Главная > Физика > Теорія перколяції

Теорія перколяції


24-01-2012, 17:35. Разместил: tester6

Зміст

Введення

1. Теорія перколяції

2. Область застосування теорії перколяції

2.1 Процеси гелеутворення

2.2 Застосування теорії перколяції для опису магнітних фазових переходів

2.3 Застосування теорії перколяції до дослідження газочутливідатчиків з перколяційні структурою

Висновок

Список літератури


Введення

Теорії перколяції вже більше п'ятдесяти років. Щорічно на заходіпублікуються сотні статей, присвячених як теоретичним питанням перколяції,так і її додатків.

Теорія перколяції має справу з утворенням зв'язаних об'єктів внеупорядкованих середовищах. З точки зору математика, теорію перколяції слідвіднести до теорії ймовірності в графах. З точки зору фізика - перколяції - цегеометричний фазовий перехід. З точки зору програміста - найширше поледля розробки нових алгоритмів. З точки зору практика - простий, але потужнийінструмент, що дозволяє в єдиному підході вирішувати найрізноманітніші життєвізавдання.

Дана робота буде присвячена основним положенням теорії перколяції. Ярозгляну теоретичні основи перколяції, наведу приклади, що пояснюють явищеперколяції. Також буде розглянуто основні додатки теорії перколяції.


1. Теорія перколяції

Теорія перколяції (протікання) - теорія, що описує виникненнянескінченних зв'язних структур (кластерів), що складаються з окремих елементів.Представляючи середовище у вигляді дискретної решітки, сформулюємо два найпростіших типузадач. Можна вибірково випадковим чином фарбувати (відкривати) вузли решітки,вважаючи частку фарбованих вузлів основним незалежним параметром і вважаючи двафарбованих вузла належать одному кластеру, якщо їх можна з'єднатибезперервної ланцюжком сусідніх фарбованих вузлів.

Такі питання, як середнє число вузлів в кластері, розподілкластерів за розмірами, поява нескінченного кластера і частка входять до ньогофарбованих вузлів, становлять зміст задачі вузлів. Можна також вибірковофарбувати (відкривати) зв'язку між сусідніми вузлами і вважати, що одному кластеруналежать вузли, з'єднані ланцюжками відкритих зв'язків. Тоді ті ж саміпитання про середню числі вузлів в кластері і т.д. складають зміст завданнязв'язків. Коли всі вузли (або всі зв'язки) закриті, решітка є моделлюізолятора. Коли вони всі відкриті і по проводять зв'язків через відкриті вузлиможе йти струм, то грати моделює метал. При якомусь критичному значеннівідбудеться перколяційніперехід, що є геометричним аналогом переходу метал-ізолятор.

Теорія перколяції важлива саме в околиці переходу. Далеко відпереходу достатньо апроксимації ефективного середовища перколяційні перехіданалогічний фазового переходу другого роду.

Явище перколяції (або протікання середовища) визначається:

- Середовищем, в якій спостерігається це явище;

- Зовнішнім джерелом, який забезпечує протікання в цьому середовищі;

- Способом протікання середовища, який залежить від зовнішнього джерела.

В якості найпростішого прикладу можна розглянути модель протікання(Наприклад електричного пробою) в двовимірній квадратної решітці, що складається звузлів, які можуть бути провідними або непровідними. У початковий моментчасу всі вузли сітки є непровідними. З часом джерело замінюєнепровідні вузли на провідні, і число провідних вузлів поступово зростає.При цьому вузли заміщаються випадковим чином, тобто вибір будь-якого з вузлів длязаміщення є рівноймовірно для всієї поверхні решітки.

перколяції називають момент появи такого стану решітки, приякому існує хоча б один безперервний шлях через сусідні проводять вузливід одного до протилежного краю. Очевидно, що із зростанням числа провіднихвузлів, цей момент настане раніше, ніж уся поверхня решітки буде складатисявиключно з провідних вузлів.

Позначимо непроводящее і провідний стан вузлів нулями і одиницямивідповідно. У двовимірному випадку середовищі буде відповідати бінарнаматриця. Послідовність заміни нулів матриці на одиниці будевідповідати джерелу протікання.

У початковий момент часу матриця складається повністю з непровіднихелементів:

перколяції гелеутвореннягазочутливі кластер

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

При впливі зовнішнього джерела в матриці починають додаватисяпровідні елементи, проте спочатку їх недостатньо для перколяції:


0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

У міру збільшення числа провідних вузлів настає такий критичниймомент, коли відбувається перколяції, як показано нижче:

0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

Видно, що від лівої до правої межі останньої матриці є ланцюжокелементів, яка забезпечує протікання струму по проводять вузлам (одиницям),безперервно наступним один за одним.

перколяції може спостерігатися як в решітках, так і іншихгеометричних конструкціях, в тому числі безперервних, складаються з великоїчисла подібних елементів або безперервних областей відповідно, які можутьзнаходитися в одному з двох станів. Відповідні математичні моделіназиваються граткових або континуально.

Як приклад перколяції в безперервному середовищі може виступатипроходження рідини через об'ємний пористий зразок (наприклад, води черезгубку з пеноообразующего матеріалу), в якому відбувається поступовенадування бульбашок до тих пір, поки їх розмірів не стане достатньо дляпросочування рідини від одного краю зразка до іншого.

Індуктивно, поняття перколяції переноситься на будь-які конструкції абоматеріали, які називаються перколяційні середовищем, для якої повинен бутивизначено зовнішній джерело протікання, спосіб протікання і елементи (фрагменти)якої можуть перебувати в різних станах, одне з яких (первинне) незадовольняє даному способу проходження, а інше задовольняє. Спосібпротікання також передбачає собою певну послідовністьвиникнення елементів або зміна фрагментів середовища в потрібне для протіканнястан, який забезпечується джерелом. Джерело ж переводить поступовоелементи або фрагменти зразка з одного стану до іншого, поки не настанемомент перколяції.

Поріг протікання

Сукупність елементів, по яких відбувається протікання, називаєтьсяперколяційні кластером. Будучи за своєю природою зв'язковим випадковим графом, вЗалежно від конкретної реалізації він може мати різну форму. Томуприйнято характеризувати його загальний розмір. Порогом протікання називаєтьсякількість елементів перколяційного кластера, віднесене до загальної кількостіелементів розглянутої середовища.

Зважаючи випадкового характеру перемикань станів елементів середовища, вкінцевої системі чітко певного порогу (розміру критичного кластера) неіснує, а є так... звана критична область значень, в якупотрапляють значення порогу перколяції, отримані в результаті різнихвипадкових реалізацій. Зі збільшенням розмірів системи область звужується в точку.


2. Область застосування теорії перколяції

Застосування теорії перколяції великі й різноманітні. Важко назватиобласть, в якій би не застосовувалася теорія перколяції. Освіта гелів,стрибкова провідність у напівпровідниках, поширення епідемій, ядерніреакції, освіта галактичних структур, властивості пористих матеріалів - осьдалеко не повний перелік різноманітних додатків теорії перколяції. Чи непредставляється можливим дати скільки-небудь повний огляд робіт по додаткамтеорії перколяції, тому зупинимося на деяких з них.

2.1 Процесигелеутворення

Хоча саме процеси гелеутворення були першими завданнями, де бувзастосований перколяційні підхід, ця область ще далеко не вичерпана. Процесгелеутворення полягає в злитті молекул. Коли в системі виникаютьагрегати, що простягаються крізь всю системи, кажуть, що відбувся перехідзоль-гель. Зазвичай вважають, що система описується трьома параметрами -концентрацією молекул, ймовірністю утворення зв'язків між молекулами ітемпературою. Останній параметр впливає на ймовірність утворення зв'язків.Таким чином, процес гелеутворення можна розглядати як змішану задачутеорії перколяції. Вельми примітно, що цей підхід використовується і дляопису магнітних систем. Є цікаве напрямок для розвитку цьогопідходу. Завдання гелеутворення білка альбуміну має важливе значення длямедичної діагностики.

Є цікаве напрямок для розвитку цього підходу. Завданнягелеутворення білка альбуміну має важливе значення для медичноїдіагностики. Відомо, що молекули білка мають витягнуту форму. При переходірозчину білка в фазу гелю істотний вплив робить не тількитемпература, але і наявність домішок у розчині або на поверхні самого білка.Таким чином, в смешенной задачі теорії перколяції необхідно додаткововрахувати анізотропію молекул. У певному сенсі це зближує розглянутузадачу з задачею "голок" і завданням Накамури. Визначення порогаперколяції в змішаній задачі для анізотропних об'єктів - нова задача теоріїперколяції. Хоча для цілей медичної діагностики досить вирішити завдання дляоб'єктів одного типу, становить інтерес досліджувати задачу для випадківоб'єктів різної анізотропії і навіть різної форми.

2.2 Застосуваннятеорії перколяції для опису магнітних фазових переходів

Однією з особливостей сполук на основі тає перехід зантиферомагнітного в парамагнітний стан вже при незначному відхиленнівід стехіометрії. Зникнення далекого порядку відбувається при надлишковійконцентрації дірок в площині, в той же час ближнійантиферомагнітний порядок зберігається в широкій області концентрацій х аждо надпровідної фази.

На якісному рівні явище пояснюється наступним чином. Придопірованіі дірки з'являються на атомах кисню, що призводить до виникненняконкуруючого феромагнітного взаємодії між спинами і придушеннюантиферомагнетизму. Різкого зниження температури Нееля також сприяєрух дірки, що приводить до руйнування антиферомагнітного порядку.

З іншого боку, кількісні результати різко розходяться зізначеннями порогу протікання для квадратної решітки, в рамках якої вдаєтьсяописати фазовий перехід в ізоструктурних матеріалах. Постає завдання видозмінититеорію протікання таким чином, щоб у рамках описати фазовий перехід в шарі.

При описі шару вважається,що на кожний атом міді припадає одна локалізована дірка, тобто вважають,що всі атоми міді магнітні. Однак, результати зонних і кластерних розрахунківпоказують, що в недопірованном стані числа заповнення міді складають 0,5- 0,6, а для кисню - 0,1-0,2. На якісному рівні цей результат легкозрозуміти, аналізуючи результат точної діагоналізації гамільтоніана для кластера з періодичнимиграничними умовами. Основний стан кластера являє собоюсуперпозицію антиферомагнітного стану тастанів без антиферомагнітного впорядкування на атомах міді.

Можна вважати, що приблизно на половині атомів міді є по однійдірці, а на решті атомах є або ні однієї, або дві дірки.Альтернативна інтерпретація: лише половину часу дірка проводить на атомахміді. Антиферомагнітне упорядкування виникає в тому випадку, коли нанайближчих атомах міді є по одній дірці. Крім того, необхідно, щоб наатомі кисню між цими атомами міді або не було дірки, або було двідірки, щоб виключити виникнення феромагнітного взаємодії. При цьомуне має значення, розглядаємо ми миттєву конфігурацію дірок або одну абоскладових хвильової функції основного стану.

Використовуючи термінологію теорію протікання, будемо називати атоми міді зоднією діркою неблокірованнимі вузлами, а атоми кисню з однією діркоюрозірваними зв'язками. Перехід дальній феромагнітний порядок - ближнійферомагнітний порядок в цьому випадку буде відповідати порогу протікання,тобто появи стягивающего кластера - нескінченного ланцюжка неблокірованнихвузлів, з'єднаних розірвалися зв'язками.

Принаймні два моменти різко відрізняють завдання від стандартноїтеорії протікання: по-перше, стандартна теорія припускає наявність атомівдвох сортів, магнітних і немагнітних, ми ж маємо тільки атоми одного сорту(Міді), властивості яких змінюються залежно від локалізації дірки;по-друге, стандартна теорія вважає два вузли пов'язаними, якщо обидва вони неблоковані (магнітні) - задача вузлів, або, якщо зв'язок між ними нерозірвана - завдання зв'язків; в нашому ж випадку відбувається як блокування вузлів,так і розрив зв'язків.

Таким чином, задача зводиться до відшукання порогу протікання наквадратної решітці для комбінування завдання вузлів і зв'язків.

2.3 Застосування теорії перколяції додослідженню газочутливі датчиків з перколяційні структурою

В останні роки широке застосування в нанотехнології знаходять золь-гельпроцеси, які не є термодинамічно рівноважними. На всіх етапах золь-гельпроцесів протікають різноманітні реакції, що впливають на кінцевий склад іструктуру ксерогелі. На етапі синтезу та дозрівання золю виникають фрактальніагрегати, еволюція яких залежить від складу прекурсорів, їх концентрації,порядку змішування, значення pH середовища, температури і часу реакції, складуатмосфери і т. п. Продуктами золь-гель технології в мікроелектроніці, якправило, є шари, до яких висуваються вимоги гладкості,суцільності і однорідності по складу. Для газочутливі сенсорів новогопокоління більший інтерес представляють технологічні прийоми отриманняпористих нанокомпозитних шарів з керованими і відтворюваними розмірами пор.При цьому нанокомпозити повинні містити фазу для поліпшення адгезії і одну абобільше фаз напівпровідникових металлооксідов n-типу електропровідності длязабезпечення газочутливі. Принцип дії напівпровідникових газовихсенсорів на основі перколяційні структур металооксидних шарів (наприклад,діоксиду олова) полягає в зміні електрофізичних властивостей при адсорбціїзаряджених форм кисню і десорбції продуктів їх реакцій з молекуламивідновлюють газів. З уявлень фізики напівпровідників випливає, щоякщо поперечні розміри проводять гілок перколяційні нанокомпозитів будутьсумірні зі значенням характеристичної довжини дебаєвської екранування,газочутливі електронних датчиків зросте на декілька порядків.Однак накопичений авторами експериментальний матеріал свідчить про більшскладною природою виникнення ефекту різкого підвищення газочутливі.Різке зростання газочутливі може відбуватися на сітчастих структурах згеометричними розмірами гілок, в кілька разів перевершують значення довжиниекранування, і залежати від умов фракталообразованія.

Гілки сітчастих структур являють собою матрицю діоксиду кремнію(Або змішану матрицю діоксидів олова і кремнію) з включеними в неїкристалітами діоксиду олова (що підтверджується результатами моделювання),створюючими проводить стягуючий перколяційні кластер при вмісті SnO2 більше 50%. Таким чином, можна якіснопояснити підвищення значення порогу протікання за рахунок витрати част...ини змістуSnO2 в змішану непровідну фазу.Однак природа формування сітчастих структур видається більш складною.Численні експерименти з аналізу структури шарів методами АСМ поблизупередбачуваного значення порогу перколяційного переходу не дозволили отриматидостовірних документальних підтверджень еволюції системи з утвореннямвеликих пір по закономірностям перколяційні моделей. Іншими словами, моделізростання фрактальних агрегатів в системі SnO2 -SnO2 якісно описують тількипочаткові стадії еволюції золю.

У структурах з ієрархією пір протікають складні процесиадсорбції-десорбції, перезарядки поверхневих станів, релаксаційніявища на границях зерен і пор, каталіз на поверхні шарів і в областіконтактів та ін Прості модельні уявлення в рамках моделей Ленгмюра іБрунауера - Еммета - Теллера (БЕТ) застосовні тільки для розуміння переважноїусередненої ролі того чи іншого явища. Для поглиблення вивчення фізичнихособливостей механізмів газочутливі знадобилося створення спеціальноїлабораторної установки, яка забезпечує можливість реєстрації тимчасовихзалежностей зміни аналітичного сигналу при різних температурах вприсутності і відсутності відновлюючих газів заданої концентрації.Створення експериментальної установки дозволяло автоматично знімати іобробляти 120 вимірювань в хвилину в робочому діапазоні температур 20 - 400 Вє С.

Для структур з сітчастим перколяційні будовою були виявлені новіефекти, що спостерігаються при експонуванні в атмосфері відновлюють газівпористих наноструктур на основі металлооксідов.

З запропонованої моделі газочутливі структур з ієрархією пірвипливає, що для збільшення чутливості адсорбційних напівпровідникових
Висновокряду причин:


Список літератури

1.- М.: УРСС,2002.

2.

3.Ред. Д.

4.

5.Ред. Д.

6.

7.Енергія зв'язку

8.