Основи теорії подібності (метод узагальнених змінних)

Тема:

Основи теорії подібності (метод узагальнених змінних)

План

Методи дослідження технологічних процесів

Теорія подібності. Види подоби

Основні положення теорії подібності (теореми подібності)

Критерії подібності

Методи дослідження технологічних процесів

Дослідження процесів, що протікають в технологічних установках, встановлення закономірностей їх протікання, знаходження залежностей, необхідних для їх аналізу і розрахунку, можна проводити різними методами: теоретичним, експериментальним, подоби.

Теоретичний метод заснований на складанні та вирішенні системи диференціальних рівнянь, що описують процес. Диференціальні рівняння описують цілий клас однорідних по своїй суті явищ (Процесів), тому для виділення конкретного явища необхідно ввести певні обмеження, які однозначно будуть характеризувати дане явище. Ці додаткові умови називаються умовами однозначності. Умови однозначності включають в себе: геометричну форму і розміри системи, тобто апарату, каналу і т.д.; фізичні властивості речовин, що беруть участь в процесі; початкові умови (початкову температуру, початкову швидкість і т.д.); граничні умови, наприклад швидкість рідини біля стінок каналу, рівну нулю.

Однак багато процесів хімічної технології такі складні, що вдається лише скласти систему диференціальних рівнянь і встановити умови однозначності. Вирішити ці рівняння відомими в математиці методами не представляється можливим.

Експериментальний метод дозволяє на основі досвідчених даних отримати емпіричні рівняння, що описують даний процес. Складнощі експериментального методу полягають у необхідності проведення великого кількості дослідів на реальних технологічних установках. Це пов'язано з великими витратами засобів і часу. Разом з тим результати проведених експериментів будуть справедливі тільки для тих умов, для яких вони отримані, і не можуть бути з достатньою надійністю перенесені на процеси, аналогічні вивченим, але протікають в інших апаратах.

Метод теорії подібності дозволяє з достатньою для практики точністю вивчати складні процеси на більш простих моделях, узагальнювати результати дослідів і отримувати закономірності, справедливі не тільки для даного процесу, але і для всієї групи подібних процесів. При моделюванні процесів можна замість дорогих трудомістких дослідів на промислових установках проводити дослідження на моделях значно менших розмірів, а замість найчастіше небезпечних і шкідливих речовин використовувати безпечні модельні речовини, досліди проводити в умовах, відмінних від виробничих. Крім того, матеріальну модель можна замінити фізичної схемою (моделлю), що відбиває істотні особливості даного процесу. Тому в даному навчальному посібнику найбільш докладно буде розглянута теорія подібності.

Теорія подібності. Види подоби

Метод узагальнених змінних складає основу теорії подібності. Одним з основних принципів теорії подібності є виділення з класу явищ (процесів), описуваних загальним законом (процеси руху рідин, дифузії, теплопровідності і т.п.), групи подібних явищ.

Подібними називаються такі явища, для яких відношення сходственних і характеризують їх величин постійні.

Розрізняють наступні види подібності: геометричне; тимчасове; фізичних величин; початкових і граничних умов.

Геометричне подобу дотримується при рівності відносин усіх подібних лінійних розмірів натури і моделі. Наприклад, при вивченні руху рідини в каналі довжиною L , діаметром D . У моделі сходственние розміри рівні l і d . Тоді

L/l = D/d = ... = соnst = k l (0)

Безрозмірна величина k (а в Дитнерском), називається константою геометричного подібності , або масштабним (перехідним) множником . Константи подібності характеризують ставлення однорідних сходственних величин в подібних системах і дозволяють перейти від розмірів однієї системи (Моделі) до іншої (натурі).

Тимчасове подобу припускає, що подібні частинки в геометрично подібних системах, рухаючись по геометрично подібним траєкторіям, проходять геометрично подібні шляху за проміжки часу, ставлення яких є константою подібності k х , тобто

(1)

На рис.1. зображений канал (натура) з розмірами L і D і модель з розмірами l і d . Якась частинка в точці А (натура) знаходиться в момент часу П„ А , в точці В - у момент часу П„ в . В геометрично подібної моделі сходственно частка знаходиться в подібній точці а в момент часу П„ а , в точці b - в момент часу П„ b .

Рис. 1. Умови подібності в натурі (a) і в моделі (б)

теорія подобу змінна узагальнений

При дотриманні геометричного і тимчасового подоби константа подібності швидкостей k П… визначається з співвідношень

(2)

Подібність фізичних величин припускає, що для двох будь-яких сходственних точок натури і моделі, розміщених подібно в просторі і в часу, співвідношення фізичних величин (Ој, ПЃі т.д.) є величиною постійною:

(3)

і т.д.

Подібність початкових і граничних умов полягає в тому, що для початкових і граничних умов повинне дотримуватися геометричне, тимчасове і фізична подобу так само, як і для інших подібних точок натури і моделі.

Розглянуті константи подібності постійні для різних сходственних точок подібних систем, але можуть змінюватися залежно від співвідношення розмірів натури і моделі, т. тобто якщо є інша модель, подібна натурі, константи подібності будуть іншими.

Якщо подібні величини виразити у відносних одиницях, тобто у вигляді відносин сходственних величин в межах однієї системи (натури або моделі), то отримаємо інваріанти подібності:

(4)

і т.д.

Інваріанти подібності не залежать від співвідношення розмірів натури і моделі, тобто для всіх моделей, подібних натурі, вони будуть одні і ті ж. Інваріанти подібності, представляють собою ставлення однорідних величин, називаються симплекс, або параметричними критеріями , наприклад відношення L / D - геометричний симплекс.

Інваріанти подібності, виражені відношенням різнорідних величин, називаються критеріями подібності. Критерії подібності позначаються початковими літерами імен вчених, які внесли великий вклад у розвиток даної галузі знань.

Критерії подібності безрозмірні, їх значення для різних точок системи можуть бути різними, але для подібних точок подібних систем вони однакові і не залежать від відносних розмірів натури і моделі.

Критерії подібності мають фізичний сенс, будучи заходами співвідношення між якимись двома ефектами, силами і т.п., що роблять вплив на протікання даного процесу.

Критерії подібності можуть бути отримані для будь-якого процесу, якщо відомі рівняння, описують цей процес.

Основні положення теорії подібності (теореми подібності)

Основні положення теорії подібності укладені в теоремах подібності, які лежать в основі практичного застосування теорії подібності.

Перша теорема подібності ( теорема Ньютон-Бертрана): подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності .

Теорема була сформульована Ньютоном. Вона встановлює, що єдиним кількісним умовою подібності процесів є рівність критеріїв подібності натури і моделі.

Звідси очевидно, що ставлення критеріїв однієї системи (натури) до критеріїв ін...ший подібної їй системи (моделі) завжди дорівнює 1. Наприклад,

Якщо відношення констант подібності дорівнює 1, воно носить назву індикатора подібності і вказує на рівність критеріїв подібності.

Отже, у подібних явищ індикатори подібності рівні 1.

Перша теорема подібності вказує, які величини слід вимірювати при проведенні дослідів, результати яких потрібно узагальнити: треба вимірювати ті величини, які входять в критерії подібності.

Друга теорема подібності (теорема Бекінгем-Федерман): рішення будь-якого диференціального рівняння, що зв'язує між собою змінні, що впливають на процес, може бути представлено у вигляді залежності між критеріями К подоби. Такі рівняння називаються рівняннями узагальнених змінних , або критеріальними рівняннями , наприклад

f (К 1, До 2 , К 3 , ...) = 0, (5)

де До 1, До 2 , К 3 - критерії подібності.

Зазвичай критеріальне рівняння записується у вигляді залежності обумовленого критерію подоби від визначальних критеріїв подібності:

До 1 = f (К 2 , К 3 , ...) , (6)

Наприклад,

До 1 = АК m 2 До n 3 (7)

де А, т, п - емпіричні показники.

визначається критерієм є той критерій, в який входить обумовлена ​​величина. Критерії, в які входять величини, що визначають хід процесу ( v , Ој, ПЃ, d е. і т. д.), називаються визначальними .

Якщо небудь ефект в досліджуваному процесі мало впливає на його протікання, то критерії подібності, які характеризують інтенсивність даного ефекту, можуть не враховуватися. У цьому випадку процес по відношенню до цього ефекту і до критерію подібності стає автомодельного , тобто незалежним. У відповідності з цією теоремою результати експерименту, проведеного на моделі, можна представляти у вигляді критеріальних рівнянь.

Третя теорема подібності (теорема Кірінчен-Гухман): явища подібні, якщо їх визначальні критерії рівні.

Наслідком рівності визначальних критеріїв подібності є рівність і визначуваних критеріїв для натури і моделі, тому отриманий на моделі в результаті дослідів критеріальна залежність буде справедлива для всіх подібних процесів, у тому числі і для протікають в промисловій установці. При цьому слід враховувати, що отримані рівняння надійно можна використовувати тільки в тих інтервалах зміни змінних, які були використані при проведенні дослідів.

Таким чином, для дослідження технологічних процесів методом подоби необхідно:

1. вибрати диференціальне рівняння і умови однозначності, описують даний процес; потім шляхом перетворення знайти критерії подібності;

2. дослідним шляхом за допомогою моделей встановити залежність між критеріями подібності; отримане узагальнене рівняння буде справедливим для всіх подібних процесів в межах зміни визначальних критеріїв подібності.

Перетворення диференціальних рівнянь методом теорії подібності проводиться в наступному порядку:

1. кожен з членів диференціального рівняння множиться на відповідні константи подібності до П„ , до v , до l і т.д.;

2. отримані коефіцієнти перед членами рівняння для дотримання тотожності прирівнюються;

3. в отриманих індикаторах подоби константи подібності замінюються відповідними відносинами величин, і отримані комплекси є критеріями подібності.

В табл. 1 наведені основні критерії гідродинамічного подібності, які будуть дорівнюють для подібних точок натури і моделі, якщо вони подібні.

Таблиця 1 - Основні критерії гідродинамічного подібності

Критерій

Вираз критерію

Характеристика критеріїв

Одиниці вимірювання входять до критерії подібності величин

Кінематичний (Критерій Рейнольдса)

Rе = П…l/ОЅ = П…lПЃ/Ој

Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тертя

П… - швидкість, м/с;

l - визначальний розмір, м;

ПЃ - щільність, кг/м 3 ;

Ој - динамічна в'язкість, Па-с;

ОЅ - кінематична в'язкість, м 2 /с;

g - прискорення вільного падіння, м/с 2 ;

р - тиск, Па;

П„-час, з

Гравітаційний (Критерій Фруда)

Fr = ОҐ 2 /gl

Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тяжкості Гідравлічного опору (критерій Ейлера)

Еu = О”p/ ПЃ П… 2

Характеризує міру співвідношення сил гідростатичного тиску і сил інерції гомохронності

Але = П… П„/ l

Характеризує нестале рух рідини

Таким чином, диференціальне рівняння Нав'є - Стокса, що описує рух в'язкої рідини, може бути представлено у вигляді критеріального рівняння:

f (Rе, Але, Fr, Еu) = 0 (8)

Рівняння (8) є узагальненим критеріальним рівнянням гідродинаміки. Всі критерії рівняння (8), окрім критерію Їй, є визначальними, так як вони складені з величин, що входять в умови однозначності. Критерій Ейлера, в який входить величина DР, що є метою розрахунку, буде визначеним критерієм.

Тоді

Еu = f (Rе, Але, Fr) або

Еu = AНо з Rе т Fr п , (9)

де А, c, т, п-емпіричні показники.

В ряді випадків рівняння (19) доповнюють геометричним симплексом l / d :

Еu = AНо з Rе т Fr п ( l / < i> d ) b , (10)

де b-емпіричний показник.

При усталеному русі критерій Але виключається з критеріального рівняння:

Еu = ARе т Fr п ( l / d ) < sup> b . (11)

В випадку, якщо швидкість руху рідини не визначена, в розрахунки вводять похідні або модифіковані критерії подібності, складені з основних критеріїв. У цих критеріях подоби невідома величина П… замінюється іншими величинами, які порівняно легко визначаються експериментально або аналітично.

Візьмемо відношення критеріїв Rе і Fr:

(12)

Отриманий безрозмірний комплекс величин називається критерієм Галілея. Якщо помножити цей критерій на відношення , то виходить новий критерій подібності - критерій Архімеда

(13)

де ПЃ 1 , ПЃ 2 - щільності рідини в різних точках, кг/м 3 .