Теорія нелінійної теплопровідності

Міністерствоосвіти і науки Російської Федерації

Курсоваробота

на тему: Теорія нелінійної теплопровідності

Зміст

Анотація

Введення

1. Теорія нелінійної теплопровідності

2. Поширення теплових збурень у нелінійнихсередовищах

3. Просторова локалізація теплових збурень

4. Завдання нелінійної теплопровідності з об'ємнимпоглинанням

5.Решенія нелінійної задачі теплопровідності на полупрямой

Висновок

Список використаної літератури

Анотація

Як відомо у вченні протеплообміні розглядаються процеси поширення теплоти в твердих, рідкихі газоподібних тілах. Ці процеси по своїй фізико-механічній природі доситьрізноманітні, відрізняються великою складністю і зазвичай розвиваються у вигляді цілогокомплексу різнорідних явищ.

Перенесення теплоти можездійснюватися трьома способами: теплопровідністю, конвекцією та випромінюванням, аборадіацією. Ці форми глибоко різні за своєю природою і характеризуютьсярізними законами.

Теплопровідність - цеодин з видів переносу теплоти (енергії теплового руху мікрочастинок) відбільш нагрітих частин тіла до менш нагрітих, що приводить до вирівнюваннятемператури.

Процес перенесення теплотитеплопровідністю відбувається між безпосередньо дотичними тілами абочастинками тіл з різною температурою. Вчення про теплопровідності однорідних іізотропних тіл спирається на вельми міцний теоретичний фундамент. Вонозасноване на простих кількісних законах і має у своєму розпорядженні добре розробленимматематичним апаратом який я і постарався розглянути в даній курсовійроботі.

Введення Одним з актуальнихнапрямків сучасної математичної фізики є вивчення нелінійнихматематичних моделей різних фізико-хімічних явищ і процесів.Поява таких моделей зумовлено використанням в сучасній фізиці ітехніці впливів на речовину електричних полів великої інтенсивності,пучків частинок високої енергії, потужного лазерного когерентного випромінювання,ударних хвиль високої інтенсивності, потужних теплових потоків. Лінійніматематичні моделі є завжди лише певними наближеннями приописі різних процесів. Їх можна використовувати тільки в тих випадках, колидосліджувані фізичні величини в даному процесі змінюються не в дужеширокому діапазоні значень. Нелінійні моделідозволяють описати процеси в більш широкому діапазоні зміни параметрів. Прицьому нелінійності змінюють не тільки кількісні характеристики процесів,але і якісну картину їхнього протікання. В основі нелінійних моделей лежатьнелінійні диференціальні рівняння в приватних похідних, закінченої теоріїі загальних методів вирішення завдань для яких в даний час не розроблено.Однак для ряду нелінійних задач математичної фізики вдається знайти точніаналітичні рішення, аналіз властивостей яких дозволяє виявити якіснонові нелінійні ефекти в досліджуваних процесах. Зокрема, при дослідженнівисокотемпературних теплових процесів з урахуванням дії таких механізмівпереносу енергії, як електронна або промениста теплопровідності, необхідновраховувати залежність густини р, питомої теплоємності с і коефіцієнтатеплопровідності середовища k від температури. Потужність тепловихджерел, розподілених в об'ємі середовища, також може залежати від температури,якщо враховувати процеси дисоціації та іонізації молекул, фазові переходи,випромінювання, горіння, хімічні реакції і інші екзо-і ендотермічніпроцеси, що протікають в нагрітій середовищі.
1. Теорія нелінійноїтеплопровідності Рівняння теплопровідності,враховує залежність властивостей середовища від температури і нелінійну залежністьвід температури потужності розподілених в об'ємі теплових джерел, єквазілінейним параболічним рівнянням виду (1.1) Нелінійність завданнятеплопровідності може бути також обумовлена ​​нелінійністю граничної умови.Такі завдання, на відміну від завдань з внутрішньої нелінійністю, зумовленоюнелінійністю рівняння, часто називають задачами з зовнішньої нелінійністю. Нелінійне граничнеумова на поверхні тіла може мати вигляд (1.2) де функція внелінійним чином залежить від температури. До таких умов,наприклад, відноситься умова на поверхні випромінюючого тіла або умоваконвективного теплообміну, в якому коефіцієнт теплообміну ат залежить відтемператури поверхні тіла. Задача теплопровідностістає нелінійною, якщо враховувати фазові переходи в середовищі, такі, якплавлення, випаровування, конденсація, кристалізація, що відбуваються припевній температурі і супроводжуються виділенням або поглинанням теплоти. У середовищі з фазовимпереходом з'являється поверхню ОЈ розділу фаз, яку називають фронтомфазового переходу. Ця поверхня переміщується з кінцевою швидкістю. Баланстеплової енергії на фронті фазового переходу з температурою u * дозволяє записати на рухомійповерхні ОЈ фронту крім умови u1 (P) = u2 (P) = u * (1.3) інше граничнеумова: (1.4) де k1, k2 і и1, u2 -коефіцієнти теплопровідності і температури двох дотичних фазвідповідно; q * - питомамасова теплота фазового переходу; V - миттєва швидкість переміщення фронту фазового переходу внапрямку нормалі поверхностіОЈ. Так як швидкістьпереміщення фронту V заздалегідь невідома і повинна бути знайдена в процесі рішення задачі теплопровідності, тогранична умова (1.4), зване умовою Стефана, робить задачу нелінійної. Можливий і іншийпідхід до моделювання процесу фазового переходу без явного виділення фронтуфазового переходу при постановці завдання. Цей підхід пов'язаний з переходом в класузагальнених функцій. Дійсно, теплоту фазового переходу, що виділяється нафронті, можна врахувати, вважаючи внутрішню енергію середовища розривною функцієютемператури і вводячи зосереджену теплоємність середовища. При цьому внутрішняенергія одиниці об'єму середовища е, як функція температури, при u = u * стрибком змінюється на величину теплоти фазовогопереходу, тобто (1.5) Тут = р (u)з (u) - теплоємність одиниці об'ємусередовища;
Q * = pq *; ​​ імпульсна функціяХевісайда, похідна якої є дельта-функція. Диференціюючи тепервнутрішню енергію (1.5) по температурі, отримаємо вираз для ефективноїоб'ємної теплоємності середовища з урахуванням теплоти фазового переходу еф = (u) + Q *. Друге доданок,записане через дельта функцію, являє собою зосередженутеплоємність, яку слід розуміти як узагальнену функцію температури. При такому описіфазового переходу рівняння теплопровідності в відсутність об'ємних тепловихджерел прийме вигляд [c (u) + q *] p (u) (1.6) Тут Фронт фазового переходув такій постановці завдання знаходиться як ізотермічна поверхня u = u * = const, становище якої в просторі, а в загальномувипадку і форма, змінюються з часом. нелінійних змінюютьне тільки кількісні характеристики теплових процесів, але і якіснукартину їхнього протікання. Вони значно ускладнюють математичні моделі тепловихпроцесів, причому багато в чому ці труднощі пов'язані з неможливістю застосуваннядля нелінійних задач принципу суперпозиції рішень. Число знайдених точниханалітичних рішень таких нелінійних задач теплопровідності вкрайобмежена, але саме аналіз цих рішень дозволяє виявити якісно новінелінійні ефекти при поширенні теплоти. Деякі такі рішеннянелінійних задач теплопровідності розглянуті нижче. квазілінійнихпараболічні рівняння другого порядку лежать в основі математичних моделейрізноманітних явищ і процесів у механіці, фізиці, біології, екології,технології та інших галузей знань. Зокрема, рівняння нелінійноїтеплопровідності (1.1) при певних умовах описує фільтрацію рідині газів в пористих матеріалах, дифузію нейтронів, нелінійний скін-ефект припроникненні магнітного поля в провідні середовища. Це рівняння застосовне приматематичному описі процесів горіння та... детонації, хімічної кінетики,процесу зростання і міграції біологічних популяцій, поширенні забрудненьв навколишньому середовищі. Такий діапазон додатків рівняння (1.1) обумовлений тим,що в його основі лежать фундаментальні закони збереження енергії, маси абочисла частинок. Розподілтемператури в необмеженій стержні , - в€ћ Л‚ x Л‚ + в€ћ Початкове умова: u | t = 0 = f (x) Рішення:
(інтеграл Пуассона). Розподілтемператури у стрижні, обмеженому з одного боку , 0 Л‚ x Л‚ + в€ћ Початкове умова: u | t = 0 = f (x) Крайове умова: u | t = 0 = П† (t) Рішення: 2. Поширеннятеплових збурень у нелінійних середовищах У роботах Г.І. Баренблатта,Я.Б. Зельдовича, С.П. Курдюмова, Л.К. Мартінсон, А.А. Самарського та іншихзнайдені точні аналітичні рішення деяких задач нелінійноїтеплопровідності. Аналіз властивостей цих рішень дозволяє виявити ряд важливихнелінійних ефектів при розповсюдженні теплових збурень в середовищах,коефіцієнт теплопровідності яких залежить від температури. Розглянемо середу,коефіцієнт теплопровідності k якої змінюється залежно від температуриі по статечному закону k = k0uб(2.1) де> 0 - параметр нелінійності середовища. Щільність середовищаПЃ і її теплоємність будемо вважати постійними, незалежними відтемператури. Таку середу, на відміну від середовища з постійним коефіцієнтомтеплопровідності (Оґ = 0), назвемо нелінійної, так як процестеплопровідності в такому середовищі в відсутність об'ємних теплових джерелописується нелінійним, точніше, квазілінейним параболічним рівнянням (2.2) де - характерний коефіцієнт температуропровідності. При моделюваннітеплових процесів в нелінійному середовищі необхідно використовувати такі рішеннярівняння (2.2), які задовольняють умовам безперервності температури ітеплового потоку. Але так як щільність теплового потоку в такому середовищі залежитьне тільки від градієнта температури, але і від значення самої температури, торішення рівняння нелінійної теплопровідності (2.2) слід шукати в класіузагальнених функцій, що допускають розриви похідних по просторовихзмінним там, де функція і звертається в нуль і рівняння (2.2) вироджується. 3. Просторовалокалізація теплових збурень Ще один цікавийнелінійний ефект можна виявити при розгляді процесу поширеннятеплових збурень у нелінійних середовищах з об'ємним поглинанням теплоти. Розглянемо задачу провплив миттєвого плоского зосередженого теплового джерела в нелінійнійсередовищі з коефіцієнтом теплопровідності, що змінюється в залежності відтемператури по статечному закону, якщо в нагрітій середовищі відбувається об'ємнепоглинання теплоти, питома потужність якого в кожній точці середовищапропорційна значенню температури в даний момент часу. Математичнамодель такого процесу відповідає задачі Коші для квазілінійного рівняннятеплопровідності з молодшим членом (3.1) Тут - коефіцієнт поглинання. Поглинання енергії вобсязі нелінійного середовища призводить до зменшення інтегральної теплової(Внутрішньої) енергії середовища. Тому при інтегруванні (3.1) попросторового змінному в межах від - в€ћ до + в€ћ знаходимо (3.2) де Так як, то, інтегруючи рівняння (3.2), отримуємо Для вирішення завдання (3.1)перейдемо за допомогою перетворення (3.3) до нової функції v (x, t). Тоді рівняння для Vприймає вид
Вводячи нове незалежнезмінне (перетворене час) за правилом (3.4) отримуємо для функції задачу (3.5) З точністю допозначення тимчасового змінного завдання (3.5) відповідає завданню про впливмиттєвого зосередженого теплового джерела в нелінійному середовищі безоб'ємного поглинання. Єдина відмінність полягає в тому, що задача (3.5)сформульована на кінцевому "тимчасовому" інтервалі. Тому, провівшизворотне перетворення змінних, можна записати розв'язок вихідної задачі (3.1)у вигляді (3.6) (3.7) Залежності U (П„) і x0 (П„) в (7.7) визначені формулами в яких часt слід замінити на П„, розуміючи під П„ = П„ (t) перетворенеза законом
(3.8) тимчасове змінне.При цьому істотно, що перетворення відображає полубесконечной інтервал [0, + в€ћ) позмінному t в обмежений відрізок [0, П„m) по змінному П„. фінітних рішення (3.6)завдання (3.1) являє собою фронтове рішення, яке описує поширеннятеплової хвилі від миттєвого зосередженого джерела з кінцевою швидкістюпереміщення фронтів x = В± x0 (). Але головну особливістьцього рішення можна виявити, якщо проаналізувати закони руху фронтівтеплової хвилі. З цього аналізу випливає, що функція в будь-який момент часу t> 0 дорівнює нулю позаобласті, де

Так як при, то теплові обурення від джерела проникають внелінійну середу з об'ємним поглинанням лише на кінцеву глибину навіть занескінченний проміжок часу. Теплові обурення виявляються локалізованимив обмеженій просторовій області.

Як видно на малюнку 1,на площині станів заштрихована область збурень, де, укладена в півсмуги, кінцева ширина якої 2Lm. При цьому величина Lm, що визначає розмір областілокалізації теплових збурень, залежить від визначальних параметрів задачі ввідповідності з виразом (3.10).

Зокрема, розміробласті просторової локалізації збільшується із зростанням потужності тепловогоджерела Q і зменшується із збільшенням коефіцієнта поглинання ПЃ.

Малюнок 1 Малюнок 1 описуєтеплові обурення які виявляються локалізованими в обмеженійпросторової області так як теплові обурення від джерела проникають внелінійну середу з об'ємним поглинанням лише на кінцеву глибину навіть занескінченний проміжок часу. Ефект просторовоїлокалізації теплових збурень у розглянутій задачі обумовлений об'ємнимпоглинанням теплової енергії. Дійсно, якщо Те і, як випливає з виразу (3.10),, тобто в середу без об'ємного поглинання тепловіобурення проникають необмежено далеко. Можливість створенняумов, коли утримання розігрітій середовища в обмеженій області просторуможна здійснити за рахунок внутрішніх механізмів нелінійного процесутеплопровідності, є принципово новим висновком, що випливає з аналізуматематичної моделі (3.1) нелінійного процесу теплопровідності. Реалізаціятаких умов є, зокрема, однією з практично важливих задач впроблеми керованого термоядерного синтезу. Відзначимо, щосвоєрідний режим метастабільній локалізації теплових збурень можеспостерігатися і у відсутність в середовищі об'ємного поглинання теплоти. У цьому режимілокалізації фронт теплової хвилі залишається нерухомою протягом деякогокінцевого проміжку часу. Така локалізація теплових збурень спостерігаєтьсяпри нагріванні нелінійного середовища в режимі з "загостренням", колитемпература граничної поверхні зростає необмежено за кінцевий проміжокчасу. Таку локалізацію теплового впливу в режимі з загостреннямілюструє наступна крайова задача нелінійної теплопровідності упівпросторі: (3.11) Тут A0 = const Лѓ 0; Параметр Т в задачі (3.11)назвемо часом загострення процесу розігріву нелінійного середовища, враховуючи, що при Задача (3.11) маєпросте за формою рішення в разделяющихся змінних: (3.12) Так як при всіх для будь-якого, то фронт теплового обурення х = х0, на якомудорівнюють нулю температура та тепловий потік, відокремлює нагріту середу від холодної.Фронт нерухомий, незважаючи на необмежений

Малюнок 2

Малюнок 2 описуєякісний вид локалізованих температурних профілів зупинилася на частеплової хвилі в різні моменти часу інтервалу [0, T). зростання температури в області тепловихзбурень при. Впротягом проміжку часу [0, T) тепловіобурення від нагрітої стінки локалізовані в просторовій області кінцевих розмірі...в.

Рішення (3.12) можнаназвати зупинилася на кінцевий час теплової хвилею. Якісний видлокалізованих температурних профілів такої теплової структури в різнімоменти часу інтервалу [0, Т) для середовища з показником нелінійності Оґ = 2представлений на малюнку 2.

4. Завдання нелінійноїтеплопровідності з об'ємним поглинанням

Розглянемо ще однузадачу нелінійної теплопровідності, що має точне рішення в аналітичній формі.Нехай в нелінійному середовищі відбуваються ендотермічні процеси, питома потужністьяких залежить від температури статечним чином. Нестаціонарний процестеплопровідності в такому середовищі з об'ємним поглинанням теплоти описуєтьсяквазілінейним рівнянням

(4.1)

Тут u (М, t) - температура; р = const> 0 - параметр поглинання, а значення N = 1, 2, 3 визначає розмірністьпростору, в якому відбувається досліджуваний процес.

Запишемо модель задачі провплив миттєвого зосередженого теплового джерела в середовищі з поглинанням,якщо Оґ <1, а показник ступеня. Враховуючи симетрію такого завдання (плоску для N = 1, осьову для N = 2 і центральну для N = 3), сформулюємо відповіднузадачу Коші для квазілінійного рівняння теплопровідності:

(4.2)

де радіальнапросторова координата r ≥ 0для випадків N = 2 і N = З і для N = 1. Параметр а2 в рівнянні ми

(4.3)

(4.4)

(4.5)

тобто

Тоді

(4.7)

(4.9)

Тепер, використовуючи

(4.10)

рівняння.

Таким чином, з урахуванням

де

(4.13)

(4.15)

Враховуючи, що

поглинання.імпульсом.

Проаналізуємо характер

Де

На початковій стадіїВ

існування.вУ такій

5. Рішення

Почнемо

(5.1)

з

(5.4)

Введемо

(5.5)

(5.6)

(5.7)

умова

(5.8)

в

З

(5.11)

а

(5.12)

Тоді

(5.14)

і

по

(5.16)

З

Рівняння

Використовуючи

Тут

Рис. 4

(5.23)

Нижче

(5.26)

Рис. 5

функції

де

Тоді

в

Рис. 6

випадку.

Нижче

Приклад5.1.

Функція

Рис. 7

Результати4.

Приклад5.2.

Функція

Результати5.

Приклад5.3.

Функція

В

Результати6.

Приклад5.4.

Функція

Результати7.функції (5.24) (а саме квадратичної почасу функції F (t)), мабуть, приводить до швидшого по часунаближенню рішення до постійної функції

Висновок

нелінійний теплопровідність обурення поглинання

Всвоїй роботі я розглянув теплопровідність, деякі її властивості. Розглянувкілька видів математичних рівнянь описує цей процес при різнихумовах. А так само вирішуючи нелінійноїзадачі теплопровідності на полупрямой показав що вибір функції F (t) квадратичної по часу призводить до більш швидкого по часунаближенню рішення u (x, t) до постійної функції

Списоквикористовуваної літератури

1)Мартінсон Л.К.,Малов Ю.І. Диференціальні рівняння математичної фізики. Видавництво: МГТУім. Н.Е. Баумана. Москва 2002 г. 368с.

2)С. Де Лілло, Д.Лупо, М. Соммакал, Рішення нелінійної задачі теплопровідності на полупрямой, ТМФ, 2007р.

3)Агошков І.М.Методи рішення задач математичної фізики. Навчальний посібник для студентів,Спеціалізуються в області обчислювальної математики. 2002 320 с.

4)cde.ncstu.ru/lms-ds/login.ds

5)

6)bse.sci-lib.com/article109938.html

7).lib.ua-ru.net/diss/cont/45405.html