Автоколивального система. Хвилі пластичної деформації

МІНІСТЕРСТВООСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРАМОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ

Курсова робота

з дисципліни

В«Моделювання фізичнихпроцесів і систем

(моделювання стохастичнихпроцесів і систем) В»

на тему:

В«автоколивальних система.Хвилі пластичної деформації В»

Суми 2010

ЗМІСТ

ВСТУП

1 автоколивальногоСИСТЕМА І пластичних деформацій

1.1 автоколивальногосистема

1.2 Хвиліпластичної деформації

2. ОСНОВНА ЧАСТИНА

2.1 автоколивальногосистема В«Хижак-ЖертваВ»

2.1.1 Постановказавдання

2.1.2 Отриманнярівнянь з обезразмереннимі величинами

2.1.3 Визначеннякоординат особливих точок

2.1.4 Знаходженняпоказників Ляпунова особливих точок. Дослідженняхарактеру їх устойчвості

2.1.5 Побудовафазових портретів

2.2 Хвиліпластичної деформації

ВИСНОВОК

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

ДодатокА

ДодатокБ

ВСТУП

Звіт по КР: 25 стор, 4 рис., 4 джерела.

Об'єктом дослідження є двісистеми: автоколивальних система В«Хижак-ЖертваВ» і система хвиль пластичноїдеформації.

Мета роботи - за допомогою аналітичного тачисельного аналізу досліджувати системи, обезразмеріть їх, знайти особливі точки,визначити їх вигляд, побудувати фазові портрети.

При виконанні чисельних розрахунківвикористовувався метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності.

В результаті аналітичного аналізуотримуємо особливі точки систем і визначаємо їх стійкість.

У ході роботи були отримані фазові портретидля обох систем.

1. АвтоколивальногоСИСТЕМА І пластичної деформації 1.1 автоколивальних система

В останні роки придослідженні процесу пластичної деформації набула популярностісинергетична концепція. Її основна ідея полягає в тому, щогідродинамічні ступеня свободи, відповідальні за перебіг процесу(Деформація, напруги, щільності дефектів), ведуть себе не автономним чином,а самоузгодженої. На феноменологічному рівні така поведінка відбиваєтьсядиференціальними рівняннями, що містять нелінійні доданки. Як відомо,аналітичне рішення таких рівнянь в загальному випадку не представляєтьсяможливим, і тому вдаються до їх якісному аналізу за допомогою фазовихпортретів. Особливість використовуваного підходу полягає в тому, що ми, незадовольняючись описом якісних особливостей цих портретів, досліджуємоточний їх вигляд при різних значеннях параметрів задачі. Очевидно, такаінформація може представити інтерес при інтерпретації конкретнихекспериментальних даних. Чисельне інтегрування систем диференційнихрівнянь проводилось методами Рунге-Кутта нижчих порядків.

Експериментальнірезультати останніх років показують можливість періодичної змінидефектної структури ряду металів і сплавів. Такі зміни дефектноїструктури зі збільшенням ступеня деформації проявляються в коливальномухарактер змін равноосной і розмірів структурних елементів і узгоджуютьсяз немнонотонностямі на кривих зміцнення. Вони зв'язуються з появоюколективних мод в ансамблі сільновзаімодействующіх дислокацій, що призводить допрояву ротаційних процесів. Поява немнонтонностей в характеристикахміцності і пластичності обумовлено рядом ротаційних нестійкостей,періодично протікають при критичних значеннях ступеня деформації. Крімтого, перетин двох систем ротаційних смуг спричиняє зменшеннянерівноосних фрагментів.

В останні рокизапропонована модель періодичної перебудови дефектної структури, в основіякої лежить ідея про спільну еволюції хаотично розподілених дислокацій іструктури, що складається з обірваних дислокаційних стінок. При цьому пластичнадеформація здійснюється двома способами: некоррелірованнимі переміщеннямокремих хаотичних дислокацій або переміщенням диполя часткових дислокацій.Зазначені процеси періодично домінують в релаксації зовнішніх напруг іпризводять до коливань пружної деформації.

Існують два сценаріїпереходу до ротаційним структурам у процесі пластичної деформації. ЗгідноПерший такий перехід реалізується відразу у всьому об'ємі кристала, узгоджуючи зпоступовим зменшенням осередків і збільшенням разоріентіровок малокутових кордонівза рахунок дислокацій неможливо. Інші експериментальні дані говорять про те,що цей перехід спочатку відбувається в локальних областях кристала і по мірізбільшення ступеня деформації поступово охоплює весь обсяг. Що здійснюєтьсяпри цьому зміна типів дефектних структур може здійснюватися шляхомзародкоутворення і, отже, близька за своїм механізмом до фазовогопереходу першого роду.

У роботі Н.І. Главацької досліджувалисяструктурні перетворення при пластичній деформації монокристалів нікелю [1].Було показано, що спостережуваний характер залежності мікротвердості від ступенядеформації обумовлюється періодичною зміною типів дефектних структур.Згідно з проведеним дослідженням такі структурні перетворення здійснюютьсяпринципово різними способами - еволюційним і інволюційним. Перший зних характеризується поступовою зміною структурних елементів одного і тогож типу - збільшенням кута разоріентіровкі структурних елементів, зростаннямщільності дислокацій усередині структурних елементів і в межах. Перебудови морфологічнорізних типів дефектних структур відбуваються інволюційним способом. Для ньогохарактерно наступна поведінка: кордони попереднього типу структурирозсипаються, а що утворилися в результаті цього дислокації частковоанігілюють і формуються кордону нового типу структури. Запропоновано такожтеоретична модель, описуються спостережувані періодичні структурніперетворення. Вона заснована на ідеї про спільну еволюції хаотичних дислокацій,розпадаються кордонів старої і виникає кордонів нової дефектної структур.

1.2 Хвилі пластичної деформації

У процесі пластичноїдеформації та ансамблі дефектів може реалізуватися або циклічну змінугустин дефектів, або автокаталітіческіх їх розмноження, що приводить доутворенню гідродинамічної моди пластичної течії. В описаних системахсамоузгодженої поведінку дефектів спостерігалося в умовах монотоннозростаючого або постійного навантаження, а поле деформації виступало вЯк повільно мінливого параметра порядку. Розглянемо тепер більшскладний випадок, коли коливальний характер має зміна самого поляпластичної деформації.

Малюнок 1.1. - Кривадеформації кременистого заліза

Експериментальне дослідженнятакого випадку проводили Фролов К.В., Панін В.Є., Зуєв Л.Б., Махутов Н.А.,Данилов В.І., Мних Н.М. на зразках грубозернистого (розмір зерна 10 мм)кременистого заліза складу Fe +3% Si і маловуглецевої сталі 10Г2Ф (розмір зерна80 мкм) товщиною (0.3-1.5) мм з робочою частиною 10x50. Вони піддавалисярозтягуванню на жорсткій випробувальній машині Instron-1185 з постійною швидкістюпри кімнатній температурі. Крива деформації сплаву Fe +3% Si має вигляд,представлений на рис. 1.1 На ній цифрами I-V вказанівідповідають пластичного плину матеріалу ділянки, на яких реєструвалося5-8 спеклограмм. Приріст деформації між фіксації найближчих спеклограммстановив 0.2%. Розшифровка спеклограмм дозволила знайти вектор зміщень точокпо всій робочій поверхні зразка з кроком 1 мм. По полю зсувів стандартнимметодом визначалися компоненти сдвиговой деформації і повороту (вісь x збігається з напрямком прикладання навантаження дозразком, у знаходиться в його площині). В результаті були побудованіпросторові залежності, і залежності, від інтегральної деформації, Які можуть бутиінтерпретовані як тимчасові (рис.1.2-1.3) [2].

Малюнок 1.2. -Розподіл локальних зрушень і локальних поворотів вздовжосі x зразка Fe +3% Siдля різних ділянок кривій навантаження (див. рис.1.1) з приростами загальноїдеформації,%: 0.88-1.08 (а); 1.08-1.28 (б); 1.28-1.48 (в).

Малюнок 1.3. -Залежність локальних зрушень і локальних поворотів вздовжосі x зразка Fe +3% Siв точці (див. рис. 1.2) відзагальної деформації.

Видно, що для зразкаFe +3%... Si вони мають хвильовий характер, при цьому зрушення і повороти змінюються уздовжосей координат синфазно. За допомогою залежностей, і, були оцінені довжина пластичної хвилі, період Т і швидкість її поширення. Вони виявилися наближено рівними 5 В± 2 мм, 300 с, 0.0015 см/с. Буловстановлено, що довжина хвилі залежить тільки від структурних і геометричних параметрів зразка. Так, приактивному розтягуванні А1 і аморфного сплаву величина характеризуєтьсялогарифмічною залежністю від розміру зерна і лінійної - від поперечника зразка.У той же час швидкість поширення хвилі v не залежить від розмірів зразка ізерна, але представляє зростаючу функцію швидкості навантаження. Величина vприблизно на порядок перевищує швидкість переміщення рухомого захвату машини.

Для маловуглецевоїстали виявлений ряд відмінностей у характері зміни поля дісторсий. У такихматеріалах відповідає майданчику плинності деформація супроводжуєтьсяпоширенням однієї або декількох смуг Людерс. В експерименті, вЗокрема, відбувався рух двох смуг Людерс у зустрічному напрямку.Основним носієм деформації є фронт смуги, перед ним матеріалдеформований незначно. Як показав аналіз відповідного майданчику плинностінуля деформації (рис. 1.4а), існують значні розподілені хвильовимчином зрушення, як за фронтом смуги Людерс, так і перед ним. Величиниостанніх приблизно однакові, але яскраво виражена циклічність зрушень, як придеформації Fe +3% Si відсутня. На залежності максимуми різного знака збігаютьсяз положеннями фронтів смуг Людерс. Як видно з рис. 1.46, при зустрічі смуг(Закінчення площадки текучості і перехід до стадії зміцнення) екстремумиповоротів анігілюють. Надалі залежності, приймають вигляд, подібний спостережуваному для системиFe +3% Si (рис. 1.4в).

Малюнок 1.4. - Змінапросторової частини хвилі деформації при поширенні смуг Людерс вмаловуглецевої сталі (і - положення фронтів смугпід час реєстрації спеклограмми, -координата зустрічі смуг Людерс).

фазовий хвиля пластична деформація автоколивального

Для цієї стадіїдеформування швидкість поширення хвилі v = 0.0023 см/с. Зазначенезначення v порівнянно зі швидкістю фронту смуги Людерс, визначеної шляхомкінозйомки процесу при висвітленні ковзаючим пучком світла. Воно на порядокбільше швидкості рухомого захвату навантажує пристрої. Таким чином,квазістатичного деформація сталей також носить хвильовий характер. Спостережуваніхвилі не є пружними і їх не можна ототожнювати з хвилями пластичностіКольського, реалізованими при ударному навантаженні. Це випливає з того факту, щохвильові процеси останніх двох типів характеризуються швидкостямипоширення які набагато більше швидкості виявлених в роботі ФроловаК.В., Паніна В.Є., Зуєва Л.Б.. Махутова Н.А., Данилова В.І.. Мних Н.М. хвильпластичної деформації [3]. Наведені експериментальні дані показують,що, по всій видимості, пластичні хвилі утворюються в результатісамоорганізації елементарних актів пластичної течії.

Відповідно до одного зпідходів до пояснення деформаційного зміцнення при пластичній течіїструктурні зміни і перебудови в системі дефектів обумовлені релаксацієюнапружень в деформівній твердому тілі. При цьому характерна неоднорідністьполя напружень і пов'язана з нею неоднорідність пластичної деформації говорятьпро те, що зразок є нерівноважної системою, в якій відбуваєтьсядисипація пружної енергії. Останнє явище пов'язане з релаксаційнимпроцесами, що здійснюються на різних структурних рівнях - народженням тарухом точкових дефектів, дислокацій, дісклінацій і т.д.

2. ОСНОВНА ЧАСТИНА 2.1 автоколивальних система В«Хижак-жертваВ» 2.1.1 Постановка завдання

Необхідно отримати рівняння з безрозмірними величинами,визначити координати особливих точок. Знайти показники Ляпунова для особливих точок,визначити характер їх стійкості. Побудувати фазові портрети системи.

2.1.2 Отримання рівнянь з обезразмереннимі величинами.

Досліджувана система рівнянь являє узагальнення схемиЛотки-Вольтерра, що описує екологічну систему В«Хижак-жертваВ». Їхрівняння еволюції мають вигляд

(2.1)

(2.2)

де n, p - концентрація жертв і хижаків відповідно;, - їх характерні часизміни; - константа анігіляціїжертв;, - постійні, що враховуютьінтенсивність поглинання жертв хижаками (всі зазначені постійніпозитивні). Перший доданок в правій частині (2.1) описує збільшенняконцентрації дефектів-жертв під впливом зовнішнього навантаження, друге - їханігіляцію, третє - поглинання дефектами-хижаками. Перший член в частині (2.2)представляє автономну регресію хижаків, другий - їх зростання за рахунок поглинанняжертв.

Введемо безрозмірні щільності дефектів годину,і час, а також параметри і> 1. Тоді системарівнянь (2.1), (2.2) приймає вигляд

(2.3)

. (2.4)

Тут все величини не мають розмірностей, отже, система булацілком успішно обезразмерена.

2.1.3 Визначення координат особливих точок

Оскільки аналітично одержати точні залежності з системи нелінійнихдиференціальних рівнянь (2.3), (2.4) не представляється можливим, проведемоїї якісне дослідження методом фазової площини [4]. Такий аналіз дає можливість визначити характер фазовихтраєкторій, сукупність яких з різними початковими координатамивизначає фазовий портрет системи. Точний його вид знайдемо шляхом чисельногоінтегрування системи рівнянь (2.3), (2.4).

Розділивши почленно рівняння (2.3) на (2.4), отримуємо диференціальнерівнянь першого ступеня

. (2.5)

Використовуючи (2.5), знайдемо особливі точки фазової площини, тобто точки в якихнапрям дотичній до фазової траєкторії не визначено. Для цього запишемосистему рівнянь:

(2.6)

. (2.7)

Ця лінійна система рівнянь має три рішення. Отже, маємотри критичні точки: О (0,0); S (0,1); F (.

2.1.4Знаходження показників Ляпунова для особливих точок.Визначення характеру особливих точок.

1) точка O (0,0). Покладемо в рівняннях (2.3) і(2.4), і прирівняємо ліві частини донулю.

В результаті отримаємо:

=, (2.8)

(2.9)

де проведемо лінеаризацію, тобто опустимо всі нелінійні доданки по малимсмещениям і. В результаті отримаємо

(2.10)

(2.11)

Умова разрешимости системи має вигляд:

,

D = (2.12)

=.

Таким чином очевидно, що коріння раціональні і мають різні знаки.Отже точка О є сідлом.

2) Точка. Покладемо врівняннях (2.3) і (2.4), і прирівняємо ліві частини донулю.

В результаті отримаємо:

=, (2.13)

(2.14)

де проведемо лінеаризацію, тобто опустимо всі нелінійні доданки по малимсмещениям і. В результаті отримаємо

(2.15)

(2.16)

У підсумку ляпуновскіе показники для точки S будуть наступними:

=. (2.17)

Таким чином видно, що коріння також раціональні і мають різні знаки. Отже,точка S є сідлом.

2) Точка. Покладемо врівняннях (2.3) і (2.4), і прирівняємо ліві частини донулю.

В результаті отримаємо:

=, (2.18)

(2.19)

де проведемо лінеаризацію, тобто опустимо всі нелінійні доданки по малимсмещениям і. В результаті отримаємо

(2.20)

(2.21)

У підсумку ляпуновскіе показники для точки S будуть наступними:

=. (2.22)

Проведемо аналіз отриманих результатів. З урахуванням того, що у формулі(2.22) присутня радикал то можна зробити висновок, що при значеннях параметра, обмежених зверхувеличиною

=, (2.23)

ляпуновскіе показники речовинні і негативні а із зростанням до значеньперевищують критичне, вони стають комплексними з від'ємноюдійсною частиною. Отже, у цих межах точка F являєстійкі вузол і фокус відповідно.

Можна зробити висновок, що системи, в яких переважний коливальнийрежим реалізуються, якщо інтенсивність процесів анігіляції жертви мала попорівнянні з інтенсивністю процесу її поглинання хижаком. З іншого боку,характерний час автономної еволюції хижака повинно бути малим у... порівнянні звідповідним часом для жертви.

2.1.5 Побудова фазових портретів

Для побудови фазовихпортретів були використані слабкий чисельний метод Рунге-Кутта 4 порядкуточності. Середа реалізації - математичний пакет Matlab. Для отримання даних,чисельно інтегрувалася обезразмеренная система диференціальних рівнянь(2.3), (2.4). Отримані результати зображені на мал. 2.1-2.2.

Малюнок 2.1. - Фазовийпортрет системи В«Хижак-жертваВ»: режим регресії.

Малюнок 2.2. - Фазовийпортрет системи В«Хижак-жертваВ»: режим регресії.

2.2 Хвилі пластичної деформації 2.2.1 Постановка завдання

Необхідно отримати рівняння з безрозмірнимивеличинами, визначити координати особливих точок. Знайти показники Ляпунова дляособливих точок, визначити характер їх стійкості. Побудувати фазові портретисистеми.

2.2.2 Отриманнярівнянь з обезразмереннимі величинами.

.Такий аналіз дає

.Для цього

.

.нулю.

,

=.

де

інтервалі:

коливання.

Щоточності.

Малюнок 2.3.

Малюнок 2.4.

ВИСНОВОКточок.

Було

1.2002.

2.Курс теоріїймовірності. - М.: Наука, 1988. - 448 с.

3.Методичні вказівки до- 14с.

4.Методичні вказівки до
ДОДАТОК А

end

end

end

end

ДОДАТОК Бдеформації

end

end

end

end

end