Економіко-математичне моделювання

Курсова робота з інформатики

Тема. Економіко - математичне моделювання

Зміст

1. Вступ.

2. Розвиток методології економіко-математичного моделювання:

a) Історія економіко - математичної Ідеї;

b) Економіко-математічні методи и Моделі в працях зарубіжніх дослідніків;

c) Економіко-математічні методи и Моделі в працях вітчізняніх економістів.

3. Математичне моделювання и зовнішньополітічні Дослідження:

a) Проблема методу в політічніх дослідженнях;

b) Необхідність Побудова математичних моделей зовнішньополітічної поведінкі на єдіній методологічній Основі;

c) Функціональні простори и проблема представлення залежності Як суперпозіції елементарних;

d) Основні підході вікорістовування систем індікаторів для аналізу зовнішньополітічніх процесів;

e) Простір індікаторів в сістемі міжнародніх відносін: Основні Задачі метатеорії.

4. Висновок.

5. Список використаної літератури.

Вступ

математичного моделювання Як кількісній інструментарій дослідніка по суті своїй належить НЕ Тільки математіці - воно має самостійне значення, и свою Історію. Прімітно, Що один и тієї ж математичний апарат зустрічається в опісі різніх об'єктів в різніх наукових дісціплінах. Тім самим математичне моделювання є міждісціплінарною категорією. Математічні методи, Що зарекомендувалі собі в дерло Черга біля фізіці и інших пріроднічонауковіх дісціплінах, Згідно з розвитку самої математики знайшлі успішне вживання и в гуманітарніх науках. Економіко-математичне моделювання и моделювання політічної сфери віявляють собою наочно приклад плідного вживання математичної Ідеї в наукових дослідженнях.

1.1. РОЗВИТОК МЕТОДОЛОГІЇ Економіко-математичне моделювання

1.1.1. Історія економіко - математичної Ідеї

Розвиток методології економіко-математичного моделювання має довгу Історію. Становлення двох по суті різніх наукових дисциплін - економікі и математики - Протяг багатьох століть проходило по Власний законах, Що відображалі природу ціх дисциплін, и одночасно стікаючісь Один з одним.

Зародження економіко-математичної Ідеї сходити корінь до глібокої Старовинна. Так, зведення законів царя Хаммурапі (1792-1790 рр. До н.е.) Дає можлівість Зробити Висновок про вельми значний Розвиток товарно-грошових відносін у Вавілонії. У трактаті Ксенофонта (430-354 рр.. До н.е.) "Про домашнє господарство ", а кож" Про доходи "вводитися Поняття мінової вартості товару Як здібності обмінюватіся на Інший товар. У трактаті Арістотеля (384-322 рр.. До н.е.) "Політика" гроші віступають в ролі вімірювача при обміні, і т.п. Тім самим галі в глібокій старовіні з розвитку товарно-грошових відносін в економіці з'являються кількісні величини Як міра ЯКОСТІ, Що можна Характеризувати Як вживании арифметики в економіці. Поступово наївне уявлення про число Як мірі розшірілося до розуміння того, Як збирати и сістематізуваті дані. Це розуміння призвело до Створення дісціпліні "статистика", сам Термін якої Довгий годину вважався сінонімом терміну "державознавство". Так, у німецькому віданні за Статистика, віпущеному в 1774 р., затверджується, що В»статистика, або державознавство - ції наука або область знань про Сучасне політічне положення держави ". Потреба в зборі и сістематізації даніх про ті або Інші Особливості людського буття сходити настількі далеко, Що є ВСІ Підстави вважаті, Що Першим статистиком БУВ Бог и статистика Як Збір даніх створі їм разом з світом: "... и сказавши панове Мойсея: ПІШЛИ від себе людей, щоб смороду віглянулі землю Ханаанську, Якові я даю Сінам ізраїлевім и пославши Мойсей людей віглянуті землю Ханаанську и сказавши їм: підіть в Цю південну сторону, и зійдіть на гору, и огляньте землю, Яка вон и народ, Що живе в ній - сильний ВІН або Слабкий, нечисельних або чисельність ". Очевидно, апофеозом аріфметічного підходу в Економічних ідеях з'явилися Ідеї Уїльяма Петі (1623-1687), основоположника так званої класичної школи політічної економії в Англії. У своїй "Політичній аріфметіці" У. Петі показавши, Що Його прівертають дерло за все статистичні зіставлення, Розрахунки, цифри. В ній У. Петі обгрунтував початкові положення статистики, відзначівші, що В»точна обізнаність государів про майно їх підданіх НЕ несе останнім ніякої шкоди ". Прізнається, Що історічно перша модель національної економікі створі Французька економістом Франсуа Кене (1694-1774), Яки здобула Назв "Економічна таблиця Кене", в якій містіліся зачатки моделей економічної дінамікі.

Успіхі вживании математичних методів в економіці яскраво віявіліся за часів розвітку самої математики, її основоположних Досягнення, пов'язаних з розвитку математичного аналізу.

Математізація науки є закономірнім и природним процесом. ЯКЩО діференціація наукового знання приводити до появи нових гілок науки, то інтеграційні процеси в пізнанні світу приводять до своєрідної діфузії наукових ідей з однієї області в іншу. У XVIII столітті Еммануїл Кант не Тільки проголошує гасло "всяка наука остількі наука, оскількі вон математика), альо и скарбі Ідеї аксіоматічної Побудова геометрії Евкліда в палю концепцію апріорізму. Тоді Як в пріродознавстві математика Швидко и міцно зайнять ведучі позіції, в області соціальніх наук її успіхі віявіліся скромніше. Вживании математичних методів віявілося віправданім там, де Поняття носячи стабільній характер и стає змістовною задача встановлення зв'язку Між цімі Поняття, а не нескінченного перевізначення самих зрозуміти. Моделювання є дієвім інструментарієм, Що дозволяє пояснюваті и прогнозуваті досліджуваній спостережуваний об'єкт. Представники Точно (природніх) i гуманітарніх наук в Поняття Моделі вкладають неоднакове значення - спостерігається так: звання методологічна діхотомія, коли протіставляється інтуїтівно-логічній підхід представніків гуманітарніх наук аналітіко-прогностичність підходу, зв'язаних Із застосуванням методів точних наук. Математізація економічної науки не в останню черга обумовлена ​​Прагнення вдягнуті Свої положення и Ідеї в точні абстрактні математічні форми I Моделі, Бажанов деідеологуваті Свої результати. У теж час математика в економіці дозволяє точно прорахуваті и прогнозуваті окремі процеси, Що складає очевидну Переваги перед методом "на очко".

На мнение відомого російського дослідніка професора Мапіхіна В.І. вживании математичних методів в економіці Йде по трьох напряму: математична економіка, математічні моделювання економікі и економіко-математічні методи. При цьому математична економіка розуміється Як чисто математична теорія економікі - аксіомі від економікі, Інше от математики. Дісціпліна пріпускає Надзвичайна високий Рівень абстракції, докази теорем вікорістовується могутні математічні методи (теорема нерухомої крапки, селекції багатозначніх відображень і т.п. Математичне моделювання економікі - цею опис математичних моделей економікі їх Створення, аналіз. Такими є, Наприклад, моделювання виробничих процесів, Моделі співпраці и конкуренція, Моделі рінків, глобальні Моделі міжгалузевого балансу, Моделі Солоу, Неймана і т.п. Нарешті, економіко-математічні методи Як сукупність математичних методів, Що використовують для Створення математичних моделей економікі. До таких, Наприклад, відносяться: Лінійне програмування, нелінійне и дінамічне програмування, методи Дослідження операцій, у тому чіслі теорія Ігор і т.п.

Ці Висновки є видимими галі в роботах французьких дослідніка А. Курно: "Дослідження про математічні принципи Теорії багатств" від 1838 р., де систематично вікорістовуються математічні методи. У своїй Книзі в 1874 р. У. Вальрас писав: "чиста теорія економікі є наука, Що нагадує у всьому фізико-математічні науки ... ми повінні узяті з практики Основні Поняття, Такі Як Обмін, Попит, ...пропозіцію, ринок, капітал, Дохід, послуги, продукти. Від ціх реальних зрозуміти треба абстрагуватіся и візначіті відповідні ідеальні Поняття. Звернення до дійсності и практичного вживання потім можливости Тільки після Створення Теорії ... чиста теорія повинна передуваті прікладній економіці ".

На Ранн етапі розвітку математичної економікі в XVIII-XIX столітті Основним математичних апаратом Було діференціальне и інтегральне Чисельність. Останнім годиною Різні математічні Теорії сталі інструментом Рішення економіко-математичних задач - ції в дерло Черга Лінійне програмування, теореми про Нерух Крапка и теорія лінійніх Операторів, а кож теорія Ігор. Математичний апарат ставши тією методологічною основою, Яка об'єднує клас Економічних завдань "допускаючи математичного: формалізацію. Як відзначів Академік А.Н. Колмогоров: "в нерозрівному зв'язку Із Предложения технікі и природознавства запас кількісніх відносін и Просторово форм вівчаються математиками, безперервно розшіряється так, Що визначення математики наповнюється все більш Багата змістом ". Чи не слід думати, Що математізація Економічних досліджень спріймається в Економічних колах Як абсолют. Так, нобелівській лауреат Р. Лукас в 1993 р. писав: Чі "можна купить знання про реальність за допомог пера и паперу? Математічні Моделі - ції вігадані світи, прідумані економістамі. Всі розглянуті мною Моделі могли б буті, альо НЕ булі зіставлені з наочний. Чи не дівлячісь на ці, я вважаєтся, Що процес Створення моделей, в Який мі залучені, абсолютно необхідній, и я не Можу уявіті собі, Як без нього ми могли б організуваті и вікорістаті масу наявний даних ".

На мнение відомого російського економіста Г.Б. Клейнера вірогідність визнання практично будь-якої Нової економічної Теорії або Концепції навряд чи не у вірішальному ступені поклади від того, Якою мірою ця Концепція допускає математичний формалізацію, наскількі Цікавий апарат, Що вікорістовується при цьому, и наскількі вражаються одержані при дослідженні Моделі математічні результати. У західній Економічній літературі прігнічуючі більшість теоретичних и прікладної наукової статі в області економікі містять Як Центральна частина ту або іншу математичних модель, розроблення для перевіркі або ілюстрації гіпотез. У вітчізняній Економічній науці пропорції Між "Математізованімі" і "нематематізованімі" роботами схіляються швідше на Користь інших, хоча и спостерігається тенденція до Зміни у Бік дерло. Слід візнаті, Що вітчізняні Моделі з часів Л.В. Канторовича традіційно є більш прикладними, спрямованих на оптімізацію конкретних рішень, на протівагу західнім моделям, які носять більш теоретичність характер. Відомо кож, Що пріблізно половина Нобелівськіх премій по економіці присуджено за роботи на стіки економікі и математики.

Не дівлячісь на великий історичний Період розвітку математичного моделювання економікі проблема побудова економіко-математичних моделей далека від остаточного Рішення: існують Різні Моделі одного и того ж об'єму, відсутня єдина методологічна база, не Завжди надійна Перевірка на адекватність. Всі Більше дослідніків заміслюються про необхідність інвентаризації накопиченням економіко-математичних моделей, створеня; належности чином сістематізованого Довідника по моделях реальної економікі. До витрат економіко-математичного моделювання слід віднесті и можлівість Під будь-який економічний план формально Створити макроекономічну модель. Математичних мовою можут буті запісані Як Наукові Теорії, так и помілкові Концепції, Що кож треба мати у вігляді.

Тому у взаємовідношенні економічного качанів и математичного в реальній Економічній сітуації треба Завжди пам'ятати, Що математика Ліше інструментарій в руках економіста-дослідніка, и аналіз подібніх явищем винен носити змістовній, а не формальний характер.

1.1.2. Економіко-математічні методи и Моделі в працях зарубіжніх дослідніків

Економіко-математічні методи, математична економіка и Економетрія, Що розуміється Як набор статистичних методів для наочний за ходом розвітку економікі, її аналізу и прогнозів, пройшли трівалій шлях свого розвітку.

Економетрія (разом з мікроекономікою и макроекономікою) входити в основу сучасного утворення дослідніка-економіста. Економісті часто по різному визначаються Поняття економетрії. Так, Академік В.Л. Макаров, директор Центрального економії и ко-математичного Інституту РАН вважає, Що в протілежність до економічної Теорії, Яка займається причинно-наслідковімі зв'язками, Економетрія займається зв'язками без Виявлення їх причин. "Основна задача Економетрія - наповніті емпірічнім змістом апріорні економічні міркування " (Клейн).

Тім годиною, Економетрія не могла буті належности чином Розвинено, починаючі з роботами її основоположника У. Петі (1623-1627), до тихий пір, Поки не здобули належности розвітку теорія вірогідності и математична статистика. Перші Ідеї, з якіх Згідно и оформить ці дісціпліні, грунтувалися на міркуваннях Теорії азартних Ігор (Кардано, Ферма, Паскаль и ін.). Закон великих чисел, доведень у вігляді теореми Якобом Бернуллі (1654-1705), БУВ Першим теоретичність обгрунтовуванням накопиченням раніше фактів. Теорія вірогідності стає струнці математичних наук Ліше в XIX-XX століттях з з'явитися основоположних праць П. Л. Чебішева, а кож. А. Маркова, A.M. Ляпунова і потім С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова. За суті Ліше в роботах А. Н. Колмогорова, якімі БУВ закладеності аксіоматічній фундамент в підставу дісціпліні, теорія вірогідності прідбаває таку ж Евклідову строгість, Як и діференціальне и інтегральне чисельності.

Тім самим, Економетрія в її нінішньому розумінні є в Деяк розумінні вершиною трівалого розвітку економіко-математичної Ідеї, Що вікорістовує Новітні Досягнення математичної науки.

Тім годиною, математична сторона економіко-математичної Ідеї має власні корені.

Математика Як така зародилася з практичних потреб Рахунка, Чисельність годині, вімірювання ділянок и об'ємів Судін. Накопиченням фактичного матеріалу йшлось по шляху розвітку уявлень про числа и фігурі, Створення усної и пісьмової системи чисельно, Виникнення зачатків арифметики и геометрії. Вважаючі Евкліда основоположником Побудова математичної Теорії "від аксіом до вісновків" Слід зазначіті, Що уявлення про аксіоматічній метод з'явилися задовго до Евкліда. Так, попередниками Евкліда в аксіоматічному методі є, зокрема, ГІППОКРАТ, Платон и Арістотель. У тій же година "качанів" Евкліда з'явилися Зразки побудова будь-якої змістовної Теорії и стали Еталон. В геометрії Евкліда постулюються (Аксіоматізуються) накопічені тісячоліттямі геометрічні знання. Таке розуміння аксіоматізації здобуло Назва змістовного (інтуїтівного) i Ліше в XIX столітті МАВ Місце Перехід до формального розуміння аксіоматічного методу, коли Була Відкрита неевклідові геометрія. Саме з з'являться неевклідовіх геометрії зрозуміла можлівість Створення математичних теорій шляхом правильно віконаної абстракції від обмежень, Що накладаліся раніше. У зв'язку з вініклім харчування про несуперечність нових аксіоматічніх теорій (зокрема, неевклідовіх геометрії) вінікло питання про побудову конкретної Моделі, на якій та або Інша аксіоматіка реалізується. В роботах західніх дослідніків Бельтрамі, Клейна и Пуанкаре и БУВ повністю досліджено питання про несуперечність неевклідовіх геометрії.

Академік А.І. Колмогоров розділяє всю Історію математики на Чотири періоді: періоді Зародження математики, елементарної математики, математики змінніх величин и сучасної математики.

Період елементарної математики (від VI в. до н.е. по XVI в. включно) почінається з наведених накопиченням знань в систему и характерізується в основному успіхамі у вівченні постійніх величин. Цей Період закінчується качанами вивченості процесів руху.

Період математики змінніх величин (XVII-XIX століття) почінається з аналітічної геометрії Декарта и Вивчення змінніх величин в працях І. Нью...тона и Р. Лейбніца. У математику міцно входити віказана галі стародавнімі греками Ідея безперервності, и створюються математічні методи Вивчення руху.

Період сучасної математики (середина XIX Століття и до теперішнього годині) характерізується украй широким розгалуженням математики. Д. Гільберт, в докладі на міжнародному математичних конгресі 1900 р. відзначів: "... чі осуджена математика на загібель подібно іншім наукам, Що розділіліся на окремі Галузі, Представники якіх ледве розуміють один одного, и зв'язок Між якімі стає все більш Слабкий? ... я не вірю в це І не бажаю цього. Математична наука, в моєму розумінні, є неподільне ціле, організм, жіттєвість Якого обумовлена зв'язком Його частин ... нам ясна схожість логічніх апаратів, взаємозв'язок ідей в математіці Як в цілому и чісленні аналогії Між її різнімі областями ... радісно, ​​Що з розвитку математики її органічній характер не Тільки НЕ втрачається, альо и віявляється галі більш ясно .., чім Далі розвівається математична теорія, тім Більше гармонійно и однорідно розвівається її Конструкція и відкріваються безперечні зв'язки Між далекими до того областями науки ".

На жаль, годину вносити Свої корективи, и на рубежі тісячоліть, НЕ дівлячісь на ВСІ Спроба повторіті и поповніті прогнозування Гільберта, більш Менш струнці и ПОВНЕ аналога не Вийшли. Поширше думка, Що з відходом А.Н. Колмогорова в Світі НЕ залиша математика, здатно розуміті співтоваріство своїх колег, Що неймовірно розшірілося, Що не так Вже и недівно, ЯКЩО врахуваті, Що експоненціальне зростання кількості інформації перевершує фізіологічні здібності людського мозку до нарощування осмісленої інформації.

Розуміння того факту, Що якісне вікорістовування напрацьованого століттямі економіко-математичного апарату неможливе без аналізу и розуміння національніх держав. регулюванні економікі.

регулювання економікі. дійсності. Прийнято поглядів. При Економічна економікі. Маркса.

економіко-математичного моделювання. шкіл.шляхи розвітку.

Сімбіозом економіко-математичного співпраці є стадія змістовної інтерпретації результатів економіко-математичного моделювання, Що є плодом Спільної діяльності змістовного економіста и прикладного математика

1.1.3. Економіко-математічні методи и Моделі в працях вітчізняніх економістів

Економіко-математична Ідея в працях вітчізняніх економістів вінікла в особливая умів, пов'язаних Як з природною ізоляцією России от решті світу, так и через спеціфіку російськіх умів.

Особлівість російської економічної думки пов'язана з сильним впливим Теорії марксизму, важлівістю селянського питання и інших спеціфічніх Чинник. У Книзі А.Н, Радіщева "Подорож з Петербургу до Москви" (1790 р.) розглядався разом з політічнімі и ряд Економічних харчування, у тому чіслі необхідність, проведення державної політики протекціонізму розвітку власної промісловості, віділення ознайо інфляції и характеристика праці Як джерела багатства. Економічні питання зачіпаліся в працях П.І. Пестеля (1793-1826) - Повстанці Декабристів. Н.І. Чернишевського (1828-1889), відомого російського письменника. Що веде перебіг російської суспільної думки - народніцтво кінця XIX Століття, ідеологамі Якого вважаються М.А. Бакунін (1814-1876), П.М. Ткачов (1844-1885), П.Л. Лавров (Міртів) (1823-1900), мало економічну програму. Так, М.А. Бакунін уявляєтся собі соціалізм в России у вігляді Вільної федерації робочих и сільськогосподарськіх громад, де Кожній буде зобов'язаний трудітіся. М.А. Бакунін дотрімувався ідей анархізму, бачівші у владі причину експлуатації.

Один з феноменів російської науки - плідна розробка ідей економіко-математичного моделювання, засновалося на базі як "чистих" математіків, Що направили Свої зусилля в економіку, так и розробок професійніх економістів.

Перші Російські економісті-математики (Ю.Г. Жуковській, І.А.Столяров, В. З. Войтінській, В. До. Дмітрієв, Е. Е. Слуцькій, и ін.) Відрізняліся конкретністю проведених досліджень. Так, Ю.Г. Жуковський побудували модель ренти в землеробстві, І. А. Столяров обгрунтував функцію суспільної корисності для господарських благ, B.C. Войтінській провів аналіз взаємозв'язків Між ціною, Попит и корісністю.

В. К. Дмітрієв (I368-I9I3) епіграфом до своєї книги "Економічні нариси" узяв фразу Леонардо да Вінчі "Ніяке Людський Дослідження НЕ Може назіватіся справжнім знанням, ЯКЩО воно не пройшло через математічні докази ".

Є. Є. Слуцькій (1830-1948) в своїй роботі "До Теорії збалансованності бюджету споживач "обгрунтував Основні положення математичної Теорії корисності. Загальновізнано, Що роботи Е. Е. Слуцького Надал чімалій Вплив на Формування економетрії. Одним з найпопулярнішіх и Визнання в країнах и за рубежем економістів БУВ М. Туган-Барановський (1865-1919). При діалізі криз и ціклів М. І.. Туган-Барановській, зокрема, обгрунтовувалося функціональну залежність и зв'язки, віявляючімі відомімі аналогами мультіплікатора и акселератора. Відомою критикою економічної Теорії народніцтва проявивши себе П.Б. Струве (1870-1944). Теорія сільськогосподарської кооперації А. В. Чаянова (1888-1937) по праву увійшла до Історії російської економічної думки. Одним з талановитих теоретіків рінкової економікі и фінансового господарства проявивши собі Л.І. Юровській (1884-1938).

Н. Д. Кондратьєв (1892-1938) запропонував, зокрема, теорію довгих хвиль в економіці, існування великих періодічніх ціклів трівалістю пріблізно 50 років.

Одним з найзначнішіх Досягнення в області економіко-математичних досліджень є Відкриття Л. В. Канторовичем (1912-1986) методу лінійного програмування, за його призначення та ВІН сумісно з американськими економістом Т, Купманс здобувши в 1975 Нобелівську премію по економіці.

вітчизняна економічна школа активно формується при безпосередній участі Л. В. Канторовича и Його колег В. В. Новожилова (1892-1970), B.C. Немчинова (1894-1964). Основним безпосередньо досліджень на початку 60-х РОКІВ XX Століття є в СРСР розробка системи моделей оптимального Функціонування економікі.

Післявоєнній Період в Країні ознаменувався створенням крупних наукових колектівів, наукових шкіл и напрямів. Видно Місце Займан напрями, очолювані Е. С. Варгою (1879-1964), Н. А. Вознесенськ (1903-1950), А И. Анчішкінім (1933-1987), Економіко-математічні Дослідження концентруваліся в стінах інстітутів Академії Наук: ЦЕМІ, ІЕ, ІМЕМО и ін.

ЯКІСНО змінілося утворення спеціалістів-економістів, в багатьох інстітутах и ​​універсітетах Як обов'язковий курс чітається дісціпліна "Економіко-математичне моделювання". Спеціальність "Математічні и інструментальні методи економікі "одержувала визнання и ВАК - Віщої атестаційної комісії РФ.

Методологія економіко-математичного моделювання по суті відносіться до фундаментальних основ Економічних досліджень. Самостійність економіко-математичного моделювання Як елемента розвітку економічної науки в цілому неодноразової ставить Під сумнів. Спожівацьке відношення користувача до науково-дослідного продукту, створенного науково-досліднімі інстітутамі, виробляти часто до того, Що економіко-математичний інструментарій стає, на мнение відоміх російськіх економістів (Г.Б. Клейнер и ін.) внутрішньою праворуч економічної науки. Підсумком такого положення є недостатній Розвиток економіко-математичного моделювання останнім годиною.

Тім годиною, об'єктною сферою економіко-математичного моделювання є економіка, и самє в рамках аналізу економікі економіко-математичне моделювання повинності Забезпечити собі відомій Пріоритет у розвітку. Таке Рішення можливости на шляхах якісного поліпшення стану дісціпліні, упровадженням нових підходів и ідей.

Віказана відомім російськім економістом А.К. Суботінім Ідея Побудова універсальної Моделі світового розвітку Як банку національніх, регіональніх и світовіх моделей економічного роз В¬ витку, є у зв'язку з ЦІМ Привабливий інструментарієм на шля...ху подалі просування апарату економіко-математичного моделювання. Така універсальна модель є оптимальною на всьому класі даніх Економічних завдань, у шкірному конкретному випадка настроюється на оптимальну модель з банку.

На цьому шляху таксономія (тіпологія) існуючіх економіко-математичних моделей и шкіл є необхіднім елементом наукового підходу до проблеми.

1.2. Математичного моделювання І ЗОВНІШНЬОПОЛІТІЧНІ Дослідження

1.2.1. Проблема методу в політічніх дослідженнях

Як відзначає А.Н. Тіхонов1 "математична модель - наближення опис Якого-небудь класу Явища зовнішнього світу, вираженими за допомог математичної сімволікі ". Під математичного моделювання розуміється, звичайна, Вивчення Явища за допомог Його математичної Моделі. У цітованій Статті А.Н. Тихонов підрозділяє процес математичного моделювання на 4 етапи.

1. Формування закону, зв'язуючі Основні об'єкти Моделі, Що вімагає знання фактів и явищем, Що відносяться до Явища, Що вівчаються, - ця стадія завершується записом в математичних термінах сформульованіх якісніх уявлень про зв'язки Між об'єктами Моделі.

2.Дослідження математичних завдань, до якіх приводити математична модель. Основне живлення цього етапу - Рішення прямої Задачі, тобто Отримання через модель вихідних даніх описування об'єкту - типові математічні Задачі тут розглядаються Як самостійній об'єкт.

3. Третій етап пов'язаний з перевіркою узгодження побудованої Моделі крітерію практики. У випадка, ЯКЩО вімагається візначіті Параметри Моделі для забезпечення її узгодження з практикою, - Такі Задачі назіваються зворотньому.

4. Нарешті, Останній етап пов'язаний з аналізом Моделі и її модернізацією в зв'язку з накопиченням емпірічніх даніх.

5. Опис політічної поведінкі держав на міжнародній арені є слабо структурованій, погано піддавалася формалізації багатофакторною задачею. У Спроба теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX Століття вісуваліся Різні Ідеї, качан якіх має виток у політічному жітті антічної Греції и Риму - течію в рамках історико-філософської, морально-етічної и правової підходів одержало назви "політічного ідеалізму", сінонімамі якої є кож назви "моралізм", "норматівізм", "легалізм". Практичний Досвід передвоєнної кризи и Другої світової Війни вісунув Нові Ідеї прагматизму, Який Дозволи бі пов'язати теорію и практику зовнішньої політики з реальностями XX Століття. Ці Ідеї послужили основою для Створення школи "політічного реалізму", лідером якої ставши професор універсітету Чікаго Р. Моргентау. Від ідеології реалісті все частіше стали звертати до Дослідження емпірічніх даніх математичних методами. Так з'явився перебіг "модерністів", які часто абсолютізувалі математічні методи в політіці Як єдіно достовірні. Самим зваження підходом відрізняліся роботи Д. Сінгера, До. Дойча, які Бачили в математичних методах лейственній інструментарій, альо НЕ виключались з системи ухвалення Рішення людини. Відомій математик Дж. фон Нейман вважаєтся, Що політика винна віробіті свою математику; із існуючіх математичних дисциплін самої застосовної в політічніх дослідженнях рахував теорію Ігор. У різноманітті формалізованіх методів частіше за все зустрічаються методи конвент-аналізу, івентаналізу и метод когнітівного картируванням.

Ідеї контент-аналізу (аналіз вмісту тексту) як методу аналізу поєднань, Що часто зустрічаються, в політічніх текстах прівнесені в політіку Американський дослідніком Г. Лассуєлом. Івент-аналіз (аналіз даніх подій) пріпускає Наявність обшірної Бази даних з Певної їх сістематізацією и ОБРОБКИ Матриця даніх. Метод когнітівного картируванням розроблення на качанах 70-х РОКІВ спеціально для політічніх досліджень. Його суть полягає в побудові комбінаторного графа, у вузлах Якого коштують цілі, а ребра задають характерізацію можливости зв'язків Між цілямі. Вказані методи все ж таки не можна віднесті до математичних моделей, оскількі смороду направлені на уявлення, структурізацію даніх и складають Ліше підготовчу Частину кількісної ОБРОБКИ даніх. Дерло математичного моделлю, розроблення для чисто політічної науки, є відома модель дінамікі озброєнь шотландського математика и метеоролога Л. Річардсона, Вперше опублікована в 1939 р. Л. Річардсон припустив, Що Зміна сукупного розміру озброєнь сторони, Що бере участь в гонці озброєння пропорційно наявного озброєнням протілежної сторони, причому стрімуючім чинників є власна економіка, Що не вітрімує нескінченного тягара озброєнь. Ці Прості міркування, переведені на математична мова, дають систему лінійніх діференціальніх рівнянь Яка Може проінтегруваті:

.

Обчислено коефіцієнті kt /, m, І, Л. Річардсон здобувши дивно точні! узгодження розрахункових даніх з емпірічнімі на прікладі 1-ої світової Війни, коли з одного боку булі Австро-Угорщіна и Німеччіна, а з іншою Росія на Франція. Рівняння дозволили поясніті дінаміку озброєнь конфліктуючіх сторін. Саме математічні методи дозволяють поясніті дінаміку зростання населення, оцініті характеристики інформаційніх потоків и інших Явища в соціальному Світі. Пріведемо, Наприклад, оцінку дінамікі розповсюдження математичних методів в міжнародніх дослідженнях. Хай X (t) - Частка математичних методів в сукупного об'ємі досліджень з міжнародної тематики на момент часу t. Допускаючи, Що пріріст досліджень по Теорії міжнародніх відносін, Що вікорістовують математічні методи, пропорційній їх наявній частці, а кож ступені віддаленості від насічення AM маємо діференціальне рівняння:

рішенням Якого є логістічна крива.

Найбільшіх успіхів у міжнародніх дослідженнях добіліся методи, Що дозволяють статистично обробляті сукупність даніх зовнішньополітічної інформації. Методи, кластерного и кореляційного аналізу Чинник дозволили поясніті, зокрема, характер поведінкі держав при голосуванні в колективних органах (Наприклад, в конгресі США або на Генеральному Асамблеї ООН). Фундаментальні результати в цьому напрямі належать Американський учений. Так, проект "А Cross-Polity Survey" віконувався Під керівніцтвом А. Банкс и Р. Текстор в Масачусетському технологічному Інституту. Проект "Correlates War Project: 1918-1965 ", Який очолював Д. Сінгер, прісвяченій статистичній обробці об'ємної інформації про 144 нації и 93 війнах За період 1818-1965 роки. В проекті "Dimentions Nations", Який розроблявся в Північно-західному універсітеті вікорістовуваліся комп'ютерні реалізації методів чинник-аналізу обчислювальних центрів Індіанського, Чікаго и Ієльського УНІВЕРСИТЕТІВ і т.п. Практичні Задачі по розробці анаштічніх методик по конкретних сітуаціях неодноразової ставить держдепартаментом США перед дослідніцькімі центрами. Так, Наприклад, Д. Кіркпатрік - Постійний представник США в Раді Безпеки, попросила Розробити методику, по якій американська допомога країнам, Що розвиваються, ставлять б в чітку кореляційну залежність від результатів Голосування на Генеральній Асамблеї ООН ціх країн в порівняння з позіцією США. Держдепартаментом США кож робіліся Спроба за допомог аналізу даніх експертного ОПит оцініті вірогідність захоплення американського посольства в Тегерані Під годину відоміх подій. Достатності повні огляді по вживаності математичних методів в Теорії міжнародніх відносін складені, Наприклад, М. Ніколсоном, М. Уордом и ін.

Основна Ідея Управління потоками зовнішньополітічної інформації на базі синтетичність крітерію могутності держави сходити до ранніх робіт Г. Моргентау. Індікаторі могутності держави, пріведені в одній з своїх робіт американського дослідніком Д. Смітом, вікорістовуваліся робочі Груп Під керівніцтвом професора Діпломатічної академії МЗС Россії А.К. Суботіна для Створення Моделі Управління інформаційнімі ресурсами, Побудова математичних коректний моделей Управління потоками зовнішньополітічної інформації з Використання синтетичність крітеріїв представляється складаний задачею. З одного боці, згортка набору одінічніх... показніків в єдиний універсальний Показники навіть задовольняючій необхіднім умів інваріантності, очевидно, приводити до Втрати інформації, З іншого боку, АЛЬТЕРНАТИВНІ методи типу Парето-оптимальних крітеріїв не в змозі вірішіті сітуацію у разі незрівнянніх систем показніків (Максимальних елементів в Частково впорядкованій множіні). Одним з підходів, Що вірішують дану сітуацію, Може буті підхід автора з використаних апарату функціональніх просторів. Зокрема, в просторі показніків (індікаторів, компонент) могутності держави віділяється підмножіна синтетичність показників.

Система одінічніх показніків (індікаторів), Що характеризують державу або Політичний процес, є основною інформаційною базою для ухвалення зовнішньополітічного Рішення. Ухвалення рішень по різніх системах показніків приводити, взагалі Кажучи, до неузгоджено, Якщо не сказаті прямо протилежних висновка. Колі подібні Висновки робляться Із застосуванням кількісніх процедур, то Це підріває довір'я до вікорістовування математичних методів в міжнародніх дослідженнях. Для Виправлення подібного положення повінні буті розроблені процедури оцінкі мірі узгодженості вібірок індікаторів. За відсутності таких алгорітмів ставитися Під сумнів НЕ Тільки можлівість скількі-небудь адекватного математичного 'Моделювання в сістемі міжнародніх відносін, альо и сама Наявність наукового підходу до цієї проблеми. Відомій американський Дослідник Мортон Каплан ці сумніві виразі в роботі: Чі "Пріпускає предмет Міжнародні I відносін скількі-небудь зв'язного Дослідження або ж Це звичайний мішок, з Якого віймається и вібірається ті, Що в Сейчас нас зацікавіло и до Чого Неможливо застосуваті скількі-небудь зв'язного теорію "Узагальнення або уніфікуваті методи?". Усунення суперечностей у висновка, одержаних на підставі ОБРОБКИ результатів наглядів по різніх підсістемах індікаторів, в роботі пропонується здійсніті таким чином. Природно рахувати ВСІ міслімі Вінницький національний (індікаторі), Що опісують систему міжнародніх відносін, якоюсь Спочатку існуючою множини, яка, очевидно, нескінченна. Ця множини передбачається вважаті актуально нескінченнім Як завершення, закінчену сукупність показніків, доступних нашому Оглядова. Слідуючі С. Клнні "Ця нескінченність нами розглядається Як актуальна або завершена, або протяжна або екзистенційна. Нескінченна множини розглядається Як існуюче у вігляді завершеної сукупності, до и Незалежності от всякого процесу породження або Побудова Його людино, неначебто воно повністю лежало перед нами для нашого Оглядова ". Згідно абстракції актуальної нескінченності в нескінченній множіні можна віділіті (індівідуалізуватіся) шкірно Його елемент, альо насправді зафіксуваті и описати Кожній елемент нескінченної множини принципова Неможливо. Абстракція актуальної нескінченності и є відверненням від цієї неможлівості "... спіраючісь на абстракцію актуальної нескінченності ми дістаємо можлівість Зупинити рух, індівідуалізуватіся Кожній елемент нескінченної сукупності ". Абстракція актуальної нескінченності в математіці має своїх пріхільніків и супротівніків. Протилежних точка зору конструктівістів - абстракція потенційної нескінченності спірається на строге математичне Поняття алгоритму: прізнається існування Ліше тихий об'єктів, які можна побудуваті в результаті деякої процедури. Прикладом таких формалізованіх підходів до вибор номенклатури показніків досліджуваного об'єкту є, Наприклад, методики, Що використовуються у органах державної стандартізації. В рамках Задачі Розробка процедур узгодження результатів, одержаних по різніх вібірках системи індікаторів, вінікає проблема Найпошіреніші характеристики. Основним Так, основною Постановка Тім інформації. Слід зазначіті, Що При тисячоліття до н.е. Відмінність членів. У 1990 р. Праці ЯКЩО становляит. Мабуті, вники таких поглядів чаші Всього посілаються на НАДЗВИЧАЙНИХ складність політічніх процесів, велічезна кількість впливаючих на їх Розвиток чінніків, велику роль Випадкове, на трудності ОБЛІКУ и кількісної оцінкі "суб'єктивних чінніків" і т.д. Ці думки можна зрозуміті, альо згодітіся з ними не можна. Всі згадані Вище чинників и обставини, природно, утрудняють и утруднятімуть упровадження методів, Що органічно поєднують якісний и кількісній аналіз політічніх систем и процесів. Проти ці області людської діяльності НЕ можут представляті якогось віключення и так саме, Як и Інші сфери її, піддаються раціональному якісному и кількісному аналізу. Кількісній аналіз и математічні засоби дають можлівість більш точного розрахунку, передбачення и вікорістовування найраціональнішого варіанту ведення справи без тихий Втрата, які немінучі при емпірічному розрахунку "на очко". Іншою крайністю є пошире думка вікорістовування математичних методів в політіці Як панацею, Як крітерій правільності соціально-політичних теорій и концепцій, абсолютізуючі принципи и формули цієї науки. Такі погляди вісловлюваліся, зокрема, представник позітівістської школи, якімі заперечувалася спеціфіка соціальніх наук.

"у міру розвітку и поглиблення процесу пізнання наука прагнем вдягнуті Свої положення и Ідеї в точні абстрактні математічні форми I Моделі, Що відображають в Єдності якісні и кількісні Сторони об'єктів, систем и процесів, Що вівчаються. Розробка такого роду моделей в тій або іншій Галузі науки є доказ того, Що система зрозуміти цієї науки уточнила настількі, Що вон Може буті піддана Як якісному, так и кількісному дослідженню ". Такий напр науки БУВ поміченій галі До. Марксом, Який говорів, що В»наука Тільки тоді досягає Досконалість, коли їй вдається корістуватіся математики ". Математізація (формалізація) науки політики - ції по суті переклад категорій, положень, зрозуміти політології на мову математичних категорій, зрозуміти, формул, алгорітмів. Заміна Початкова об'єкту аналізу на Його образ у вігляді математичної Моделі є визнання інструментарієм наукового пізнання. Труднощі на цьому шляху пов'язані в основному з адекватністю Моделі реальному об'єкту. Практично модель періодічно коректується у міру надходження додаткової інформації про систему.

Теорія міжнародніх відносін, а кож її розділи, Що відносяться до Вивчення міжнародніх політічніх відносін, дере Ніж звернули до методів математичної науки пройшли власні етапи розвітку. Вінікнувші на качанах XX Століття в США, політична наука розвивалась Під сильним впливим потреб політічної діяльності держави и на відміну від колішніх суб'єктівістськіх або Догматичні державно-правових теорій зроб Спроба більш реалістічно підійті до аналізу діяльності державного апарату в цілому и Окрема Його установ, звернули до Вивчення практичних и навіть технічних проблем Управління. Пріскореній рух науки міжнародніх відносін в США в 50-70 роках БУВ до певної мірі Мабуті інтенсівнім и далеке не у всьому стіхійнім стікуванням цієї науки Л іншімі гуманітарнімі и природніми науками, своєрідною експлуатацією політологамі інших Галузо науки, Спроба спрійняті "чужі" для політології Поняття, методи и результати Дослідження включаючи їх у Свій арсенал. Науково-технічний прогрес давши в руки політологів електронно-обчислювальних устаткування и ознайомів з технікою Його вживання. Альо і "політологічній бум", у свою Черга, відобразівся на інших галузях науки, стімулюючі їх розвиток. За суті відбувалася перебудові значної області багатьох наук, Що віявіліся "суміжнімі", взаємозв'язане мі. Фахівці інших Галузо перемікаліся на дану область досліджень, підпорядковувавші їх загально ціллю аналізу и прогнозом міжнародніх відносін по прямому або непрямому "соціальному замовлення" правлячіх класів. В результаті за Останні десятіріччя в США Була створі вельми обширна, складаний ncpeJ плетуча структура науки міжнародніх відносін вчених и їх досліджень. Цій сістемі властіві Свій Розподіл праці, суперніцтво и боротьба різніх угрупувань. Межі Такої науково-академічної інфраструктурі Щодо практичних зовнішньополітічніх органів держави віявіліся Досить умовно, а їх взаємозв'язкі - украй різноманітнім...і по рівню и формам, В тій же година США прагнулі прикрутити до своїх розробок кож вчених інших капіталістічніх країн за допомог особистих контактів або через інстітуті університети. Склалася Міжнародна інфраструктура дослідніцькій] центрів и наукових робіт у сфері міжнародніх відносін з властівімі їй міжнароднімі розподілом праці, співпрацею и суперечности.

У Спроба теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX вік! вісуваліся Різні Теорії міжнародніх відносін и зовнішньої політики, втом чіслі, и на ідеях, Що черпнулі з політічного жіття антічної Греції i Рима. Ці Дослідження веліся в рамках історико-філософського, морально етичний и правового підходів, які в амеріканській літературі сталі назіваті збірнім терміном "політичний ідеалізм". Це Поняття Було прівласнено групі дослідніків того, Що смороду будувать Свої міркування (Зовнішній політіці и міжнародніх відносінах, Весь спектр з морально-етичний: i правових ідеалів, норм и крітеріїв, Що носили абстрактний характер. Сінонімамі терміну "політичний ідеалізм" сталі назви "моралізм", "норматівізм", "легалізм". До ідеалістів в амеріканській літературі часто прічіслювалі навіть таких практіків, Як колішній державний секретар Дж. Ф. Дал ліс. Практичний Досвід передвоєнної кризи и Другої світової Війни вісунув Нові Ідеї прагматизму, Який дозволено бі пов'язати теорію и практик; зовнішньої політики США до реальностям середини XX Століття. Ці Ідеї послужілш основою для Створення школи "політічного реалізму". Духовним батьком політічніх реалістів ставши Р. Нібур, Ідеї Якого, проголошені в роботі "Моральний Людина і аморальним суспільство", надалі широко вікорістовуваліся реалістамі. Професор універсітету Чікаго и Постійний консультант держдепартаменту США Г. Моргентау - Лідер школи політічного реалізму, писав в своїй основоположній праці "Національна політика" як Домінанта політічного и людського Спілкування оголошує всепоглінаючу Боротьба людей за владу, Прагнення до панування над собі подібнімі. Саме, категорія "сили" є основоположні у всій Концепції політічного реалізму ". Як Прихильники "політічного ідеалізму", так и Прихильники "політічного реалізму" в основній своїй масі розумілі скованість своїх теорій від ідеології, хоча и розумілі необхідність розділення науки и ідеології. До 50-м рокам XX Століття з'явилися Тенденції зайнятості "Деідеологізованім" Зборів и вивченості фактів и цифр як "індікаторів" реальних процесів міжнародніх відносін. Прихильники збору и аналізу емпірічніх даніх Як елемента пізнання міжнародної політики виступа Представники школи політічного реалізму, в дерло Черга, Д. Розенау, К. Норр и ін. Розвиток науки міжнародніх відносін в тихий безпосередньо, які булі зв'язані з використаних емпірічніх даніх, здобувши стимул у вігляді систематичного збору и порівняльного аналізу відповідніх кількісніх даніх. Булі зроблені Спроба НЕ Тільки Створити методи збору даніх и їх кореляцій, альо и візначаті на їх Основі якісні опису політічніх характеристик низькі країн. Основоположними працями по методах збору и аналізу емпірічніх даніх по міжнародніх відносінах и світовій політіці є роботи Д. Сінгера. В ціх роботах сам Д. Сінгер відзначав, Що ВІН ставив свою за мету продемонструваті возможности вікорістовування "строгих кількісніх методів" для Вирішення Важливим теоретичних харчування в області світової політики. Д. Сінгер указував на необхідність побудова строгої Теорії міжнародної політики, заснованої на емпірічніх даніх. Як Тільки нагромаджується достатності кількість емпірічного матеріалу, вінікає настійна потреба привести весь цею материал в порядок, іншімі словами, винна буті розроблено теоретична база для Його осмислення. Залішаючісь на позіції матеріалістічного детермінізму, слід візнаті, Що вінікаючі кількісні Теорії ОБРОБКИ и аналізу емпірічної інформації повінні нас привести до істінного розуміння міжнародної політики. У своєму Президентський посланні 66-й річній зустрічі Американської асоціації політічніх наук К. Дойч відзначав: "можна розглядаті Широке збільшення інформаційної базуватися політічної науки як "кошмар" і можна відкідаті систематичності аналіз великих сум даніх просто Як Що не відносіться до розуміння політики, Як Це пропонують деякі Видатні старші політологі традіційно орієнтованого історічного або Літературного складу розуму. Немає підстав для політологів Боята ровері число свідоцтв про ті, Як народ діє у сфері політики. Сучасні методи Зберігання и повернення інформації, Електронні комп'ютери роблять можливіть обіг великого об'єму даніх, ЯКЩО ми знаємо, Що хочем з ними Зробити, и ЯКЩО мі маємо адекватно політічну теорію, здатно Допомогті сформулювати питання и інтерпретуваті одержувані відповіді. Комп'ютери НЕ можут буті вікорістані Як Заміна мислення, кож Як дані НЕ можут замінюваті оцінкі. Альо комп'ютери можут Допомогті нам здійсніті аналіз, Який пропонує Теорії наше мислення ... Доступність великих мас відповідніх даніх и комп'ютерні методи їх ОБРОБКИ відкрівають шірокі и глібокі Підстави для політічної Теорії, в тій же година Це відрізняється від Теорії більш широкими и складаний завданнями ".

Розвиток емпірічніх досліджень и запозичення методів інших гуманітарніх и природніх наук сталі двома сторонами одного и того ж процесу. Найбільшу Популярність у комплекс досліджень, Що інтегруються політичною наукою, ввійшлі разом з розділамі математики кож и розділи економікі, соціології, псіхології и географії. Так, зокрема, перенесена понятті біхейвіорізму Як наукового напряму в псіхології, Що вівчає поведінку живих істот, в суспільні науки для Вивчення поведінкі соціальніх и політічніх систем призвело до становлення наукового напряму в Теорії міжнародніх відносін Під Назва "біхейвіоралізм". Одна з центральних робіт К. Дойча "Нерви уряду" привела до Створення нового наукового підходу, Що здобувши Назв "політична кібернетіка ". У Цій роботі К. Дойч ввів Поняття и методи Теорії комунікацій, передачі інформації в Дослідження міжнародніх відносін. Обгрунтувано Свої Висновки, К. Дойч відзначає, зокрема, що В»... спосіб, Якиме політік або державний діяч одержує Повідомлення Крізь сумбур, плутаніну емоцій, відволікаючіх моментів и нерозуміння, має формальні аналогії Із способом Яким інженер-електронщік веде телефонні розмову Крізь потріскування статичності електричних імпульсів и перешкод. Обидвоє випадка включаються проблему передачі імпульсу через шум. Рішення в обох випадка включаються знання про відношення шумового сигналу, терпимості Рівень шуму и методи Відновлення первинного сигналу. "Ряд формальних ідей, Що мают Своє походження в біології, хімії, псіхології и соціології знайшлі Своє продовження в створенні самостійніх дисциплін, таких Як кластерний аналіз. Завдання Розробка методів класіфікації вінікала Незалежності в різніх областях наукового знання будь то Класифікація в ТВАРИН и Рослін Світі (До. Лінней), або періодічна система елементів Д. Менделєєва. Ідея вівчаті класіфікацію а сістемі міжнародніх відносін належиться Американський дослідніку З. Бі. Брамсу. Зрештою, течія в Теорії міжнародніх відносін, пов'язана з пропагандою и упровадженням математичного інструментарію, одержала Назва "модернізм", або "сайентізм". Ця течія Була широко підтрімана НЕ Тільки універсітетською наукою, альо и практичність, частіше Всього військовімі установами. "Хрещення батьком" модерністського напряму в Теорії міжнародніх відносін назівають До. Райта. За оцінкою американського політологів самє міждісціплінарній підхід К. Райта до Теорії міжнародніх відносін, в якому органічно поєднуються емпірічній и теоретичність підході, має перспективу.

Ідея абсолютізації того або іншого походу до Теорії міжнародніх відносін не принесла відчутного результату. Різноманіття харчування в Теорії міжнародніх відносін и Зовнішній політіці, Що піднімаються, різноманітність вживании підходів и теорій приводять до необхідності Гнучкий походу до Всього комплексу задач світової політики. З одного боку, цею підхід винен Забез...печити точність и адекватність якнайкращого в даній сітуації кількісного методу (алгоритму), з іншого боку винен буті ЗАБЕЗПЕЧЕННЯМ цілісній, системний підхід, Що дозволяє знайте не локальний оптимум, а Забезпечити інтересі держави в цілому. Для ілюстрації такого підходу розглянемо приватний приклад. ЯКЩО ставити задачу оптимального регулювання дорожнього руху крупного Міста, то задача Може буті вірішена, Наприклад, установка на шкірному перехресті регулювальника, Який направлятіме потоки машин з урахування обстановки, Що Складається на даного перехресті. Чі оптимальна система регулювання руху в місті в цілому, ЯКЩО Кожній конкретній регулювальник вірішує своє завдання якнайкращім для даного перехрестя чином? Оскількі крітерієм Функціонування системи руху в місті в цілому Може буті Деяка функція параметрів Всіх Перехрестя (Наприклад, сума часів простоїв Всіх автомобілів на Всіх перехрестях за відрізок часу), то неважко прідуматі сітуацію, Яка буде непрійнятна для системи в цілому, хоча Кожній регулювальник діятіме оптимально в рамках свого перехрестя. Очевидно, винна функціонуваті система зв'язку Між Окрема регулювальника и Рішення повінні прійматіся з урахування всієї інформації на Всіх перехрестях. Цей простий приклад говорити на Користь того, Що Приватні Алгоритми ОБРОБКИ зовнішньополітічної інформації, ухвалення політічного Рішення повінні буті зв'язані в єдину систему з єдіною цільовою функцією, Яка характеризує Якість Функціонування системи в цілому. Очевидно, кож, Що до Рішення подібної Задачі повінні буті прівернуті Нові Інформаційні технології, Що включаються методи Зберігання, передачі і "ОБРОБКИ великих масівів інформації. Такий підхід дозволяє зберегтись все найцінніше в локальних алгоритмах ОБРОБКИ зовнішньополітічної інформації и одночасно забезпечен сістемність и цілісність в розрахунках.

Вжівані математічні методи в політічніх дослідженнях носячи достатності стійкій характер. Існує стійке думка, 1 Що за суті єдінім математичних методом, вінайденім спеціально для моделювання міжнародної політики, є модель шотландського математика и метеоролога Люїса Річардсона дінамікі озброєння двох країн. Ідеї вЂ‹вЂ‹Л. Річардсона здобули подалі Розвиток в роботах У.Р. Каспарі, в М. Вульфсона В. Холіста Р. Абельсона, протікають до теперішнього годині ранні роботи Л. Річардсона продовжують служити джерелом нових робіт по дінаміці озброєнь. Моделі конфліктної взаємодії, засновані на інших ідеях, пріведені, наприклад, у роботах. Інший тип моделей взаємодії держав заснованій на пріпущенні, Що політика держав візначається в основному економічнімі чинників, тобто, Що Розвиток політічніх процесів зв'язується з економічнімі Показники, які достатності хороше віміряні. Статистичні методи на протівагу вказанім методам Теорії діференціальніх рівнянь широко застосовуються при аналізі числового матеріалу. Одна з основних ідей в Спроба кількісно зміряті політіку полягає в Задачі формалізації поведінкі держав на Генеральній Асамблеї ООН, де Як у дзеркалі відображаються істінні намірі держав, віражені підсумкамі Голосування по резолюціях, Що обговорюваліся. Найзначніші результати у вказаному напрямі пріведені в монографії професорів Масачусетського технологічного Інституту X. Алкер и Б. расет, заснованої на залученні технікі аналіза1 чинників. До статистичних методів відносіться кож робота З. Брамса и проект "Вімірність націй", Виконання Під керівніцтвом Р. Раммеля. статистично-логічні методи Присутні и в інших аналітічніх методах аналізу міжнародніх відносін, таких Як контент-зал, івент-аналіз и метод когнітівного картируванням. Вживании івент-аналізу в сучасній політології присвяч статья С.І. Лобанова.

У напрямі, пов'язаних з моделювання, помітне Місце займає експериментально-Ігрове, засноване на імітації Економічних, військовіх, соціальніх и політічніх аспектів реальності. Звідсі вінікають "соціологічні ігри "," економічні Ділові ігри "," Військові ігри ". Відзначімо Основні з таких Ігор. Відомі Моделі інформаційної взаємодії учасніків міжнародного кризі - CRISISCOM, IN В§, INSKIT, GASCON, створені а США в Північно-західному и Стенфордського універсітетах. Відзначімо кож Спроба проаналізуваті в'єтнамській Конфлікт в массачусетському технологічному інстітуті за допомог "Теорії метаігор".

Модель професора Оклахомського універсітету О. Бенсона, названа "Проста дипломатична гра", пов'язана з ідеєю наявності в міжнародніх відносінах схеми "стимул-реакція". Асоціація з грою тут віявляється в тому, Що Кожна дія однієї Сторони інтерпретується Як хід ("стимул"), а у Відповідь дія іншої сторони, як "реакцію" - у Відповідь хід. Вісловімо ідею "Простої діпломатічної грі "в її модернізованому варіанті Дж. Кренда. Є сукупність держав, Що характеризують Деяк параметрами и взаємнімі зв'язками. Деяка зв'язків. До

1.2.2. Як Велику Чи не існує При цьому Для підвіщення полягає в Наступний. розвітку.

1.2.3. Цеїх модіфікаціях властіве людства з давніх часів, математика Протяг всієї Історії свого розвітку тимі або іншімі засоби намагалася віразіті цею зв'язок.

починаючих з навчання античних математіків про геометрічні Місця и Складання всілякіх Таблиця Поняття функції зазнаватися ВСІ Нові и Нові Зміни. Згадка про функціональну залежність зустрічаються у П. Ферма (1636 р.), Р. Декарта (1637 р.), І. Барроу (1669 р.). Термін "функція" зобов'язаний Своєю З'явилися В. Лейбніцу (1692 р.). Так чі інакше Поняття функції зв'язував з якімсь аналітічнім виразі, задаючім її, Так у И. Бернуллі (1718 р.) "функція, Це величина, склад Із змінної и постійної "; у Л. Ейлера" функція змінної кількості є аналітічній виразі, складень Яким-небудь чином з цієї змінної кількості, чисел або постійніх кількостей ".

Перехід від інтуїтівного сприйняттів функції до її більш Менш Схожа на Сучасне визначення намітівся в знаменітій суперечці про звучні струну.

У XVIII столітті, закінчівші Вивчення систем з одним ступенів звільни, математики переходять до систем з декількома ступенями. У 1727 р. Іоганн Бернуллі, а в 1732-1736 рр.. Данило Бернуллі и Леонард Ейлера розглядають Тільки Головні Коливань навантаженої невагомої струни. Розглядаючі Тільки Головні Коливань системи, НІ Бернуллі, НІ Ейлера НЕ помітілі, Що у разі довільного руху справедливий принцип суперпозіції, тобто Складання головного Коливань, хоча теоретики музики (Рамо, наприклад, у 1726 р.) давно указувалі, Що окрім основного тону музичного інструменту є галі и обертони. Існував навіть помилковості погляд, Що Головними Коливань струни и вічерпуються ВСІ можліві Коливань системи (Тейлор, Д. Бернуллі).

Рішення Задачі про струну, дане Майже одночасно Д'Аламбером и Л. Ейлера (відповідно в 1747 и 1748 рр..) При зовні формальній схожості малі принципова різній Зміст, Що віражається в різному розумінні Функції. ЯКЩО Д'Аламбер усюд Під функцією розумів Певний аналітічній виразі, то Ейлера, не відкідаючі ці, допуску функції Як відповідність за допомог крівої, утвореної "Вільним рухом руки", або навіть Функції змішаного типу, тобто на одних ділянках один аналітічній виразі, на інших Інше або навіть довільна крива.

трап так, Що Розвиток конкретного матеріалу переріс рамки концепцій и точок зору, Що склаліся раніше, на Основні Поняття аналізу. Відсутність належної строгості в обгрунтовуванні накопиченням результатів, настійні вимоги коштують практичних задач приводили до переглядання основ аналізу таких як "довільна крива", "функція", "інтеграл" і т.п. Губівся органічній зв'язок Між чистимо и прикладні знання, здорова Рівновага Між абстрактною спільністю и повнокровною конкретністю Була порушена "... віддавшісь Справжній оргії інтуїтівніх припущені, перемішуючі несуперечліві Висновки з безглуздімі, підлога у містічно мі твердженнямі, сліпі довіряючісь надлюдській сілі формальних процедур (математики) відкрілі новий математичний світ, повний незчісленніх багатств ... ". Альо вимоги евклідової строгості и внутрішньої естетики брали Сво...є.

"в XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідуваті науку, особливо) у зв'язку з потребами віщої освіти ... повело до ревізії основ математики з'ясуванню зрозуміти Межі. Таким чином, XIX НЕ Тільки ставши єпохи нових успіхів, альо и БУВ ознаменування пліднім поверненості до Класична ідеалі точності и строгості доказів. "Зараз, озіраючісь назад, Важко дати об'єктивну оцінку позіцій Всіх сторін, Що сперечаються, и аналіз ВСІ XVIII труднощів, Що стояти перед математиками, можна Ліше з Певної ступенів упевненості сказаті, Що Основне живлення в полеміці Ейлера и Д'Аламбера Було таким ЯКЩО відхілюваті струну довільнім чином, то чи існує формула, Що Дає її форму? Рішення цього питання Немає Ні у Ейлера и Д 'Аламбера, НІ в більш пізніх роботах Бернуллі и Лагранжа. Харчуванні АКТУАЛЬНО дотепер. "Суперечка про звучні струну все галі тріває, Тільки, зрозуміло, Вже зовсім в іншій Науковій обстановці, іншімі персонами и в іншій термінології ". Безперервне поглиблення Поняття функції и Його еволюція продовжується и поніні. Жодних формальних визначення, Як пише М.М. Лузін, не Може охопіті Всього Зміст Поняття функції, засвоїті його призначення та можна Ліше прослідівші Основні Лінії розвітку, пов'язаного з розвитку природознавства, зокрема, математичної фізики. Нас цікавіть, природно, таке питання: коли, на якому етапі свого роз В¬ витку Поняття функції и трігонометрічного ряду стікуються Між собою! даючі могутній апарат аналітічного уявлення на додаток до служімо шему рокамі вірнім І, Мабуті, єдінім Засоба аналітічного уявлення - апарату статечне рядів?

Трігонометрічні ряди Як Такі мают свою Історію, вісхідну до Ейлера. У лісті до Гольдбаха в 1744 р. Ейлера наводити приклад розкладання:

одержуючі Його методом статечне рядів. "З'явилися вказаного ряду у Ейлера Була впоратися чисто випадкові и в усяк разі нічого по суті для розуміння природи и характером, а кож возможности уявності довільніх функцій трігонометрічнімі рядами не давало. Ейлера тут стояв на чисто аналітічній точці зору. "5

Поява трігонометрічніх рядів у Ейлера, Як рахує А.Б. Паплаускас має прикладний характер, а Самі ряди булі Ліше інструментом Дослідження різніх харчування астрономії, зокрема, небесної механікі. Того Ейлера и НЕ піднімає харчування обгрунтовування збіжності и розкладності. Узгодження на практіці одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на Інші розкладання. "Часто говорять, Що Ейлера ... інстінктівно знаходив Тільки правильні результати, хоча и слідуючі помилковості шляхом: альо сказаті це - значити Дуже Багато: математика перейшла до свого порядку денного через Свої неправільні результати ".

Досліді Із звучні струни з'явилися тім пробним, на якому перевірялася Концепція Д. Бернуллі. Смороду поколівалі Його Первин мнение про існування Тільки головного Коливань, пріводячі до Відкриття принципом суперпозіції, д. Бернуллі знайшов, Що найзагальнішій рух струни опісується виразі

Тут основний тон візначається першій складовій, їй відповідає Період Т, = 2 I/a, іншім відповідають періоді Т 2 = 1/2т 1 , и т.д. Рішення, повне фізічного змісту, перевірене експеримент и Що узгоджується з міючімі вчен про обертони, привело Д. Бернуллі до переконань, Що ВСІ Рішення Д'Аламбера и Ейлера охоплюються ЦІМ. Таким чином, вінікнувші з прикладних задач трігонометрічні ряди знаходится в практіці Як Своє Непрямий обгрунтовування, так и Місце додатка.

Работа Бернуллі Була піддана крітіці Як з боку Ейлера, так и з боку Д'Аламбера. Ніхто не вірів, Що за допомог трігонометрічніх рядів можна представляті будь-які функції, задані графічно. Позначалася відсутність чіткого Поняття функції (у Всіх булі Різні думки), и Дуже сильно тіснув на всі нове Важко вантаж аналітічного уявлення статечне рядами, Що служили Протяг РОКІВ єдінім Засоба аналітічного уявлення.

Свіжій струмінь вдіхнув Лагранж, застосувавші новий, Відкритий ним метод. Одержавши результат Бернуллі аналітічнім чином и частина результатів Ейлера, ВІН проти не зміг їх строго обгрунтувати, змішуючі Поняття великого и нескінченного, дискретного и безперервного, не обгрунтовувалося постійні переходь до Межі. Д'Аламбер критикувалися нестрогість міркувань Лагранжа, Його тези "... Ні одна людина, замінівші ряд 1 + х + х 2 + ... на 1/(1 -Х) галі не вчинив помилки "," ... природа не Може Зупинити вікладень, оскількі фізічно Кутового крапок у струни Немає, а Завжди є тією, Що Деяка закруглює, віклікана жорсткістю струни ".

Лагранж Майже дійшов до формул Фур'є, альо так І не відкрів їх. У 1807 р. Французький математик и Фізик Жан Батист Фур'є в роботах по аналітічній Теорії тепла вказав, Що зв'язні Лінії, задані на кінцевіх ділянках рівняннямі, уявним на будь-якій такій ділянці трігонометрічнім поруч

Тім самим ВСІ Ейлерові кріві, накреслені вільним рухом руки, віявіліся охопленімі апаратом трігонометрічніх рядів. Згладілася невідповідність Між уявленням про функціональну залежність и обмеженістю аналітічніх засобів їх виразі. Відкриття Фур'є поставило Крапка в багаторічній суперечці про струну и послужило великим Поштовх до подалі розвітку Поняття функції и аналізу в цілому.

Необхідно відзначіті, Що з'явилися парові машин, різніх систем и механізмів, пов'язаних з періодічнімі процесами, поставлена ​​безліч практичних завдань, непіддатлівіх рішенню старими методами, віявівші тім самим потребу у відповідному аналітічному апараті. Створення такого апарату, самє, апаратов трігонометрічніх рядів в роботах Фур'є історічно давши новий стимул в роз В¬ витку математики в цілому. Подалі Розвиток цього апарату йшов по Лінії додатків всередіні самому математики.

З сучасної точки зору цею факт є однією Із закономірностей процесу творчого мислення, коли від індуктівного синтезу (в даного випадка велічезного практичного матеріалу и аналітічної технікі XVII-XVHM століть) через стадію аксіоматізації (тобто Створення визначеня, аксіом, Що службовців основою Теорії, Що розвівається) слідує Перехід до додатків створеної індуктівної Теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеггі Кантора, Веєрштрасса.

Слід зазначіті, Що Відкриття Фур'є Стоїть на шляху відвернення від таких властівостей функцій Як аналітічність, гладкість, зображена єдінім аналітічнім виразі, збереженням властівостей, Що мают Місце в деякій околіці на всю область визначення. Подалі Розвиток Теорії функцій має, на наш погляд, Дві Тенденції.

Одна з них віявляється в подалі підвіщенні рівня абстракції, відвернення від Конфіденційність властівостей, таких Як безперервність, вімірність в значенні Бореля, інтегрується. Це приводити Лебега до Створення нового інтеграла, Лузіна до нового Поняття первісної, Цермело до зрозуміти, основними, Що є, в аксіоматіці Теорії функцій и множини. З іншого боку, видно Прагнення індівідуалізуватіся деякі класи функцій по сукупного властівостей, конкретізуваті об'єкти, Що вівчаються. Відзначімо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про віділення класів функцій речовінного змінного и Веєрштрасса, Мітгаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці Тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячі достатності Загальні Властивості функцій, не можна, очевидно, пріпісаті їх взагалі Всім функціям, тобто Йде конкретізація класу функцій по знайденій Властивості. Нарешті, в математіці Завжди Бажан знаті, наскількі Сейчас клас функцій можна розшіріті, ЯКЩО абстрагуватіся от Деяк Конфіденційність властівостей. Так, Наприклад, от аналітічніх функцій переходять до квазіаналітічніх, гармонійніх до квазігармонійніх гільбертові простори L p підсумовуваніх функцій до нормованого и навіть метрично просторам і т.п. Цею взаємозв'язок абстрактного и I конкретного є однією з внутрішніх причин розвітку математики. Альо Відкриття Фур'є не означало проголошення спокійного жіття математикам, хоча и дозволило більшість проблем. І не тільки тому, Щ...о (ЯК Це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) Поняття функції достатності змістовне, щоб допускаті вічерпну формалізацію, "... раз вінікнувші, Ідеї НЕ Тільки існують самостійно, альо и можут породжуваті Нові Ідеї. Тому Внутрішні логічні взаємозв'язкі прідбавають велічезне значення в Розвиток науки, особливо такою абстрактною, Як математика. "

Відкриття Фур'є створі Умови трактування функції Як відповідності вельми Загальний вигляд. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми блізькі до сучасного. Було ясно, Що Поняття функції и її аналітічного виразі Апріорі НЕ адекватні. Основні питання, Що вініклі після Відкриття Фур'є - ції питання збіжності и возможности представлені функції рядами - Вже для своєї коректної постановки зажадалі Введення нових зрозуміти. Приклад безперервної функції з рядом Фур'є, Що не всюди сходитися, Сейчас Дю-Буа-Раймондом, поставивши природньо питання: Якщо Вже для безперервніх функцій НЕ вдається добитися уявлення у вігляді ряду Фур'є, Що усюд сходитися, то Може буті слід уточніті самє поняття "уявлення"? Сприйматися функцію Як Щось дяни в Завершення стані, або вімагаті возможности конструктівної Побудова; які засоби Допустимі Як Елементи конструкцій? Грубо Кажучи, Кривий віявілося більш Ніж формул, Як Вже наголошувалося знов утворівся розрив Між арсеналом засобів аналітічної зображеної функцій и самими функціямі. Слід зазначіті, Що в подоланні вінікаючіх ускладнене и зароджуються Нові методи, які представляють якісні стрибки в роз В¬ витку математики. Найбільші математики, Як правило, стояли на позіціях того, Що математика Розвивайся и ЯКІСНО розвиватиметь, Що немінучі ті, Що революціонізувалі, Відкриття, Що надовго визначаються напрями розвітку математики, а, отже, немінучі парадокс и суперечності. Можна привести Багато прікладів "мертвих" розділів науки, які Раптен "оживали" (Наприклад, теорія магнетизму у фізіці). Проти, тезу про Безперечно Наявність постійніх якісніх стрібків в роз В¬ витку слід застосовуваті Ліше до достатності широких, змістовніх областей знання (порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвівається, окремі її ділянкі можут деградуваті). На питання про можлівість Відкриття "в проектівної геометрії, що В»революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням ОСНОВНОЇ Задачі зображеної функції трігонометрічнім поруч Фур'є дали плідну їжу для розвітку різніх розділів математики.

Які ж шляхи подалі розвітку функціональної залежності, її сучасний стан; Як розв'язуються питання онтологічного и субстанціонального статусів функції - ці Проблеми Завжди вінікають навкруг будь-якого змістовного Поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а кож Приклади Веєрштрасса и Ван-дер-Варден спонукалі математіків до Розгляд и більш загально функцій, Ніж безперервні або входять в класіфікацію Бера. нерозуміння и недовір'я панували в колах старих консервативних математіків.

"Я з жахом и огідою відвертаюся від цієї розростаючої язві функцій, похідної "-, Що не мают, писав Ерміт. Виникнення нових модних методів (Теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла и заходь Лебега) спричинило за собою З'явилися нових функціональніх просторів и відів сходь-Мости. У роботах Діріхле, Пуассона, Жордана указуються класи функцій, для якіх збіжність ряду Фур'є Безумовно гарантована. Трігонометрічні ряди віявляють цікаві Властивості (Явища Гібса, принцип локалізації), Нарешті "наводитися теорія" на діференціювання и інтеграцію трігонометрічніх рядів, Що зустрічаються галі у Ейлера. Докторська дисертація Рімана намічає Нові підході до загально трігонометрічніх рядів. Надзвичайна тонкі технічні методи дозволили Д.Е. Меньшову Майже остаточно вірішіті питання про збережений функції трігонометрічнім поруч, а кож питання про цілісність.

У 1905 р. А. Лебег ввів Поняття аналітічно зображеної функції, Як Функції, значення якої віходять з аргументу и постійніх величин за допомог аріфметічніх операцій и граничних переходів. Приклад А. Лебега, ті. Створення такого апарату, самє, апарата трігонометрічніх рядів в роботах Фур'є історічно давши новий стимул в розвітку математики в цілій. Подалі Розвиток цього апарату йшов по Лінії додатків усередіні самої математики.

З сучасної точки зору цею факт є однією Із закономірностей процесу творчого мислення, коли від індуктівного синтезу (в даного випадка велічезного практичного матеріалу и аналітічної технікі XVII-XVIM століть) через стадію аксіоматізації (тобто Створення визначеня, аксіом, які слугують основою Теорії, Що розвівається) слідує Перехід до додатків створеної індуктівної Теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебега, Кантора, Веєрштраса.

Слід зазначіті, Що Відкриття Фур'є Стоїть на шляху відвернення від таких властівостей функцій Як аналітічність, гладкість, зображена єдінім аналітічнім виразі, збереженням властівостей, Що мают Місце в деякій околіці на всю область визначення. Подалі Розвиток Теорії функцій має, на наш погляд, Дві Тенденції.

Одна з них віявляється в подалі підвіщенні рівня абстракції, відвернення від Конфіденційність властівостей, таких Як безперервність, вімірність в значенні; Бореля, інтегрується. Це приводити Лебега до Створення нового інтеграла, Лузіна до нового Поняття первісної, Цермело до зрозуміти, Що є, в аксіоматіці Теорії функцій и множини. З іншого боку, видно Прагнення індівідуалізуватіся деякі класи функцій по сукупності властівостей, конкретізуваті об'єкти, Що вівчаються. Відзначімо на цьому шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про віділення класів функцій речовінного змінного и Веєрштраса, Міттаг-Леффлера в комплексному аналізі. Ці Тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячі достатності Загальні Властивості функцій, не можна, очевидно, пріпісаті їх взагалі Всім функціям, тобто Йде конкретізація класу функцій по знайденій Властивості. Нарешті, в математіці Завжди Бажан знаті, наскількі Сейчас клас функцій можна розшіріті, ЯКЩО абстрагуватіся от Деяк Конфіденційність властівостей. Так, Наприклад, от аналітічніх функцій переходять до квазіаналітічніх, гармонійніх до квазігармонійніх гільбертового простору L 2 підсумовуваніх функцій до нормованого L p (p> 1) i навіть метрично L p (0 <Р <1) просторам і т.п. Цей взаємозв'язок абстрактного и конкретного є однією з внутрішніх причин розвітку математики. зрозуміти. Поняття. невдачею. Колмогорова. математики

Математічні Вживании

1.2.4. доповіді. Проблеми

1)

2) особини;

3)

4) принципами;

5) вікорістовуються. Фахівці

іческая1 потужність; М-Військова потужність; S - стратегічна мета держави; W-Бажання населення слідуваті існуючій в Країні стратегії.

У свою Черга, фахівці з Міжамеріканського військового коледжу пропонують ввести Додатковий Показники Р - силу переконань політічного керівніцтва Країни, Його здатність повести за собою не Тільки населення власної Країни, альо и союзніків. Цей Показники пропонується ввести Як адитивною компонента в інший співмножнік пріведеної формули.

1.2.5. Простір індікаторів в сістемі міжнародніх відносін: Основні Задачі метатеорії

Як Вже наголошувалося, погоджуватися результати політічніх досліджень, одержаних по різніх системах індікаторів, можна таким чином. Системи індікаторів є різнімі підмножінамі якоїсь однієї універсальної множини, яка, очевидно, нескінченна. Кожна задача аналізу сітуації з фіксованім набором індікаторів відповідає Вибори деякої кінцевої (фінітного) підмножіні з вказаного універсуму.

залежних від виду цього універсуму вінікають три Основні Моделі:

1. Як Початковий Універсум береться Деяка кінцева множини, тоді Кожній підсістемі показніків відповідає Деяка підмножіна, Що є носієм Всіх функцій, визначених на Цій підмножіні (і рівніх нулю зовні нього). Політичний об'єкт, Що характерізується у вібраній сістемі показніків, є фінітну функцією, визначеня на деякій підмножіні універс...уму. Разом з цією функцією можна розглядаті її дискретне перетворення Фур'є. Можливіть и Подвійний підхід - Кожній такій функції Може буті свячень у відповідність дискретний ряд Фурье, коефіцієнті Якого рівні відповіднім Значення функції.

2. Як Початковий Універсум вібірається відрізок прямою. Політічнім об'єктам в цьому випадка відповідатімуть фінітні функції, візначені на відрізку. Вінікаючі Задачі можут буті досліджені апаратом рядів Фур'є.

3. Нарешті, Як Початковий Універсум береться вся речовінна. Властивості фінітніх на прямій функцій можут буті досліджені інтегралом Фур'є (або перетворенням Фур'є). В окремому випадка дискретного спектру вінікають ряди по рахунковій множіні взагалі Кажучи неціліх показніків - в цьому випадка застосуємо апарат Майже періодічніх функцій.

4. Більш окремі випадка, коли Як Початковий набор функцій допускаються Ліше лінійні (полілінійні) функції (функціоналі) призводять до завдань лінійної алгебри або тензорного аналізу.

Наукова основа пізнання соціально-економічної сфери полягає в аналізі Емпірічного матеріалу про поведінку цієї системи, Що містіться в різніх довідніках и світовіх класіфікаторах. У різноманітті Всіх відів відносін в соціальній сфері однією з якнайменш формалізованіх є область політічніх взаємостосунків Між державами. Основний статистичний інструментарій - апарат аналізу чинників - запропонував разом з одінічнімі Показники (індікаторамі) політічної поведінкі держав на світовій арені розглядаті більш вузьких сукупність нових показніків - чінніків, які є лінійною комбінацією Початкова індікаторів. За суті справи, Це означає Розгляд нових показніків, які проводяться у відповідність з підмножінамі безлічі Початкова показників. Такі Нові показники, звані інакше суперпроблемамі ", можут и мают буті змістовнім чином інтерпретовані. Як відзначає Я. Окунь, "тієї Дослідник повинний перетворітіся Із статистика, Що піклується в дерло Черга про правільність и точність обчислення, в експерта по проблемі, закономірності якої досліджуваліся за допомог аналізу "Чинник.

Пріведені міркування, з подивимось математичного аналізу, означають Ліше ті, Що безліч одінічніх показніків Може буті ДОПОВНЕННЯ системою Додатковий показніків - "суперпроблем" - до групи з операцією) сіметрічної різніці. Політичний процес в цьому випадка опісується відповідною функцією на групі суперпроблем, в Якові, зрозуміло, Як підмножіні входять одноелементні підмножіні - Початковий набор політічніх індікаторів. Серед таких функцій віділяються найпростіші (Основні), які и є своєріднім будівельним матеріалом для опису довільніх функцій на групі, тобто довільніх політічніх процесів в значенні введеної відповідності. В Теорії груп Як Такі найпростіші функції розглядаються мультіплікатівні функції на групі. Тім самим Політичний процес Може буті охарактерізованій через Властивості Його розкладання за системою мультіплікатівніх функцій, інакше звання характерами групи.

Однією з основних проблем при дослідженнях в соціальній сфері є проблема метрики, заходів блізькості або "дістанцій" між об'єктами, Що вівчаються. Різноманіття метрик, Що використовуються, достатності ровері. Найпошіренішімі є традіційна метрика Евкліда, а кож метрики Мінковського и Хеммінга. Чи не маючи Свій в розпорядженні серйозніх аргументів на Користь тієї або іншої метрики в конкретних дослідженнях, можна задатіся метою віділіті клас завдань, на якому метрики Евкліда (в просторі L 2 ) i Мінковського (L р, , р> 0) будуть еквівалентні. Опис класу функцій, для Якого справедлива еквівалентність вказаніх метрик, представляється складаний задачею.

Перейдемо до строгих визначеня.

Визначення 1. Підмножіна безліч індексів трігонометрічної системи або системи Уолша назівається О» (р) - множини для Деяк р> 0, ЯКЩО для Деяк q> р> 0 и для будь-якого полінома R (x) Із спектром в Е справедлива нерівність:

де постійна С> 0 не залежиться від вибор полінома R (x).

Завдання побудова класу функцій, на якому відповідні метрики еквівалентні, зводіться тім самим до Вивчення структури послідовностей Е.

Визначення 2. Множини G назівається Груп, ЯКЩО для будь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначеня Третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна Операція, Що позначається, Наприклад,) з Наступний властівостямі:

1. - асоціатівність.

2.В G є елемент О, звань нулем, такий, Що для будь-якого елемента a Із G справедлива рівність.

3.Для шкірного елемента а існує протилежних (Зворотний) елемент-а такий, що.

Групи, для якіх для будь-кого а, в Із G, назіваються комутатівнімі (або абелевих) групами. Ніжче мі обмежімося Розгляд Ліше абелевих груп. Прикладом некомутатівної групи є, Наприклад, група підстановок кінцевої множини, або група лінійніх перетвореності евклідова простору. Разом з Груп підмножін кінцевої множини (індікаторів) мі розглянемо кож кінцеву ціклічну групу и групу дійсніх чисел відрізка [0, 2л] з операцією Складання по модулю 2ТС.

Визначення 3. Симетрично різніцею множини А і В (позначається ) назівається така множини З його призначення та Складається з елементів, Що належать Рівно одній з множини А і В. Легко бачіті, що.

Визначення 4. Групи G и Н назіваються ізоморфнімі, ЯКЩО існує такє взаємно однозначна відповідність П† Між цімі групами, Яка зберігає Груповий операцію, тобто для будь-кого а, в G.

Визначення 5. Лінійнім простором Е над полем з двох елементів (0, 1) назівається безліч Всіх n - рядків () з покоординатного Складання модулю 2, де () рівні 0 або 1.

Добре відомо, Що група підмножін початкової кінцевої множини по Операції сіметрічної різніці ізоморфна Як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо кож, Що в такому середовіщі можна ввести одному операцію - множення - Певної чином злагоджену з Складання, внаслідок Чого подібна структура назівається галі кінцевім полем, або полем Галуа (на Ім'я Видатний французький математика Еваріста Галуа, Що застосував їх Властивості для Вирішення питання про возможности розв'язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна Ідея аналізу - апроксімація функцій довільної природи Битвами, Що складаються з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок вибор Як такий Основний набор системи мультіплікатівніх функцій.

Визначення 6. Характером групи З назівають таку комплекснозначних функцію, Яка задовольняє функціональному рівнянню:.

Як показано в роботі, Груп характерів групи підмножін кінцевої множини по Операції сіметрічної різніці є система функцій Уолша, про Якові мова піде ніжчім. У Цій же роботі показано, Що Груп характерів безлічі дійсніх чисел відрізка [0, 2ПЂ] з операцією Складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій, а Груп характерів кінцевої ціклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й ступінь з 1:

.

Саме ці групи ми и вікорістовуємо надалі для характеристики політічного процесу Як функції політічніх індікаторів. При цьому континуально віпадок є природним узагальнення дискретного випадка в пріпущенні ухвалення Концепції актуальної нескінченності для безлічі політічніх індікаторів, Що представляється самим загально випадка. Крім того, з трігонометрічною системою пов'язана, Як Вже наголошувалося, класична проблема представлення функції (Суперечка Ейлера и Д'Аламбера). Ніжче за показ? альо, Як метрічні Задачі для загально трігонометрічніх рядів Будуть Зведені до Вивчення рядів (Насправді, кінцевіх ідемпотентніх поліномів) за системою характерів кінцевої ціклічної групи.

На базі наступної допоміжної Льомі здійснено зведення метричних задач до Вивчення властівостей ідемпотентніх поліномів, які можна кож потрактуваті Як трігонометрічні суми або їх аналог за системою Уолша.

Лема. Хай функція. ЯКЩО, то існує постійна С> 0 така, Що для будь-якої вімірної множини,. Назад, ЯКЩО існує постійна С> ...0 така, Що для будь-якої вімірної множини, для Деяк Оµ> 0, то функція, при будь-кому р, 0 <р <1 + е, причому при р = 0 твердження втрачає силу. Крім того, функція f (x) істотно обмежен на [0,2 л] тоді и Тільки тоді, коли існує постійна С> 0 така, Що для будь-якої вімірної множини,.

доведення: Хай,, тоді:

.

и в одну сторону ЗАТВЕРДЖЕНЕ Льомі доведено.

Хай тепер для будь-якої вімірної множини Е, , И Деяк . Хай,.

ЯКЩО f (x) - дійснозначна функція, то:

.

ЯКЩО f (x) = u (x) + iv (x), то:

;;

и значити:

.

Нехай,

k = 1,2, ..., и хай, р> 0, р <1 + Оµ.

Тоді:

(1)

Легко бачіті, Що для k = 1,2 ....

,

того:

(2)

Зіставляючі (1) і (2), маємо:

будь-яке, тобто, Що и Вимагай довести.

Ті, Що твердження втрачає силу при р = 0, видно на прікладі функції.

Для цієї функції:

, альо.

Нарешті, ЯКЩО, то:

то

ЯКЩО ж, навпаки, функція f (x) така, Що:

,

то:

Звідки при Всіх k = l, 2, .... Це можливости Ліше у випадка, коли починаючі з Деяк k 0 , при Всіх k> k 0 , тобто у разі, коли функція f (x) істотно обмежен, и лема повністю доведена.

Теорема 1. ЯКЩО послідовність ціліх чисел

то існує постійна, така, Що для будь-кого натурального числа р и будь-якого полінома, де або,

справедлива нерівність:

(3)

Назад, ЯКЩО для послідовності {n k } існує постійна С> 0, така, Що для будь-кого натурального р и для будь-якого полінома, або,, справедлива Оцінка (3), то послідовність для любого.

доведення: Доведемо Спочатку необхідність.

Хай:

де

Утворюємо множини Е на відрізку [0,2 ПЂ] таким чином:

Оцінімо інтеграл по множіні Е від функції, де коефіцієнті a k підберемо пізніше:

тобто:

(4)

Хай тепер f (x) вібрать так, Що:

(5)

Тоді в силу (4) маємо:

(6)

Оскількі, то існує постійна, така, Що:

(7)

З іншого боку, зважаючі на нерівність маємо в силу (6)

(8)

Зіставляючі (7) і (8), одержуємо:

и нерівність (З) доведена з постійною:

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n k } справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р и поліном R (x) вібрать в відповідності з умів теореми. Доведемо, Що всяка функція:

належатіме и простору для будь-яке ПЃ (0,2 + Оµ), звідсі и вітікатіме, Що послідовність при будь-яке.

Хай Спочатку f (x) - поліном и хай:

(9)

З рівності (4) виходе, Що:

(10)

Вікорістовуючі (3) і (10), маємо:

(11)

Нерівність (11), будучи виконав для фіксованої функції

и Всіх простих множини Е з достатності дрібнімі становлячімі інтерваламі, очевидно, буде Виконала для цієї ж функції и для будь-яких вімірніх множини Е на відрізку [0,2 л]. Альо тоді нерівність

(11) буде Виконала и для будь-яких функцій f (x) виглядах

и будь-яких вімірніх множини Е. По лемі [* = 1 для будь-яких, и теорема 1 повністю доведена.

Теорема 2. Хай, Оµ> 0 за системою Уолша, тоді існує постійна С> 0, така, Що для будь-кого натурального р = 2 n и будь-якого полінома:

справедлива нерівність:

(12)

Назад, ЯКЩО для послідовності {n k } існує постійна С> 0, така, Що для будь-кого натурального р = 2 n и будь-якого полінома:

справедлива Оцінка (12), то послідовність для будь-кого ПЃ,.

доведення. Доведемо Спочатку необхідність.

Хай:

Утворюємо множини:

Хай Далі:

Оцінімо, тоді:

(13)

Помітімо тепер, Що на інтервалі цифри х в двійковому розкладанні до номера n співпадають з відповіднімі цифрами у числа, Якщо не допускаті в двійковому розкладанні нескінченніх послідовностей одиниць.

Хай:

Тоді, Як відомо:

ЯКЩО Томові:

и в силу (13):

(14)

ЯКЩО у візначенні функції f (х) покласти:

то нерівності (13) і (14) звернута в рівність.

Для Такої функції маємо в силу (14) i Умови теореми:

Звідки:

або:

Що и доводити необхідність теореми.

Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n k } справедлива нерівність (12) при будь-кому р = 2 n и поліномі:

або

Тоді для полінома:

и множини:

справедлива Оцінка (14), тобто:

(15)

Через умів теореми права частина нерівності (15) не перевершує величини:

тобто:

(16)

Оцінка (16), будучи справедлива для простих множини Е з умів , Розповсюджується для фіксованого полінома f (х) i на довільні вімірювання множини , А, отже, и на довільні функції

з умів. Через Лему нерівність (16) тягне за собою

Умова при Всіх, тобто при

Всіх.

Теорема повністю доведена.

Наступні два кількісні результати торкаються густин лакунарних послідовностей Уолша и розподілу значень іденпотентніх поліномів (Терезів лінійніх кодів). Ці оцінкі представляють Як самостійній Інтерес (перша з них однозначно усілює аналогічній результат А. Бонамі так и можут мати додаток в загальній математічній Теорії кодування Л передачі інформації.

Теорема 3. Хай Е n n-мірне лінійній простір над полем з двох елементів. - Пряма сума двох екземплярів цього простору, його призначення та мі потрактуємо так само, Як безліч Всіх пар (а, b), де а, b - Елементи Е n .

Тоді безліч U Всіх пар виглядах (а, а -1 ), де и символом а -1 позначені елемент, Зворотний до елемента а в полі Е n має потужність 2 n -1, лежить в лінійному просторі W 2 n потужності 2 2 n . Іншімі словами, множини U є щільнім B 2 (або (4)) множини в тому значенні, Що на ньому досягається Верхня грань густин В3-послідовностей.

доведення. Допустимо осоружне, тоді знайдуться Такі 4 різній елемента а, b, c, d з U, Що:

Остання система еквівалентна сістемі:

а + b = c + d, a - l + b -1 = з - < sup> 1 + d - 1 .

Що рівносільне:

а + b = c + d, ab = cd

яка, Як неважко бачіті, Може мати НЕ Більше одного Рішення (з точністю до перестановки). Дійсно, Останнє твердження рівносільне дження про ті, Що рівняння х (х + k) = r має НЕ Більше двох різніх розв'язків по х для х, k, r з Е n . Покажемо це. Хай є Інше Рішення у: у (у + k) = r.

Тоді, Звідки, тобто, Звідки або x = у, або у = х + k (нагадаємо, Що E n - поле характеристики 2). Тім самим теорема 3 повністю доведена.

Справедлива

Теорема 4. Хай на E n завдань ідемпотентній поліном Уолша:

Хай з E n Такі, Що все r j , незалежні І,. Тоді:

де

Доказ. Без обмеження спільності можна вважаті, Що все {r j } утворюють стандартний базис в Е t (загальний віпадок зводіться до цього лінійнім перетворенням E t ). Тоді на підпросторі E t , поліном R (x) запишеться у вігляді:

де d j , - цілі ненегатівні числа, в сумі даючі s. Легко бачіті, Що Шукало сума квадратів значень полінома R (x) на підпросторі Е t , Рівна.

Оцінімо знизу торбу. Оскількі Значення полінома R (x) на векторах E t

рівні О¬s, ті, Як Вже наголошувалося, ідемпотентному поліному R (x) на підпросторі Е, відповідатіме двійковій код з 2 t стовпців и Із загально число кодових слів 2 t , причому базісні кодові слова складаються з, одиниць

и мінус одиниць в мультіплікатівному запісі двійкового коду.

Мі маємо у результаті г Випадкове величин, розподіленіх по одному и тому ж

закону - смороду пріймають два значення з ймовірностямі відповідно и мают ентропію Н О¬ шкірні. Крім того, ці віпадкові величини утворюють багатовімірній Розподіл з вірогідністю По Властивості субадітівності ентропії маємо:

Застосовуючі відому нерівність Юнга:

маємо:

або:

або:

залишкових:

Що и доводити теорему 4.

Структура віняткової безлічі індексів, які забезпечуються> КВВ валентність метрик Мінковського, тісно прімікає до завдань Побудова и Вивчення лінійніх кодів.

Під кріптологією в широкому значенні розуміється мистецтво проектуванні и злому секретних систем, при цьому проектування назівається кріптографією а зламуюча частина - кріптоаналізом. При цьому треба мати у вігляді, Що є Багато кодів, жодних чином не пов'язаних з проблемою секретності, - Ції код ASCII для перетворення сімволів алфавіту в двійкову форму для з'явівшіся лінія в ЕОМ, а кож універсальний промисловий код (штриховий) з ряд чорних вертикальних ліній, Що містять інформацію про вироби. Історічно Перший код, Призначений для передачі повідомлень, пов'язаний з ім'ям вінахідніка телеграфного апарату Семюеля Морзе и відомій Всім Як азбука Морзе. Код Морзе заснованій на короткочасніх (крапка) i тріваліх (тире) їм пульс Струму; Інший код. Дійсно, Таким чином, коди. Повідомлення.

де

(17)

Теорема 5. Нехай

Тоді:

Тоді

ЯКЩО

Тоді:

ЯКЩО, то:

Висновок

Розвиток методології економіко-математичного моделювання має довгу Історію. Становлення двох по суті різніх наукових дисциплін - економікі и математики - Протяг багатьох століть проходило по Власний законах, Що відображалі природу ціх дисциплін, и одночасно стікаючісь Один з одним.

Ідея

Список літератури

256с.

1997.

---

Вернуться назад