Велика теорема Ферма

Для цілих чисел n більше 2 рівняння xn + yn = zn не має ненульових рішень в натуральних числах.

Ви, напевно, пам'ятаєте зі шкільних часів теорему Піфагора: квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Можливо, ви пам'ятаєте і класичний прямокутний трикутник зі сторонами, довжини яких співвідносяться як 3: 4: 5. Для нього теорема Піфагора виглядає так:

32 + 42 = 52

Це приклад рішення узагальненого рівняння Піфагора в ненульових цілих числах при n = 2. Велика теорема Ферма (її також називають В«Великий теоремою ФермаВ» і В«Останньою теоремою Ферма В») полягає у твердженні, що при значеннях n> 2 рівняння виду xn + yn = zn не мають ненульових рішень на натуральних числах.

Історія Великої теореми Ферма вельми цікава і повчальна, і не тільки для математиків. П'єр де Ферма вніс вклад у розвиток різних галузей математики, однак основна частина його наукової спадщини була опублікована лише посмертно. Справа в тому, що математика для Ферма була чимось на зразок хобі, а не професійним заняттям. Він листувався з провідними математиками свого часу, однак публікувати свої роботи не прагнув. Наукові праці Ферма в основному виявлені у формі приватного листування і уривчастих записів, часто зроблених на полях різних книг. Саме на полях (другого томи давньогрецької В«АрифметикиВ» Діофанта. - Прим. перекладача) невдовзі після смерті математика нащадки і виявили формулювання знаменитої теореми і приписку:

В«Я знайшов цьому воістину чудесний доказ, але поля ці надто для нього вузькі В».

жаль, судячи з усього, Ферма так і не спромігся записати знайдене їм В«чудесний доказ В», і нащадки безуспішно шукали його три з зайвим сторіччя. З усього розрізненого наукового доробку Ферма, що містить чимало дивних тверджень, саме Велика теорема завзято не піддавалася вирішенню.

Хто тільки не брався за доказ Великої теореми Ферма - все марно! Інший великий французький математик, Рене Декарт (RenГ© Descartes, 1596-1650), називав Ферма В«хвалькомВ», а англійський математик Джон Уолліс (John Wallis, 1616-1703) - і зовсім В«чортовим французомВ». Сам Ферма, щоправда, все-таки залишив після себе доказ своєї теореми для випадку n = 4. З доказом для n = 3 впорався великий швейцарсько-російський математик XVIII століття Леонард Ейлер (1707-83), після чого, не зумівши знайти доказів для n> 4, жартома запропонував влаштувати обшук у будинку Ферма, щоб знайти ключ до загубленої доведенню. У XIX столітті нові методи теорії чисел дозволили довести твердження для багатьох цілих чисел в межах 200, однак, знову ж, не для всіх.

В 1908 році була заснована премія в розмірі 100 000 німецьких марок за рішення цього завдання. Призовий фонд був заповіданий німецьким промисловцем Паулем Вольфскель (Paul Wolfskehl), який, згідно з переказом, збирався покінчити життя самогубством, але так захопився Великої теоремою Ферма, що передумав вмирати. З появою арифмометрів, а потім і комп'ютерів планка значень n стала підніматися все вище - до 617 до початку Другої світової війни, до 4001 в 1954 році, до 125 000 в 1976 році. В кінці XX сторіччя наймогутніші комп'ютери військових лабораторій в Лос-Аламосі (Нью-Мексико, США) були запрограмовані на рішення задачі Ферма в фоновому режимі (за аналогією з режимом екранної заставки персонального комп'ютера). Таким чином вдалося показати, що теорема правильна для неймовірно великих значень x, y, z і n, але суворим доказом це послужити не могло, оскільки будь-які наступні значення n чи трійки натуральних чисел могли спростувати теорему в цілому.

Нарешті в 1994 році англійський математик Ендрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), працюючи в Прінстоні, опублікував доказ Великої теореми Ферма, яке, після деяких доробок, було визнано вичерпним. Доказ зайняло більше ста журнальних сторінок і грунтувалося на використанні сучасного апарату вищої математики, який в епоху Ферма розроблений не був. Так що ж тоді мав на увазі Ферма, залишаючи на полях книги повідомлення про те, що доказ їм знайдено? Більшість математиків, з якими я розмовляв на цю тему, вказували, що за століття накопичилося більш ніж достатньо некоректних доведень Великої теореми Ферма, і що, швидше за все, сам Ферма знайшов подібне доказ, проте не зумів побачити у ньому помилку. Втім, не виключено, що все-таки є якесь короткий й витончене доказ Великої теореми Ферма, яке ніхто досі не знайшов. З упевненістю можна стверджувати лише одне: сьогодні ми точно знаємо, що теорема вірна. Більшість математиків, я думаю, беззастережно погодяться з Ендрю Уайлсом, який зауважив з приводу свого доказу: В«Тепер нарешті мій розум спокійнийВ».

***

П'єр де ФЕРМА

Pierre de Fermat, 1601-65

Французький математик і юрист. Народився в Бомон-де-ламані (Beaumont-de-Lomagne). Вивчав право, працював суддею. У вільний час захоплювався математикою і вніс значний внесок у розвиток різних галузей цієї науки, за що отримав прізвисько В«король любителівВ». Крім теорії чисел (так називається область математики, до якої відноситься Велика теорема Ферма) ще до Ньютона розробив багато основи диференціального обчислення, а спільно з Блезом Паскалем (Blaise Pascal, 1623-62) заснував теорію ймовірностей. В оптиці сформулював принцип Ферма, згідно з яким заломлення світла на межі двох середовищ обумовлено різною швидкістю поширення світла в різних середовищах.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту elementy.ru/