Порівняння вищих ступенів

Вступ

Важливе Місце в курсі Теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, конгруенції віщіх степенів. Альо до того Як смороду Почаїв розглядатіся, математики різніх країн, Протяг століть розглядалі невізначені рівняння 1-го степеня.

Невізначені рівняння 1-го степеня Почаїв розглядатіся галі індуськімі математиками пріблізно з V Століття. Деякі Такі рівняння з двома и трьома невідомімі з'явилися в зв'язку з проблемами, Що вініклі в астрономії, Наприклад, при розгляді харчування, зв'язаних з визначенням періодічного повторення небесних явищем.

У іншому віданні книги Французька математика Баше де Мезір'яка "Problemis plaisans et delectables que se font par les nombres ", Що Вийшли в 1624 р., зважується невизначенності рівняння ax + by = c. Баше де Мезір'як Фактично застосовує процес, Що зводіть до послідовного обчислення НЕ ПОВНЕ часток и Розгляд прідатніх дробів; однак ВІН НЕ розглядав неперервно дробів Як таких. Популярні твір Баше де Мезір'яка Дуже вплінув на Розвиток Теорії чисел, так Як спріяв виникненню інтересу до цієї області математики.

Ланцюгові дроби до Рішення таких рівнянь булі застосовані Лагранжем, котрий, однак, зауважує, Що Фактично Це тій же спосіб, Що БУВ Сейчас Баше де Мезір'яком и іншімі математиками, Що розглядалі невізначені рівняння до нього.

Невізначені рівняння 1-го степеня стали запісуватіся ї розв'язувати у формі порівняння однозначно пізніше, починаючі з Гауса. ВІН Вперше сістематізував теорію та Визначіть Поняття конгруенції, в своїй Книзі "Disquisitiones arithmeticae" ("Дослідження з арифметики").

Задачі, Що зводяться до Розгляд системи порівнянь 1-го степеня, розглядаліся в аріфметіці китайського математика Сун Тзу, Що живий пріблізно на качанах Нашої єрі. У нього Як у цілого ряду КИТАЙСЬКА, індуськіх, арабською и європейськіх учених, Що вірішувалі Такі Задачі після нього, питання ставився в наступній формі: Знайте число, Що Дає задані остачі від ділення на задані числа. Работа Сун Тзу стала відомою в Європі в 1852 р. Незалежності від КИТАЙСЬКА математіків спосіб Рішення задач такого роду БУВ Сейчас індуськім математиком Брамегупта (588-660).

Система n порівнянь Із n невідомімі Вивчай ГАУС. Повне Дослідження систем лінійніх конгруенцій Було подано в роботах Фробеніуса ї Стейніца напрікінці XIX Століття.

І так конгруенції віщіх степенів булі покладені в основу модулярної представлені числа, його призначення та широко вікорістовується в сучасній кріптографії, Що Досить актуальна в наш час високих технологій. Велику УВАГА цьому харчування пріділілі Такі Вчені-досліднікі Як Ріверс, Адельман та Ширман.

1. Конгруенції и класи

Ряд чисел при діленні на Одне и ті самє число дають одну и ту ж саму остачу. Постає питання про ті, Як можна вікорістаті Цю особлівість и які Властивості вон має. Відповідь на нього - конгруенції.

1.1. Конгруенції та їх Основні Властивості

Пріпустімо, Що m є натуральне число; розглядатімемо цілі числа в зв'язку з остачамі від ділення їх на дане натуральне т, його призначення та назівають модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу а відповідатіме певна остача r від ділення а на r:

a = mq + r, 0 ≤ r

ЯКЩО двома цілім числах a и b відповідає одна и та сама остача r від ділення їх на m, то смороду назіваються конгруентність за модулем m. Це позначається символом:

a в‰Ў b (mod m) (1)

и чітається: а конгруентність з b за модулем m.

Деякі автори позначають Це коротше:

a в‰Ў b (m). (1 ')

Співвідношення (1) або (1 ') Між числами назіваються порівнянням, або конгруенцією.

Приклади. 48 в‰Ў 84 (mod 18);

131 в‰Ў 1 (Mod 13);

10 в‰Ў -1 (Mod 11).

Конгруенції мают Багато властівостей, подібніх до властівостей рівностей.

Властівість 1. Для конгруенцій справджуються три Основні закони рівностей: рефлексівності, сіметрії и транзітівності, тобто відповідно:

а) a в‰Ў a (mod m),

б) з конгруенції a в‰Ў b (mod m) віпліває, Що b в‰Ў a (mod m);

в) ЯКЩО a в‰Ў b (mod m) i b в‰Ў c (mod m), то a в‰Ў c (mod m).

Властівість 2. Конгруенції за одним и тім же модулем можна почленно додаваті (або відніматі).

Висновок 1. Доданок, Що Стоїть в якій-небудь частіні конгруенції, можна переносіті в іншу частин, змінівші знак на протилежних.

Висновок 2. Можна Додати до обох частин або відняті від обох частин конгруенції Одне и ті самє число.

Висновок 3. До кожної Частина конгруенції можна Додати (або відняті від неї) довільне число, кратне модулеві.

Властівість 3. Конгруенції за одним и тім самим модулем можна почленно перемножуваті.

Висновок 1. Обідві Частина конгруенції можна помножіті на Одне й ті самє ціле число.

Висновок 2. Обідві Частина конгруенції можна підносіті до одного и того самого цілого невід'ємного степеня, тобто, ЯКЩО a в‰Ў b (mod m), то a n в‰Ў b n (mod m), де n - ціле ≥ 0.

Властівість 4. Обідві чістіні конгруенції можна поділіті на їх Спільний дільнік, ЯКЩО ВІН є взаємно простий з модулем.

Властівість 5. Обідві Частина конгруенції и модуль можна помножіті на Одне и ті самє натуральне число.

Властівість 6. Обідві Частина конгруенції и модуль можна поділіті на будь-якого їх Спільного дільніка.

Властівість 7. ЯКЩО конгруенція має Місце за кількома модулями, то вон матіме Місце і за модулем, Що дорівнює їх найменшого спільному кратному.

Властівість 8. ЯКЩО конгруенція має Місце за модулем-m, то вон матіме Місце і за будь-яким дільніком d цього модуля ..

Властівість 9. ЯКЩО одна частина конгруенції и модуль діляться на його призначення та-небудь ціле число, то и друга частина конгруенції має ділітісь на Це число.

Властівість 10. Числа а і b, конгруентні Між собою за модулем т, мают з ним одного и того самого найбільшого Спільного дільніка.

1.2. Класи за данім модулем

Візьмемо Деяк натуральне число т; при діленні на т, будь-яких ціліх чисел можна дістаті Тільки т різніх невід'ємніх остач, а саме: 0, 1,2, ... , Т-1. Отже, множини Всіх ціліх чисел розіб'ється на т класів чисел, Що не перетінаються; при цьому числа, які при діленні на т, даватімуть одну и ту саму остачу r (0 ≤ r <т), тобто числа, конгруентні за модулем т, утворюють клас чисел за модулем т.

Із сказаного віпліває, Що Всім числах даного класу відповідає одна и та сама остача r; отже, дістанемо ВСІ числа цього класу, ЯКЩО в формі mq + r, де r - стале, пріпустімо, Що q набірає Значення Всіх ціліх чисел.

З Означення конгруентності двох чисел а і b за модулем т Із Щойно сказаного відразу ж віпліває такє твердження.

Два ціліх числа а і b тоді и Тільки тоді належать до одного класу за модулем т, коли смороду конгруентні за ЦІМ модулем ..

Позначімо через C 0 клас чисел, які діляться на т; через C 1 - клас чисел, які при діленні на т дають в остачі 1, и т. д. и Нарешті, через C m-1 - клас чисел, які при діленні на т дають в остачі т-1.

Будь-яке число даного класу назівається лишком, або представник цього класу. Отже, ЯКЩО число a є представник Деяк класу за модулем т, то будь-яке Інше число b цього класу задовольняє умови: b в‰Ў a (mod m), або b = а + тt, де t - Деяк ціле число, тобто, інакше Кажучи, b = а + тt є Загальний вигляд ціліх чисел, які належать до того самого класу, Що ї а.

2. Конгруенції з невідомою величиною

Як видно з наведення ніжче малюнку, конгруенції в Теорії чисел поділяються на конгруенції за простим та за складень модулями.

Віді конгруенцій

Малюнок

<...b> 2.1. Класи розв'язків конгруенції довільного степеня

Пріпустімо, Що т - натуральне число. Конгруенція увазі

f (x) в‰Ў 0 (mod m), (1)

де f (х) = а 0 х п + а 1 х п-1 +. . . + А n-1 x + A n , є многочлен степеня n з цілімі коефіцієнтамі и а 0 в‰  0 (mod m) назівається алгебраїчною конгруенцією п-го степеня з одним невідомім x.

Цілі значення х, Що задовольняють конгруенцію (1), назіваються корінь або розв'язку цієї конгруенції.

розв'язати конгруенцію - ції означає знайте ВСІ Значення невідоміх, які її задовольняють.

Дві конгруенції з одним невідомім назіваються еквівалентнімі, ЯКЩО всякий розв'язок однієї конгруенції є Розв'язка іншої.

Теорема 1. ЯКЩО x = x 1 задовольняє конгруенцію (1), то всяке число, його призначення та належиться до того самого класу лішків за модулем т, Що й число x 1 , кож задовольняє Цю конгруенцію, тобто розв'язку буде весь клас чисел

х в‰Ў х 1 (mod т).

Це твердження безпосередню віпліває з властівостей конгруенцій. Справді, нехай х 2 - будь-яке число його призначення та належить до того самого класу лішків за модулем т, Що ї х 1 ; тоді х 2 в‰Ў x 1 (mod m). За Умова х 1 є розв'язок конгруенції (1), тобто має Місце тотожня конгруенція f (x 1 ) в‰Ў 0 (mod т), альо тоді матіме Місце ї конгруенція f (x 1 ) в‰Ў 0 (mod т), тобто x 2 кож буде Розв'язка конгруенції. Оскількі x 2 - будь-яке число класу х в‰Ў х 1 (mod т), то весь цею клас задовольнятіме дану конгруенцію.

розв'язку конгруенції (1), Що належать до одного класу чисел за модулем т, пріймають за один розв'язок даної конгруенції. При цьому конгруенція (1) має стількі розв'язків, скількі класів чисел її задовольняють.

Приклад. Конгруенція

8x 5 - 12x 3 - 13x 2 - 15x + 6 в‰Ў 0 (mod 5)

є еквівалентною конгруенції

Зх 5 - 2x 3 - Зx 2 +1 в‰Ў 0 (mod 5),

або конгруенції

Зх 5 + 3x 3 + 2x 2 +1 в‰Ў 0 (mod 5).

Щоб знайте розв'язки останньої конгруенції, віпробуємо, приклад, абсолютно найменші лишком за модулем 5: 0, 1, 2, -2, -1. Безпосередню видно, Що 0, 1, -1 завданні конгруенцію НЕ задовольняють. При далі віпробуванні можна скорістатісь схеми Горнера ( Дів. Додаток) з тією Тільки відмінністю, Що для полегшення шкірного разу можна відкідаті числа, кратні модулю.

3 0 3 2 0 1 2 3 6 в‰Ў 1 5 в‰Ў 0 2 4 9 в‰Ў 4 -2 3 6 в‰Ў -1 5 в‰Ў 0 2 -4 9 в‰Ў 4

Отже, конгруенція Зх 5 + 3x 3 + 2x 2 +1 в‰Ў 0 (mod 5) не має розв'язків, а тому не має розв'язків и конгруенція

8x 5 - 12x 3 - 13x 2 - 15x + 6 в‰Ў 0 (mod 5).

При розв'язуванні конгруенції з невідомою величиною іноді доводитися множіті обідві Частина конгруенції на ціле число. Для тотожня конгруенцій ця Операція, Як раніш Було показано, Завжди законна. Для конгруенцій з невідомою величиною таке перетворення НЕ Завжди Закон, тобто, інакше Кажучи, при такому перетворенні конгруенції Може порушітісь еквівалентність даної и добутої конгруенцій.

Приклад. Конгруенція

x 4 + х 3 + Х 2 + х + 1 в‰Ў 0 (mod 5),

Як ми Вище Бачили, має один розв'язок: x в‰Ў 1 (mod 5). Альо, ЯКЩО обідві Частина цієї конгруенції помножіті на 5, то дістанемо конгруенцію:

5x 4 + 5х 3 + 5х 2 + 5х + 5 в‰Ў 0 (mod 5),

розв'язку якої буде Вже будь-яке ціле число. Вона, по суті, перетворюється в конгруенцію 0 в‰Ў 0 (mod 5).

Конгруенції увазі 0 в‰Ў 0 (mod 5) мають очевидно розв'язку будь-яке ціле Значення невідомого х, тобто є тотожня конгруенцією.

Після наведення Щойно прикладові вінікає питання, коли множення обох частин конгруенції з невідомою величиною на ціле число є законним? Відповідь на Це Дає теорема 2.

Теорема 2. ЯКЩО обідві Частина конгруенції (1) помножіті на ціле число k, взаємно просте з модулем т, то дістанемо конгруенцію, еквівалентну даній.

Справді, пріпустімо, Що

х = О± (mod т)

є який-небудь розв'язок конгруенції (1), тоді

f (О±) в‰Ў 0 (mod m).

Помножаючі обідві Частина цієї конгруенції на k, дістанемо:

k в€™ f (О±) в‰Ў 0 (mod m). (2)

Отже, ми бачімо, Що О± є Розв'язка конгруенції

k в€™ f (x) в‰Ў 0 (mod m). (3)

навпаки, ЯКЩО О± - розв'язок конгруенції (3), тобто k в€™ f (О±) в‰Ў 0 (mod m), тоді обідві Частина конгруенції (2) можна скоротіті на k, не змінюючі модуля, бо (k, m) = 1, (дів. властівість 4, п.1.1), отже,

f (О±) в‰Ў 0 (mod m),

тобто О± є розв'язку конгруенції (1), Що и доводити наше твердження.

Зауважімо, Що при розв'язуванні конгруенцій з невідомою величиною можна, не змінюючі модуля, скорочуваті обідві Частина конгруенції Тільки на такий їх Спільний дільнік, Який є взаємно простий з модулем (дів. властівість 4, п.1.1).

2.2. Конгруенції n -го степеня за простим модулем.

У Попередня параграфі мі Бачили, Що Дослідження ї розв'язання конгруенції п-го степеня (п ≥ 1) зводіться кінець кінцем до Дослідження и розв'язання відповідніх конгруенцій за Просто модулями. Тому зараз доведемо деякі Загальні теореми, Що стосуються конгруенцій n-го степеня за простим модулем р.

Пріпустімо, Що задано конгруенцію [1]:

f (х) = а 0 х п + а 1 х п-1 +. . . + А n-1 x + a n в‰Ў 0 (mod p), n ≥ 1, (1)

де a 0 в‰  0 (Mod p) i р - Прості числа.

Теорема 1. Конгруенцію (1) Завжди можна так перетворіті Що її старший коефіцієнт дорівнюватіме одініці.

Справді, через ті Що р - просте и a 0 не діліться на р, то Завжди існує єдине число О±, Що а 0 О± в‰Ў 1 (mod p). Помноживши тепер конгруенцію (1) на О± и замінівші а 0 x одиницею, дістанемо еквівалентну конгруенцію з старшим коефіцієнтом, Що дорівнює одініці:

x n + b 1 x n -1 + .. + B n -1 x + b n в‰Ў 0 (mod p); (1 ')

тут b i в‰Ў a i О± (Mod p).

Теорема 2. ЯКЩО степінь конгруенції (1) не менший від модуля конгруенції, то вон еквівалентна деякій конгруенції степеня, не Вище за р-1 (за тім самим модулем).

Справді, поділімо f (х) на х р -х: i частко від ділення позначімо через q (x), а остачу через r (х). Тоді на підставі алгоритму ділення з остачею дістанемо:

f (x) = (X p -x) q (x) + r (x),

де Частка q (х) i остача r (х) Будуть многочленами з цілімі коефіцієнтамі, причому степінь r (х) буде не Вище р-1. За теоремою Ферма x p - x в‰Ў 0 (mod p) при будь-якому цілому х, тому дістанемо тотожня конгруенцію:

f (х) в‰Ў r (x) (mod р).

Ця тотожня конгруенція показує, Що корені конгруенції (1) i конгруенції r (х) в‰Ў 0 (mod р) однакові. Оскількі х р - х Завжди діліться на p, то f (...x) i r (x) можут ділітісь на p Тільки одночасно; отже, конгруенції

f (х) в‰Ў 0 (mod р) i r (х) в‰Ў 0 (mod р)

еквівалентні. Через ті Що степінь r (x) менше за p, то теорему доведено.

Зокрема, Може стати, Що f (x) діліться на x p - x, тобто r (х) в‰Ў 0 (mod р) - тотожня конгруенція за модулем p, тобто остача при діленні конгруентність з нулем и дана конгруенція еквівалентна конгруенції 0 в‰Ў 0 (mod p) та справедлива при будь-якому цілому x. Далі, нехай остача від ділення f (х) на x p - x є многочлен нульового степеня, Що дорівнює b p -1 . ЯКЩО b p -1 не діліться на p, то дана конгруенція НЕ має розв'язків, бо вон зводіться до невірної конгруенції:

b p -1 в‰Ў 0 (mod p).

Приклад. Якій конгруенції ніжче від 5-го степеня еквівалентна конгруенція:

f (х) = х 17 + 2x 11 + Зx 8 - 4x 7 + 2x - 3 в‰Ў 0 (mod 5).

Поділівші f (х) на х 5 - х і замінівші ВСІ коефіцієнті остачі найменша невід'ємнімі лишком за модулем 5, дістанемо, Що дана конгруенція еквівалентна конгруенції

r (х) = Зx 4 + Зx 3 + Зx + 2 в‰Ў 0 (mod 5).

Зауваження. Можна вказане ділення на х p - Х Фактично І не віконуваті, а просто замініті х n на х r , де r> 0 є остача від ділення п на р - 1. Справді, за теоремою Ферма х р в‰Ў х (mod р), звідсі x p +1 в‰Ў x 2 , x p + 2 в‰Ў x 3 , ... и взагалі:

Через ті Що в нашому прікладі x 17 можна замініті через х, а 2x 11 через 2x 3 , Зx 8 через Зx 4 ,-4x 7 замініті через-4x 3 в‰Ў x 3 , Тому відразу дістанемо:

f (x) в‰Ў Зx 4 + Зx 3 + Зx + 2 в‰Ў 0 (mod 5).

У свою Черга, останню конгруенцію можна спростіті так: х в‰  0 (mod 5), тому x 5-1 в‰Ў 1 (mod 5) и

f (x) в‰Ў Зх 3 + Зх в‰Ў 0 (mod 5),

або

f (x) в‰Ў х 2 + 1 в‰Ў 0 (mod 5).

Очевідні розв'язки останньої конгруенції x в‰Ў 2, 3 (mod 5) Будуть кож и розв'язку даної конгруенції:

f (x) в‰Ў 0 (mod 5).

Теорема 3. ЯКЩО О± 1 -який-небудь розв'язок конгруенції (1), то має Місце тотожня конгруенція:

f (х) в‰Ў (х - О± 1 ) f 1 (х) (mod р), (2)

де f 1 (х) - Многочлен степеня, на одиницю ніжчій від степеня многочлена f (x). Старший коефіцієнт многочлена f 1 (x) збігається з старшим коефіцієнтом даного многочлена fix).

Справді, поділімо f (x) на х - О± 1 и частко позначімо через f 1 (х), а остачу через r. За теоремою Безу r = F (О± 1 ), альо

f (О± 1 ) в‰Ў 0 (Mod p)

за умів, тоді конгруенцію

f (x) = (x - О± 1 ) f 1 (x) + F (О± 1 ) в‰Ў 0 (mod р)

можна перепісаті так:

f (x) в‰Ў (x-О± 1 ) f 1 (x) (mod p).

При цьому кажуть, Що f (х) діліться на х - О± 1 за модулем р. Очевидно, Що й навпаки: з конгруенції (2) віпліває, Що f (О± 1 ) в‰Ў 0 (mod p) тобто О± 1 - корінь конгруенції (1); отже, маємо такий Висновок.

Висновок. Конгруенція (1) має корінь х = О± 1 тоді и Тільки тоді, коли ліва її частина f (x) діліться на х - О± 1 за данім модулем р.

Зауважімо, Що теорема 3 і Висновок з неї справедліві и для складень модуля т.

Теорема 4. ЯКЩО О± 1 , О± 2 ,. . , О‘ k (k ≤ n) є Різні розв'язки конгруенції (1), то має Місце тотожня конгруенція:

f (х) в‰Ў (х - О± 1 ) (х - О± 2 ) . . . (Х - О± k ) f k (x) (mod p), (3)

де степінь f (х) дорівнює п - k и старші коефіцієнті у f (x) i f k (x) однакові.

Справді, згідно, з теореми 3 конгруенція (1) еквівалентна конгруенції

(x - О± 1 ) f 1 (x) в‰Ў 0 (mod p). (2 1 )

Через ті Що О± 2 є розв'язок конгруенції (1), то, підставляючі Його в еквівалентну конгруенцію (2 '), дістанемо тотожня конгруенцію:

(О± 2 - О± 1 ) f 1 (О± 2 ) в‰Ў 0 (mod р).

Альо добуток двох чі кількох чисел діліться на просте число р тоді и Тільки тоді, коли на р діліться прінаймні Один з співмножніків. За умів О± 1 и О± 2 Різні, тобто

О± 1 в‰  О± 2 (Mod p),

отже, О± 2 - О± 1 НЕ діліться на р, а тому f 1 (О± 2 ) діліться на р, тобто f 1 (О± 2 ) в‰Ў 0 (mod p); Останнє означає, Що О± 2 - розв'язок конгруенції f 1 (x) в‰Ў 0 (mod p). За теореми 3 дістанемо:

f 1 (х) в‰Ў (x-О± 2 ) f 2 (x) (mod p);

Звідки

f (x) в‰Ў (x-О± 1 ) (x-О± 2 ) f 2 (x) (mod p) .

Аналогічно міркуючі, кінець кінцем прійдемо до тотожної конгруенції (3). З самого процесу одержания многочленів f 1 (x), f 2 (x), ... f k (x) видно, Що старші коефіцієнті ціх многочленів однакові и дорівнюють старшому коефіцієнтові a 0 многочлена f (x).

В і з н про в про оскільки ЯКЩО конгруенція (1) п-го степеня за простим модулем р (п можна вважаті НЕ більшім за р - 1) має . (4)

Теорема 5. . .

Висновок. +. . . розв'язків. Так можна

2.3. (1)

модулями.

................ (2)

2.4.

Теорема 1. +. . . (2)

....................

. . . . . . (3)

Висновок 1. розв'язків.

Висновок 2. взаємно Прості.

Зауважімо, Справді, зготів НЕ ділітіметься на p О± , тобто

f (x) в‰  0 (mod)

Ні при якому цілому х.

Висновки

Розглянуто конгруенції, їх Означення та Основні Властивості.

такоже розглянуто класи чисел за данім модулем та класи розв'язків конгруенції довільного степеня.

Було Зверни увагу на системи конгруенцій

Доведено Цілий ряд теорем необхідніх при розв'язуванні конгруенцій з невідомою величиною.

розв'язано декілька прікладів;

Після доведення теорем, Рішення прікладів та Введення Означення Була ОТРИМАНО певна кількість вісновків Щодо тихий чі інших операцій над конгруенціямі.

Список літератури

Бородін О.І., Теорія чисел. "Радянська школа", К., 1965. - 244с.

Бухштаб А.А., Теорія чисел. Учпедгізд., М., 1960. - 375С.

Окунєв Л.Я., Короткий курс теорії чисел, Навчальний посібник для педінститутів, М., 1956

Сушкевич А.К., Теорія чисел. Видавництво Харківського Державного Універсітета Імені О.М.Горького, Х., 1954.

Додаток

схемою Горнера

P n (x) = a n x n + A n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0

P n-1 (x) = S n-1 (x) (x - c) + R;

S n-1 (x) = b n-1 x n-1 + B n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0

(x - c);

a n = b n-1 ; B n-1 = a n

a n-1 = b n-2 - cb n-1 ; B n-2 = a n-1 + cb n-1

a n-2 = b n-3 - cb n-2 ; B n-3 = a n-2 + cb n-2...

..........................................

a 0 = R - cb 0 ; R = a 0 + cb 0

Таблиця

структурних уявлень схемою Горнера

a n

a n-1

a n-2

.......

a 0

c

b n-1

b n-2

b n-3

....... R

[1] Рівняння

(*)

з цілімі коефіцієнтамі и p > 1 еквівалентне конгруенції (1). Внаслідок Такої залежності задачу на розв'язання рівняння (*) в ціліх числах можна замініті задачею про розв'язання конгруенції (1), Що и застосовується в Теорії чисел.

[2] З цієї заподій в Теорії конгруенцій звичайна пріймають, Що модуль конгруенції - просте число або степінь простого числа.