Використання інтегралів в економіці

Зміст

Розділ 1. Теоретичні Відомості про візначній інтеграл .................................... 5

1.1 Задачі, Що призвели до Поняття визначеного інтеграла ........................... 5

1.2 Означення визначеного інтеграла та Його Зміст ................................... 7

1.3 Основні Властивості визначеного інтеграла ........................................ 9

1.4 Зв'язок Між визначеня та невизначенності інтеграламі ........................ 10

Розділ 2. Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці .......... 18

Список використаної літератури ............................................................. 34

Вступ

Інтеграл - Одне з найважлівішіх зрозуміти математики, Що вінікло у зв'язку з потребою, з однієї Сторони відшукуваті функції по їхніх похідніх (Наприклад, знаходіті функцію, Що віражає шлях, пройдений точкою, Що рухається, по швідкості цієї точки), а з іншого боку - вімірюваті площі, обсяг, довжина дуг, роботу сил за Певний проміжок часу й т.п.

Символ інтегралу Уведення Лейбніцем. Цей знак є зміною латинської букви S (Першої букви слова торба). Саме слово інтеграл придумавши Я. Бернуллі. Імовірно, воно походити від Латинська іntegero, Що переводитися Як приводити в колішній стан, відновлюваті. Можливіть походження слова інтеграл Інше: слово іnteger означає Цілий.

<p> Виникнення Завдання інтегрального вірахування пов'язане Зі знаходженням площ й обсягів. Ряд Завдання такого роду БУВ вірішеній математиками древньої Греції. Антична математика внесла Ідеї інтегрального вірахування в однозначно більшому ступені, чім діференціального вірахування. Більшу роль при рішенні таких Завдання гравер вічерпній метод, створеня Евдоксом Кнідськім и широко застосовувався Архімедом.

Однак Архімед НЕ віділів загально змісту інтеграційніх прійомів и зрозуміти про інтеграл, а тім Більше НЕ створі алгоритму інтегрального вірахування. Учені Середней ї близьким Відразу в ІX-XV ст. Вивчай ї переводили праці Архімеда на загальнодоступну у їхньому середовіщі арабською мову, альо істотно нових результатів в інтегральному вірахуванні смороду не здобули [2].

Діяльність європейськіх учених у цею годину Була галі більш скромною. Лише в XVІ ї XVІІ століттях Розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи Гірськолижний ряд нових Завдання, зокрема Завдання на знаходження квадратур (Завдання на обчислення площ фігур), кубатур (Завдання на обчислення обсягів тіл) i визначення центрів ваги.

Праці Архімеда, упершись відані в 1544 р. (На латінській и грецькій мовах), стали прівертаті широку Увага, и їхнє Вивчення з'явилося одним з найважлівішіх відправніх пунктів розвітку інтегрального вірахування. Архімед передбачена Багато ідей інтегрального вірахування. Альо треба Було Більше півторі тисяч РОКІВ, дере Ніж ці Ідеї знайшлі чітке вираженість ї булі доведені до рівня вірахування.

Математики 17 ст., Що здобули Багато нових результатів, учіліся на працях Архімеда. Активно застосовувався й Інший метод - метод неподільніх, котрой кож зародівся в Древній Греції. Наприклад, кріволінійну трапецію смороду уявляєтся собі складеної з вертикальних відрізків довжина f (x), Якиме протікають пріпісувалі площа, рівну нескінченно Малій велічіні f (x) dx. Відповідно до такого розуміння Шукало площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, Що окремі доданкі в Цій сумі - нулі, альо нулі особливого роду, які складені в нескінченному чіслі, дають ЦІЛКОМ позитивні торбу.

На такий гаданій тепер щонайменш сумнівній Основі І. Кеплер (1571 - 1630) у своїх творах "Нова Астрономія" (1609) і "Стереометрія вінніх бочок "(1615) правильно Обчислено низку площ (Наприклад площа фігурі, обмеженої еліпсом) i обсягів (Тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).

У 17 ст. булі зроблені Багато відкріттів, Що ставлять до інтегрального вірахування. Так, П. Ферма Вже в 1629 р. вірішів Завдання квадратури будь-якій крівій, и на Цій Основі вірішів ряд Завдання на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновка своїх знаменитих законів руху планет, ФАКТИЧНО опірався на ідею наближення інтегрування. І. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близьким підійшов до розуміння зв'язку інтегрування й діференціювання. Велике значення малі роботи з Подання функції у вігляді статечне рядів [6].

Однак при всій значімості результатів, отриманого з 17 ст., вірахування галі не Було. Необхідно Було віділіті Загальні Ідеї, Що лежати в Основі Рішення багатьох Конфіденційність Завдання, а кож Встановити зв'язок операцій діференціювання ї інтегрування, Що Дає Досить точний алгоритм. Це зроб Ньютон и Лейбніць, Що відкрілі Незалежності друг від друга факт, відомій вам за Назв формули Ньютона -Лейбніца. Тім самим остаточно оформівся загальний метод. Стояло галі навчітіся знаходіті первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового вірахування ї т.п. Альо головне Вже Було Зроблено: діференціальне ї інтегральне вірахування створене.

Методи математичного аналізу активно розвивалась в Наступний сторіччі (у дерло Черга Варто назваті ІМЕНА Л. Ейлера, Що завершило систематичне Дослідження інтегрування елементарних функцій, и І. Бернуллі).

Строгий викладу Теорії інтеграла з'явилося Тільки в минуло столітті, Рішення цього Завдання пов'язане з іменамі О. Коші, одного з найбільшіх математіків німецького вченого Б. Рімана (1826-1866), французький математика Г. Дарбу (1842-1917).

Відповіді на Багато харчування, пов'язані з існуванням площ ї обсягів фігур, булі Отримані Зі створенням К. Жорданом (1826 -1922) Теорії мірі.

Різні узагальнення Поняття інтеграла Вже на качанах 20 сторіччя булі запропоновані Французька математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974) Радянська математиком А. Я. Хічінім (1894-1959).

Об'єкт роботи - інтегральне вірахування. Предмет роботи - застосування інтегрального вірахування в економіці.

Задачі роботи: розглянуті Поняття визначеного інтегралу та Його застосування в економіці.

Розділ 1. Теоретичні Відомості про візначній інтеграл

1.1 Задачі, Що призвели до Поняття визначеного інтеграла

Розглянемо Дві Задачі - геометричність та фізічну.

1. Обчислення площі кріволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервно функція у = f (х) i будемо Поки Що вважаті, Що f (х) 0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, Обмеження кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, назівають кріволінійною трапецією. В окремому випадка Може f (а) = 0 або f (b) = 0 и тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї кріволінійної трапеції поділімо відрізок [а, b] довільнім чином на n частин точками

а = х0

довжина ціх частин

перпендикуляр до осі 0х, проведені Із точок ділення до Перетин Із кривою у = f (х), розділяють усю площе трапеції на n вузьких кріволінійніх трапецій. Замінімо Шкірні Із ціх трапецій прямокутник з основою та висотою, де. Площа шкірного такого прямокутник дорівнює

Сума площ усіх таких прямокутніків буде дорівнюваті

Таким чином, площа S кріволінійної трапеції набліжено дорівнює Цій сумі, тобто

Ця формула буде тім точнішою, чім менше величина.

Щоб здобудуть Точні формули для обчислення площі S кріволінійної трапеції, треба в Цій формулі перейти до границі, коли Тоді

(1)

2. Обчислення шляху, Який пройшла точка. Нехай потрібно візначіті шлях S, Який пройшла матеріальна точка, Що рухається в одному напрямі Із змінною швідкістю V (t) за годину від t0 до T [3].

Поділімо проміжок часу T-t0 на n частин: О”t1, О”t2, ..., О”tn.

Позначімо через довільній момент годині Із проміжку О”tk..., а значення швідкості у Цій точці позначімо

.

Точка, Що рухається з постійною швідкістю Vk на проміжку годині О”tk, проходити за цею годину шлях а за годину T - t0 вон пройде шлях

Будемо вважаті, Що шлях S, пройдений точкою, набліжено дорівнює Цій сумі. Колі О”tk в†’ 0, тоді змінна швідкість на проміжку О”tk мало відрізняється від постійної Vk. Того дійсне Значення шляху, пройденого точкою за годину T - t0 буде дорівнюваті границі цієї суми при max О”tk в†’ 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводіться завдання про роботу змінної сили, Що направлена ​​по прямій Лінії - траєкторії руху точки, до якої приклада ця сила та Інші Задачі.

1.2 Означення визначеного інтеграла та Його Зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цею відрізок на n частин точками ділення а = х0

У шкірному проміжку [xk-1, xk] довжина

О”хk = хk-хk-1

оберемо довільну точку и обчіслімо відповідне Значення функції.

Побудуємо суму Якові назівають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а, b].

Означення 1. ЯКЩО існує скінченна границя інтегральної суми при, незалежна від способу ділення відрізка [а, b] на ЧАСТИНА та добору точок, то ця границя назівається визначеня інтегралом від функції f (х) на відрізку [а, b] и позначається

математичного Це Означення можна запісаті так:

(3)

Відмітімо, Що числа а та b назівають нижніх та верхніх межами, відповідно.

Згідно з ЦІМ Означення рівності (1) та (2) тепер можна запісаті у вігляді

(4)

тобто площа кріволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою Із змінною швідкістю V = f (T) віражаються визначеня інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднено. Альо Такої перевіркі робіті НЕ треба того, Що вікорістовують таку відому теорему [1].

Теорема 1. ЯКЩО функція f (х) неперервно на відрізку [а, b] або обмежен и має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3 Основні Властивості визначеного інтеграла

Із Означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граніш випливають слідуючі Властивості.

Постійний множнік можна віносіті за знак визначеного інтеграла, тобто ЯКЩО А - стала, то

визначеня інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від шкірного доданку, тобто

ЯКЩО поміняті місцямі межи інтегрування, то визначеня інтеграл змінює Свій знак на протилежних, тобто

визначеня інтеграл з рівнімі межами дорівнює нулю, тобто

для будь-якої функції f (х).

ЯКЩО f (х) (х), х [а, b], то

ЯКЩО m та M - Найбільше та найменшого Значення функції f (х) на відрізку [a, b], то

де

1.4 Зв'язок Між визначеня та невизначенності інтеграламі

Означення 2. Визначеня інтеграл з постійною нижніх межею та змінною верхніх межею назівають інтегралом Із змінною верхніх межею.

Щоб мати звичних позначені, змінну верхню межу позначімо через х, а змінну інтегрування - T.

одержимість інтеграл Який є функцієюх, тобто Ф (х) =

Теорема 2. ЯКЩО f (х) неперервно функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній Верхній Межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої Межі, тобто

(5)

доведення. Надамо аргументу х пріріст О”х, тоді функція Ф (х) одержує пріріст, Який згідно з властівістю 8 визначеного інтеграла можна запісаті у вігляді

До последнего інтеграла застосуємо властівість 7, тоді

де

Згідно з Означення похідної маємо

Що й треба Було довести.

Теорема 3. Визначеня інтеграл від неперервної функції дорівнює різніці значення будь-якої її первісної для верхньої та ніжньої меж інтегрування, тобто ЯКЩО F (x) є Первісна функції f (х), то має Місце рівність ь

(6)

Яки назівається формулою Ньютона-Лейбніца.

доведення. Нехай F (x) Деяка Первісна функції f (х). За теореми 2 кож Первісна для f (х). Альо Дві первісні функції f (х) відрізняються Ліше на Постійний доданок С. Тому

(7)

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має Місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді

Отже,

ЯКЩО у Цій рівності покласти х = b, то одержимо

Змінюючі змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), Що й треба Було довести.

Відмітімо, Що різніцю позначають часто так:

F (x), тобто F (x) =

Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна запісаті у вігляді

Ця формула вказує НЕ Тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначенності, альо ї спосіб обчислення.

ЯКЩО проінтегруваті обідві Частина рівності

d [u (x) В· v (x)] = v (x) du (x) + u (x) dv (x)

в межах від а до b, то одержимо

Звідсі одержуємо Важливим формулу інтегрування Частина визначеного інтеграла.

(8)

Приклад 2. Обчісліті інтеграл xcosxdx.

Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx, тоді знаходимо du = dx, (взята Первісна без сталої С). Застосовуючі до заданого інтеграла формулу (8), одержимо

Теорема 4. Нехай задано інтеграл, де f (х) неперервно на відрізку [А, b]. Зробимо підстановку х = (t), аtГџ, де (t) неперервно діференційована функція на відрізку [, Гџ].

ЯКЩО: при зміні t від до Гџ змінна х змінюється від а до b, тобто (а) = а, (Гџ) = b; складаний функція f [(t)] визначена и неперервно на відрізку [, Гџ], тоді має Місце рівність

(9)

доведення. Нехай F (x) Деяка Первісна для функції f (х), тобто F '(X) = f (х). Розглянемо Складаний функцію F [(t)]. Застосовуючі правило діференціювання складної функції, одержимо

Це означає, Що функція F [(t)] є первісною для функції

Звідсі, за формулою Ньютона-Лейбніца и рівностей () = a та (Гџ) = b, одержуємо

Що й треба Було довести.

Приклад 3. Обчісліті

.

Розв'язування. Нехай t =, тоді t2 = 1 + хх = t2 - 1, dx = 2tdt. Знайдемо Межі інтегрування, вікорістовуючі рівність

Отже,

Для Деяк неперервно надінтегральніх функцій f (х) первісну не можна віразіті елементарних функціямі. У ціх випадка обчислення візначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе [4].

Крім того, у практічній діяльності часто Досить знаті Ліше наближення Значення визначеного інтеграла и знаходіті Це наближення Значення такими методами, які дозволяють вікорістовуваті сучасности обчислювальних техніку.

Тому математики багатьох країн розробляються ефектівні методи наближення обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто вікорістовують три методи - метод прямокутніків, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

ЯКЩО відрізок інтегрування [а, b] поділіті на n рівніх частин довжина

и позначіті через середню точку відрізку визначеня інтеграл можна обчісліті за формулою

(10)

Якові назівають формулою прямокутніків. Чім Більше буде n, тім менше буде крок

и права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

ЯКЩО поділіті відрізок інтегрування точками ділення

а = х0

на n рівніх частин довжина

i позначіті Значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначеня інтеграл можна обчісліті за формулою

(11)

Якові назівають формулою трапецій. Легко бачіті, Що при зростанні n крок

зменшується, тому значенн...ям інтеграла буде більш точним.

ЯКЩО відрізок інтегрування [а, b] поділіті на хлопця кількість рівніх частин (тобто n = 2m) i позначіті уk = f (xk), де xk = а + х В· k - точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначеня інтеграл можна обчісліті за формулою

(12)

Якові назівають формулою Сімпсона. Ця формула Дає більш точне значення визначеного інтеграла того, Що для її доведення вікорістовується метод парабол, за Яким на шкірному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

Розділ 2. Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці

Останнім годиною з'явилася велика кількість шкіл и класів, учні якіх вібірають економічні спеціальності Як своя подалі діяльність. Як правило, вчителі, Що Працюють у таких класах, дають учням більш глібокі знання по Звичайний темах шкільного курсом математики, найчастіше орієнтуючісь на прогрів для шкіл и класів з поглиблення вівчанням математики. Альо при такій організації навчання практично НЕ розглядаються економічні ДОДАТКИ тієї або іншої тими, мало годині пріділяється застосуванню математичного моделювання до Рішення Економічних Завдання. Чи не є віключенням и тема, присвяч застосуванню Певного інтеграла в інших областях знань.

Традіційно практичний додаток інтеграла ілюструється обчисления площ різніх фігур, знаходженням обсягів геометричних тіл и Деяк додатків у фізіці ї техніці. Однак роль інтеграла в моделюванні Економічних процесів НЕ розглядається. Найчастіше про економічні ДОДАТКИ інтеграла НЕ Йде мови й у класах економічного навпростець. Разом з тім, інтегральне вірахування має Багатий математичний апарат для моделювання й Дослідження процесів, Що відбуваються в економіці [4].

Зупинимо на декількох прикладах Використання інтегрального вірахування в економіці. Почнемо Із широко вікорістовуваного в рінковій економіці Поняття споживчого надлишки. Для цього введемо кілька Економічних зрозуміти и позначені.

Попит на Сейчас товар - сформована на Певний момент часу залежність Між ціною товару й обсягах Його покупки. Попит на окремому товар графічно зображується у вігляді крівої з негативним Нахил, Що відбіває взаємозв'язок Між ціною P одініці цього товару й кількістю товару Q, Що спожівачі готові купити при Кожній заданій ціні. Негативний Нахил крівої попиту має ОЧЕВИДНЕ Пояснення: чім дорожча товар, тім менше кількість товару, Що Покупець готові купити, и навпаки.

Аналогічно візначається ї Інше Ключове Поняття економічної Теорії - пропозиція товару: сформована на Певний момент часу залежність Між ціною товару й кількістю товару, пропонованого до продажу. Пропозиція окремого товару зображується графічно у вігляді крівої з позитивним Нахил, Що відбіває взаємозв'язок Між ціною одініці цього товару P и кількістю товару Q, Що спожівачі готові Продатися при Кожній ціні.

Відзначімо, Що економісті порахувалі Зручний зображуваті аргумент (ціну) по осі ординат, а перелогових змінну (кількість товару) по осі абсцис. Того графікі функцій попиту та Предложения віглядають у такий спосіб (Малюнок 1).

І, Нарешті, уведемо галі Одне Поняття, Що грає Більшу роль у моделюванні Економічних процесів - Ринкова Рівновага. Стан рівноваги характеризують Такі ціна ї кількість, при якіх обсягах попиту збігається з величиною Предложения, а графічно ринкова Рівновага зображується точкою перетінання Кривий попиту та Предложения (Малюнок 2), E * (p *; q *) - точка рівноваги.

Надалі для зручності аналізу ми будемо розглядаті НЕ залежність Q = f (P), а зворотні функції попиту та Предложения, Що характеризують залежність P = f (Q), тоді аргумент и Значення функції графічно Будуть зображуватіся звичних для нас чином.

Перейдемо надлишки.

Альо

Тоді

Далі на

де

- загальна

У результаті

Таким чином,

Q

Тому що

Таким чином,

Далі

Завдання 1.

Рішення.

Завдання 2.

Рішення. Для

Таким чином,

Запішемо функції

Звідсі

Завдання 3.

функцією

Рішення.

Вірішімо

Тоді

Подібно

Очевидно, Що

(2)

Розглянемо,

Рішення.

Підставімо

Мі

Однак

Припустимо, 10.

Таким чином,

Таким чином,

У загально

Розглянемо

Задача 5.

.

Рішення.

Для грн.

Отже,

Незважаючі

Розглянутій практіці.

Для

Дослідівші Більше доходами.

Висновок

Важко

Такікорістовуватіся в області фізики, геометрії, механікі, біології й економікі. Звичайний, Це галі далеко не вічерпній список наук, які вікорістають інтегральній метод для Поиск встановлюваної величини при рішенні конкретного Завдання, и встановленні теоретичних фактів.

такоже визначеня інтеграл вікорістається для Вивчення властіво самої математики. Наприклад, при рішенні діференціальніх рівнянь, які у свою Черга вносячи Свій незамінній Внесок у Рішення Завдання практичного змісту.

Можна сказаті, Що визначеня інтеграл - ції Деяк фундамент для Вивчення математики. Звідсі ї важлівість знання методів їхнього Рішення.

У даній роботі Була Зроблено Спроба Оглядова основних відомостей про визначеня інтеграл та Його застосування в такій сфері суспільного життя Як економіка.

Список використаної літератури

1. Баврін І.І. Вища математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Бермантт А.Ф., Арамановіч І.Г. Короткий курс математичного аналізу для вузів - М.: Наука, 1971. - 736 с.

3. Веріан Х.Р. Мікроекономіка. Проміжний рівень. Сучасний підхід. - М., ЮНІТІ, 1997.

4. Колесніков О.М. Короткий курс математики для економістів. - М., Инфра-М, 1998.

5. Математична енциклопедія. Ред. Виноградова. Т.2. - М.: Радянська енциклопедія, 1979.

6. Фихтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу. Т.1. - М.: Наука, 1968.