Математичні методи планування експериментів

ЗМІСТ

планування експеримент модель

ВСТУП

1 Загальні відомості про планування експерименту

2 Коротка характеристика методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків

2.1 Загальні положення про планування другого порядку

2.2 Ортогональні центральні композиційні плани другого порядку

2.3 Рототабельние плани другого порядку

ВИСНОВОК

Список використаних джерел

ВСТУП

Розвиток сучасної науки і техніки пов'язано із створенням нових і постійним вдосконаленням існуючих наукових і технологічних процесів. Основою їх розробки та оптимізації є експеримент. Помітне підвищення ефективності експериментальних досліджень і інженерних розробок досягається використанням математичних методів планування експериментів. У процесі експериментування і при обробці отриманих даних істотно скорочує терміни рішення, знижує витрати на дослідження і підвищує якість отриманих результатів.

Мета планування експерименту - знаходження таких умов і правил проведення дослідів при яких вдається отримати надійну і достовірну інформацію про об'єкт з найменшою витратою праці, а також представити цю інформацію в компактній і зручній формі з кількісною оцінкою точності.

1. Загальні відомості про планування експерименту

Ініціатором застосування планування експерименту є Рональд А. Фішер, інший автор відомих перших робіт - Френк Йетс. Далі ідеї планування експерименту формувалися в працях Дж. Боксу, Дж. Кіфера. У нашій країні - в працях Г.К. Кола, Є.В. Маркова та ін

Часто, приступаючи до вивчення якого процесу експериментатор не має вичерпних відомостей про механізмі процесу. Можна тільки вказати параметри визначають умови протікання процесу, і, можливо вимоги до його результатів. Поставлена проблема є завданням кібернетики. Дійсно, якщо вважати кібернетику В«Наукою, що вивчає системи будь-якої природи, здатні сприймати, зберігати та переробляти інформацію для цілей оптимального управління В»[3], то таку систему можна представити у вигляді чорного ящика.

Чорний ящик - об'єкт дослідження, має (k + p) входів і m виходів.

Залежність між вихідними параметрами (відгуком) і вхідними параметрами (факторами) називається функцією відгуку. Математична запис функції відгуку представлена ​​у вигляді формули (1):

(1)

Цьому рівнянню в багатовимірному просторі відповідає гіперповерхні, яка називається поверхнею відгуку, а сам простір - факторним простором.

Малюнок 2 - Поверхня відгуку

Для математичного опису поверхні відпочинку використовують рівняння:

(2)

де - перемешнние фактори при i = 1, ..., k; u = 1, ..., k; iu;

.

Це рівняння є розкладанням в ряд Тейлора невідомої функції відгуку в околиці точки з.

На практиці за результатами експерименту проводиться обробка дан вих за методом найменших квадратів. Цей метод дозволяє знайти оцінку b коефіцієнтів, і даний поліном замінюється рівнянням виду:

(3)

яке є регресійної моделлю (моделлю регресійного аналізу). У цьому виразі означає модельне, тобто розраховується по рівнянню моделі, значення виходу. Коефіцієнти регресії визначаються експериментально і служать для статистичної оцінки теоретичних коефіцієнтів, тобто

(4)

У регресійній моделі члени другого ступеня, характеризують кривизну поверхні відгуку. Чим більше кривизна цієї поверхні, тим більше в моделі регресії членів вищого ступеня. На практиці найчастіше прагнуть обмежитися лінійної моделлю [1].

Експеримент можна проводити по-різному. У випадку, коли дослідник спостерігає за якимось некерованим процесом, не втручаючись в нього, або вибирає експериментальні точки інтуїтивно, на підставі якихось привхідних обставин, експеримент вважають пасивним. В Нині пасивний експеримент вважається неефективним.

Набагато більш продуктивно проводиться експеримент, коли дослідник застосовує статистичні методи на всіх етапах дослідження, і, перш за все, перед постановкою дослідів, розробляючи схему експерименту, а також в процесі експериментування, при обробці результатів і після експерименту, приймаючи рішення про подальші дії. Такий експеримент вважають активним, і він припускає планування експерименту.

Під плануванням експерименту розуміють процедуру вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю.

Під математичною моделлю планування розуміється наука про способи складання економічних експериментальних даних планів, які дозволяють витягувати найбільшу кількість інформації про об'єкт дослідження, про способи проведення експерименту, про способи обробки даних та їх використання для оптимізації виробничих процесів, а також інженерних розрахунків [3].

2. Коротка характеристика методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків

Використання теорії планування експерименту є одним із шляхів істотного підвищення ефективності багатофакторних експериментальних досліджень. У плануванні експериментів застосовуються в основному плани першого і другого порядків. Плани більш високих порядків використовуються в інженерній практиці рідко. У зв'язку з цим далі наводиться короткий виклад методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків. Під планом першого порядку розуміють такі плани, які дозволяють провести експеримент для відшукання рівняння регресії, містить тільки перші ступені факторів і їх твори:

(5)

Плани другого порядку дозволяють провести експеримент для відшукання рівняння регресії, що містить і другі ступеня факторів:

(6)

Знаходження рівняння регресії методом планування експериментів складається з наступних етапів:

В· вибір основних факторів і їх рівнянь;

В· планування та проведення власного експерименту;

В· визначення коефіцієнтів рівняння регресії;

В· статистичний аналіз результатів експерименту [1].

2.1 Загальні положення про планування другого порядку

Опис поверхні відгуку поліномами першого порядку часто виявляється недостатнім. У багатьох випадках задовільна апроксимація може бути досягнута, якщо скористатися поліномом другого порядку (6).

У цьому випадку потрібно, щоб кожен фактор варіювався не менше ніж на трьох рівнях. У цьому випадку повний факторний експеримент містить занадто велику кількість дослідів, рівне. Так, при їх 27, а число коефіцієнтів, при число дослідів 243, а коефіцієнтів 21. У зв'язку з цим здійснення повного факторного експерименту (ПФЕ) для планів другого порядку не тільки складно, але і недоцільно.

Скоротити число дослідів можна, скориставшись так званим композиційним або послідовним планом, розробленим Боксом і Вілсоном. Так, при двох факторах модель функції відгуку другого порядку являє собою поверхню у вигляді циліндра, конуса, еліпса і т.д., описувану в загальному вигляді рівнянням:

. (7)

Для визначень такої поверхні необхідно розташовувати координатами не менше трьох її точок, тобто фактори і повинні варіюватися не менше ніж на трьох рівнях. Тому план експерименту в площині факторів і на малюнку 3, а не може складатися лише з дослідів 1, 2, 3, 4, розташованих у вершинах квадрата, як це робиться для моделі першого порядку. До них повинні бути додані досліди (Зоряні точки) 5, 6, 7, 8, розташовані на осях і з координатами і обов'язково досвід 9 в центрі квадрата, щоб по будь-якому напряму (5-9-6), (1-9-4) і т.д. розташовувалося три точки, що визначають кривизну поверхні в цьому напрямку.

Малюнок 3 - Плани другого порядку при: а - ортогональний;

б - рототабельний

Таким чином, у загальному випадку ядро композиційного плану становить при ПФЕ, а п...ри - дробову репліку від нього. Якщо лінійне рівняння регресії виявилося неадекватним, необхідно:

1) додати (2 - k) зоряних точок, розташованих на координатних осях факторного простору де - зоряне плече, або відстань до зоряної точки;

2) провести дослідів при значеннях факторів в центрі плану.

При k факторах загальне число дослідів у матриці композиційного плану складе:

(8)

При цьому величина зоряного плеча і число дослідів в центрі плану залежить від обраного виду композиційного плану.

Композиційний план для і представлений в таблиці 1.

Таблиця 1 - Композиційний план другого порядку

Номер досвіду Фактори Результат

Ядро

плану

1

2

3

4

5

+1

+1

+1

+1

+1

- 1

+1

- 1

+1

- 1

- 1

+1

+1

0

+1

- 1

- 1

+1

0

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

0

Зоряні точки

6

7

8

+1

+1

+1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Центр плану 9 +1 0 0 0 0 0

Аналогічним чином будуються плани і для більшого числа факторів [1].

2.2 Ортогональні центральні композиційні плани другого порядку

У загальному вигляді план, представлений в таблиці 1, неортогонален так як

(9)

Наведемо його до ортогональному увазі , для чого введемо нові змінні (перетворення для квадратичних ефектів):

(10)

при цьому

(11)

Тоді рівняння регресії буде записано як

(12)

Композиційні плани легко призвести до ортогональним, вибираючи зоряне плече. У таблиці 2 наведено значення а для різного числа факторів k і числа дослідів в центрі плану.

Таблиця 2 - Значення зоряних плечей в ортогональних планах другого порядку

Число дослідів в центрі плану

Зоряне плече при різному числі факторів k

(в ядрі полуреплікі)

1 1,000 1,215 1,414 1,546 2 1,077 1,285 1,471 1,606 3 1,148 1,353 1,546 1,664 4 1,214 1,414 1,606 1,718 5 1,267 1,471 1,664 1,772 6 1,320 1,525 1,718 1,819 7 1,369 1,575 1,772 1,868 8 1,414 1,623 1,819 1,913 9 1,454 1,668 1,868 1,957 10 1,498 1,711 1,913 2,000

Зокрема, ортогональний план другого порядку для і представлений у таблиці 3, а його геометрична інтерпретація - на малюнку 3, а.

Представлений на малюнку 3, а і в таблиці 3 прямокутний (квадратний) план експерименту для моделі другого порядку працездатний, хоча і дещо надмірний (9 дослідів для визначення 6 коефіцієнтів). Завдяки трьом надлишковим дослідам, він дозволяє усереднити випадкові похибки і оцінити їх характер.

Таблиця 3 - Ортогональний центральний композиційний план другого порядку

Номер досвіду Фактори Результат

Ядро

плану

1

2

3

4

+1

+1

+1

+1

- 1

+1

- 1

+1

- 1

- 1

+1

+1

+1

- 1

- 1

+1

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

Зоряні точки

5

6

7

8

+1

+1

+1

+1

0

0

0

0

0

0

0

0

+1/3

+1/3

- 2/3

- 2/3

- 2/3

- 2/3

+1/3

+1/3

Центр плану 9 +1 0 0 0 - 2/3 - 2/3

У цій таблиці

. (13)

В силу ортогональності матриці планування її коефіцієнти дорівнюють:

(14)

Рівняння регресії визначаються незалежно один від іншого за формулами.

Тут i - номер стовпця в матриці планування; j - номер рядка; суми в знаменниках різні для лінійних, квадратичних ефектів і взаємодій.

Дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії наступні:

. (15)

Слід особливо відзначити, що коефіцієнти рівняння регресії, одержувані за допомогою ортогональних планів другого порядку, визначаються з різною точністю (див. рівняння (14)), у той час як ортогональні плани першого порядку забезпечують однакову точність коефіцієнтів, тобто план, представлений в таблиці 3, який є ортогональним і забезпечує незалежність визначення коефіцієнтів b, не є рототабельним.

В результаті розрахунків по матриці з перетвореними стовпцями для квадратичних ефектів отримуємо рівняння регресії у вигляді:

(16)

Для перетворення до звичайної форми записи слід перейти від коефіцієнта до коефіцієнта, використовуючи вираз:

. (17)

При цьому дисперсія цього коефіцієнта розраховується за наступним співвідношенням:

(18)

Надалі, знаючи дисперсію відтворюваності, перевіряють значущість коефіцієнтів і адекватність рівняння:

(19)

Значимість коефіцієнтів перевіряється за критерієм згоди Стьюдента. Коефіцієнт значимий, якщо, де m - число ступенів свободи дисперсії відтворюваності.

Адекватність рівняння перевіряється по критерієм Фішера

Рівняння значимо, якщо складено таким чином F - відношення менше теоретичного:, де - число свободи дисперсії адекватності; - число ступенів свободи дисперсії відтворюваності; I - число коефіцієнтів в рівнянні регресії другого порядку, рівне числу сполучень із по 2, тобто

(20)

2.3 Рототабельние плани другого порядку

Як було встановлено, план другого порядку, представлений в таблиці 3, не володіє властивістю рототабельності. Рототабельним називають планування, для якого дисперсія відгуку (вихідного параметра), передбаченого рівнянням регресії, постійна для всіх точок, що знаходяться на рівному відстані від центру експерименту. Експериментатору заздалегідь невідомо, де знаходиться та частина поверхні відгуку, яка представляє для нього особливий інтерес, тому слід прагнути до того, щоб кількість інформації, що міститься в рівнянні регресії, було однаково для всіх рівновіддалених від центру експерименту точок. Дійсно, видалення від центру точок 5,6,7,8 в рази менше, ніж видалення точок 1 : 2, 3, 4 (див. малюнок 3, : а), і, отже, коефіцієнт рівняння регресії визначаються з різною дисперсією. Бокс і Хантер запропонували рототабельние плани 2-го порядку. Для того щоб композиційний план був рототабельним, величину зоряного плеча вибирають з умови:

(21)

Або в загальному випадку

,

де k - число факторів;

p - дробность репліки (для ПФЕ p = 0, для полуреплікі p = 1, для четвертьреплікі p = 2 і т.д.).

Число точок у центрі плану збільшують. У таблиці 4 наведені значення а для різного числа незалежних факторів.

Таблиця 4 - Значення зоряних плечей і числа точок в центрі ротатабельних планів

Параметр плану Значення параметрів при числі незалежних факторів

2

3

4

5 6 6 6 7 7 Ядро плану

Зоряне плече 1,414 1,682 2,00 2,378 2,00 2,828 2,378 3,333 2,828

Число точок у центрі плану

5 6 7 10 6 15 9 21 14

Розглянемо ідею вибору значення зоряного плеча на прикладі матриці рототабельного планування другого порядку для, представленої в таблиці 5.

Розміщення точок цього плану показано на малюнку 3, б. Для забезпечення рототабельності точок 5, 6, 7, 8 необхідно видалити їх від центру плану на відстань в раз більше, ніж видалення точок 1, 2, 3, 4 від осей. В результаті цього всі точки плану (таблиця 5) виявляються що лежать на окружності. Враховуючи істотно більший вплив на функцію відгуку випадкової помилки в точці 9, рекомендується ставити в цій точці плану не один, а декілька дублюючих дослідів (у даному випадку досліди з 9 до 13) для усереднення отриманих результатів і для здійснення статистичного аналізу результатів усього експерименту в цілому.

Таблиця 5 - Рототабельний план другого порядку

Номер досвіду Фактори Результат

Ядро

плану

1 +1 -1 -1 +1 +1/3 +1/3

2 +1 +1 -1 -1 +1/3 +1/3

3 +1 -1 +1 -1 +1/3 +1/3

4 + +1 +1 +1 +1/3 +1/3

Зоряні точки 5 +1 +1,414 0 0 2 0

6 +1 -1,414 0 0 2 0

7 +1 0 +1,414 0 0 2

8 +1 0 -1,414 0 0 2

Центр плану 9 +1 0 0 0 0 0

10 +1 0 0 0 0 0

11 +1 0 0 0 0 0

13 +1 0 0 0 0 0

Враховуючи специфічний характер рототабельного плану в загальному вигляді, можна також отримати формули для розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії та їх дисперсій:

(22)

; (23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

де (29)

(30)

(31)

(32)

Тут - число дослідів в центрі плану; - число інших дослідів.

Матриця рототабельного планування, виявляється неортогональних, так як:

(33)

Отже, якщо який-небудь з квадратичних ефектів виявився незначущі, то після його виключення коефіцієнти рівняння регресі...ї необхідно перерахувати заново.

При використанні рототабельних планів другого порядку дисперсію відтворюваності можна визначити по дослідам в центрі плану. У зв'язку з цим при перевірці адекватності рівняння регресії, отриманого за рототабельному планом другого порядку, надходять у такий чином.

Знаходять залишкову суму квадратів:

(34)

з числом ступенів свободи

(35)

За дослідам в центрі плану визначають суму квадратів відтворюваності:

(36)

з числом ступенів свободи

Далі знаходять суму квадратів, характеризують неадекватність, число ступенів свободи якої

(37)

Перевіряють значимість за критерієм згоди Фішера:

. (38)

Рівняння значимо, якщо

Якщо модель другого порядку виявилася неадекватною, слід повторити експерименти на меншому інтервалі варіювання факторів або перенести центр плану в іншу точку факторного простору. У тих випадках, коли адекватність моделі як і раніше не досягається, рекомендується перейти до планів третього порядку [1].

ВИСНОВОК

Використання теорії планування експерименту є одним із шляхів істотного підвищення ефективності багатофакторних експериментальних досліджень. Під плануванням експерименту розуміють процедуру вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю. Основні переваги активного експерименту пов'язані з тим, що він дозволяє:

1. Мінімізувати загальне число дослідів;

2. Вибирати чіткі логічно обгрунтовані процедури, послідовно виконувані експериментатором при проведенні дослідження;

3. Використовувати математичний

4. Одночасно

5. Організувати регресійного аналізу;

6. Отримувати

7. величини;

8. Оцінювати
Список використаних джерел Методи Н.А. Логічні - М.: