ON [см]. Так як швидкість при цьому залишалася б постійною за величиною, то для її відшукання потрібно розділити шлях на час. Отримаємо:

(2 л ON)/60 = (л ON)/30

[см/с] тобто трохи більше, ніж:

0,1 ON [см/с] (л/30 3,14/30 0,105).

Тепер, коли ми знаємо обидві складові швидкості в точці N: одну по напрямку ON, рівну v см/с, і іншу, до неї перпендикулярну, рівну

(л ON)/30 см/с, залишається скласти їх за правилом паралелограма. Діагональ представить швидкість складеного руху до разом з тим визначить напрямок дотичної NT до спіралі в даній точці.

Логарифмічна спіраль

Криву цю можна було б назвати по імені Декарта, так як вперше про неї говориться в одному з його листів (1638 м.). Проте докладне вивчення її властивостей було проведено тільки через півстоліття Якобом Бернуллі. На сучасних йому математиків ці властивості справили сильне враження. На кам'яній плиті, піднятий на могилі цього знаменитого математика, зображені витки логарифмічної спіралі.

Спіраль Архімеда описує точка, що рухається вздовж променя (В«нескінченної стрілкиВ») так, що відстань від початку променя зростає пропорційно кутку його повороту: r = ka. Логарифмічна спіраль вийде, якщо зажадати, щоб не саме відстань, а його логарифм зростав прямо пропорційно куту повороту. Зазвичай рівняння логарифмічної спіралі записують, користуючись в якості підстави системи логарифмів неперово числом е (п. 25). Такий логарифм числа r називають натуральним логарифмом і позначають In r. Отже, рівняння логарифмічної спіралі записується у вигляді ln r = ka

Звичайно, кут повороту а можна вимірювати і раніше в градусах. Але математики воліють вимірювати його в радіанах, тобто приймати за міру кута відношення довжини дуги кола між сторонами центрального кута до радіуса цієї окружності. Тоді ловорот стрілки на прямий кут буде вимірюватися числом л 1,57, поворот на величину розгорнутого кута - числом л 3,14, а повний поворот, вимірюваний в градусах числом 360, в радіанах буде вимірюватися числом 2 л 6,28.

Рис. 13.

З багатьох властивостей логарифмічної спіралі, відзначимо одне: будь-який промінь, що виходить з початку, перетинає будь виток спіралі під одним і тим же кутом. Величина цього кута залежить тільки від числа k в рівнянні спіралі. При цьому під кутом між променем і спіраллю розуміється кут між цим променем і дотичної до спіралі, проведеної в точці перетину (Мал. 13).

Теорема Паскаля

Б. Паскалю (1623-1662) не було ще й 17 років, коли він відкрив чудове загальна властивість конічних перетинів. Про його відкритті математикам повідала афіша, видрукувана в кількості 50 примірників; тільки два з них дійшли до нашого часу. Кілька таких афіш були розклеєні на стінах будинків і церков Парижа. Нехай читач не дивується цього. Адже тоді (1640 р.) ще не було наукових журналів, на сторінках яких можна було б розповідати іншим вченим про своє відкриття. Такі журнали з'явилися лише через чверть століття, майже одночасно у Франції та Англії. Але повернемося до Паскалю.

Хоча його афіша і була надрукована французькою мовою, а не латинською, як це було тоді прийнято, парижани, видивляючись на неї, навряд чи могли зрозуміти, про що там йдеться. Настільки стисло, без доказів і пояснень викладав молодий геніальний автор свої думки.

На початку афіші після трьох визначень йшла під назвою В«леми 1В» теорема, яку ми перекажемо тут іншими словами. Відзначимо на окружності небудь шість точок, перенумеруем в будь-якому порядку (не обов'язково в тому, в якому вони розташовані на окружності) і з'єднаємо їх відрізками прямих; останній з них зв'яже шосту точку з першої (Рис. 14). Теорема Паскаля стверджує, що три точки перетину прямих, отриманих продовженням цих шести відрізків, узятих через дві: першою з четвертої, другий з п'ятої і третьої з шостої, будуть лежати на одній і тій же прямій.

Рис. 14.

Спробуйте самі зробити декілька дослідів, розкидаючи по-різному точки на окружності (рис. 15).

Рис. 15.

При цьому може статися,... що небудь прямі, перетин яких ми шукаємо, наприклад, перша і четверта, виявляться паралельними. У цьому випадку теорему Паскаля потрібно розуміти так, що пряма, що з'єднує дві інші точки перетину, паралельна зазначеним прямим (Рис. 16).

Рис. 16.

Нарешті, якщо вдобавок виявляться паралельними між собою і друга пряма з п'ятої, то в цьому спеціальному випадку, теорема Паскаля стверджує, що і прямі останньої пари - третя і шоста - виявляться паралельними.

Рис. 17.

З таким випадком ми зустрінемося, наприклад, коли точки на окружності є вершинами правильного вписаного шестикутника, перенумеровані в порядку проходження на окружності (рис. 17). Паскаль не обмежився тим, що сформулював свою теорему для окружності. Він зауважив, що вона повинна залишатися вірною, якщо замість окружності взяти будь конічне перетин: еліпс, параболу або гіперболу. На рис. 18 дається ілюстрація до теоремі Паскаля для випадку параболи.

Рис. 18.

Теорема Бріаншона

Французький математик Шарль Бріаншон (1783 - 1864) виявив в 1806 р., що вірна наступна теорема, яка, як ми побачимо, є свого роду перекинутим по відношенню до теоремі Паскаля.

Проведемо 6 дотичних до кола (або до будь-якого коническому перетину), перенумеруем їх у будь-якому порядку і знайдемо послідовні точки

Рис. 19.

перетину (рис. 19). Теорема Бріаншона стверджує, що три прямих, що з'єднують шість точок перетину, взятих через дві: першою з четвертої, другий з п'ятої, третьої з шостої, перетинаються в одній точці.

Рис. 20.

Щоб підкреслити тісний зв'язок між формулюваннями двох теорем, Бріаншон записав обидві формулювання в двох стовпцях, одну проти інший (стежте за рис. 20, де зліва пояснена теорема Паскаля, а праворуч - Бріаншона).

Теорема Паскаля

Нехай 1,2,3,4,5,6 - Шість якихось точок на конічному перерізі.

З'єднаємо їх по порядком прямими I, II, III, IV, V та VI і знайдіть три точки перетину цих шести прямих, взятих через дві: I з IV, II з V і III з VI.

Тоді ці три точки будуть лежати на одній прямій.

Теорема Бріаішона

Нехай 1,2,3,4,5,6 - Шість небудь дотичних до конічних перетинів.

Знайдемо по порядку точки їх перетину I, II, III, IV, V та VI і з'єднаємо прямими ці шість точок, взятих через дві: I з IV, II з V, III з VI.

Тоді ці три прямі будуть перетинатися в од-ної точці.

Це так автоматично.

Рис. 21

(Рис.22).

Рис. 22

Т.ч.

Рис. 23

Рис. 24

Список літератури

1.