Зміст
Введення
Глава 1. Методи рішення задач на екстремуми
В§ 1.Історія розвитку задач на екстремуми.
В§ 2.Способи вирішення завдань на екстремуми.
2.1 Елементарні прийоми рішення задач на екстремуми.
2.2 Універсальний метод розв'язання задач на екстремум.
Глава 2.Прімененіе рівневої диференціації в навчанні математиці на прикладі теми В«Задачі на екстремумВ».
В§ 1.Діфференціація навчання.
1.1 Поняття диференціації.
1.2 Рівнева диференціація.
1.3 Плюси і мінуси рівневої диференціації.
В§ 2. Методичні основи навчання розв'язання задач на екстремуми
2.1 Завдання на екстремуми в шкільному курсі математики (огляд підручників)
2.2 Методика навчання рішенню завдань
Глава 3. Розробка факультативних занять з теми «гшення задач на екстремум В».
Заняття 1 - Тема: В«Геометричний підхід до вирішення завдань на екстремумиВ»
Заняття 2 - Тема: В«Геометричний підхід до розв'язання задач на екстремуми В»
Заняття 3 - Тема: В«Алгебраїчний підхід до вирішення завдань на екстремумиВ»
Заняття 4 - Тема: В«Алгебраїчний підхід до вирішення завдань на екстремумиВ»
Заняття 5 - Тема: В«Універсальний метод розв'язання задач на екстремумиВ».
Висновок.
Бібліографія
Введення
З давніх часів перед людиною виникають практичні проблеми вибору оптимального значення деякої величини при певних умовах.
Як правило, в задачах подібного роду досягнення деякого результату може бути здійснено не єдиним способом і доводиться відшукувати найкращий спосіб досягнення результату.
Однак в одній і тій же задачі в різних ситуаціях найкращими можуть бути зовсім різні рішення. Тут все залежить від обраного або заданого критерію. Наприклад, які повинні бути найкращі обриси судна? Відповіді будуть різними в залежності від того, для яких цілей призначене судно. Для різних цілей різні будуть і головні критерії. Критерії можуть бути наступними:
1.Необходімо, щоб при русі у воді судно відчувало найменший опір (це головний критерій швидкохідного судна)
2.Необходимо, щоб судно було максимально стійким при сильному хвилюванні і сильному вітрі.
3.Необходіма, щоб судно мало найменшу осадку (у разі коли судно призначається для експлуатації на дрібних водоймах).
Завдання такого характеру, отримали назву задачі на екстремуми або завдання на оптимізацію, виникають у самих різних областях людської діяльності. І їх роль в житті людей дійсно дуже важлива. Вирішенням таких завдань займалися найбільші математики минулих епох - Евклід, Архімед, Аполлоній, Герон, Тарталья, Торрічеллі, Ньютон та багато інших. Адже, незважаючи на все різноманіття, їх об'єднує одна особливість - пошук найбільш вигідного, у певному відносинах, найбільш економного, найменш трудомісткого, найбільш продуктивного. Цей пошук коротко можна назвати пошуком кращого.
Метою дипломної роботи є вивчення різних методів розв'язання задач на екстремуми і адаптація їх до шкільного курсу математики.
Для досягнення мети поставлені наступні завдання:
- підбір і вивчення відповідної теоретичної та методичної літератури;
- вивчення елементарних (геометричних і алгебраїчних) методів вирішення завдань на екстремуми;
- вивчення застосування методів математичного аналізу до вирішення завдань на екстремуми;
- відбір теоретичного матеріалу, доступного для розуміння школярами;
- розробка факультативних занять з вивчення даної теми.
В першому розділі дипломної роботи розглядаються історія задач на екстремум, і різні методи вирішення задач на екстремуми.
Друга глава дипломної роботи присвячена вивченню даної теми в школі із застосуванням диференційованого підходу: вводиться поняття диференціації та доцільність використання диференційованого підходу в навчанні. Більш докладно в роботі розглянута рівнева диференціація.
Далі в дипломній роботі проведена методика навчання розв'язання задач на екстремуми і, в Зокрема, аналіз викладу теми В«завдання на екстремумВ» в шкільних підручниках різних авторів. Були розглянуті підручники під редакцією: Алімова Ш.А., Александрова А.Д., Погорєлова А.В., Колмогорова А.М., Башмакова М.І., Мордковіча А.Г., Дорофєєва Г.В., Виленкина Н.Я..
Третя глава диплома переглянуло розробці циклу факультативних занять на тему: В«Вирішення завдань на екстремумВ», з застосуванням диференційованого підходу.
У висновку підведені підсумки проведеної роботи.
Глава 1. Методи рішення задач на екстремуми
В§ 1 Історія розвитку задач на екстремуми
Екстремальними завданнями людина цікавиться з античних часів. У Древній Греції вже давно (у всякому випадку до VI століття до н.е.) знали про екстремальні властивості кола і кулі: серед плоских фігур з однаковим периметром найбільшу площу має коло (серед просторових фігур з однаковою площею поверхні (рішення изопериметрической екстремальної задачі); куля має максимальний обсяг (рішення ізопіфанной екстремальної задачі). Історія зберегла легенду про наступну самої стародавньої екстремальної задачі, відомої як задача Дідони. Фінікійська царівна Дідона (IX століття до н.е.) вирішила організувати поселення на березі вподобаного їй затоки в Північній Африці. Вона вмовила вождя місцевого племені віддати їй клаптик землі, який можна охопити волової шкурою. Воїни Дідони розрізали шкуру на тонкі смужки, і Дідона охопила ременем, складеним з цих смужок, ділянку землі на березі затоки. Так виникло місто Карфаген. Завдання Дідони складається у вказівці форми границі ділянки, що має задану довжину, при якої площа ділянки максимальна. Якщо знати екстремальне властивість кола, то рішення виходить негайно: границя ділянки представляє частину окружності, що має задану довжину. Екстремальними задачами займалися багато античні вчені (Евклід, Архімед, Аристотель та ін.) Відома наступна задача Евкліда (IV століття до н.е.): в заданий трикутник ABC вписати паралелограм ADEF найбільшої площі. Неважко довести, що вирішенням цього завдання є паралелограм, вершини D, E, F якого ділять відповідні сторони трикутника навпіл.
Після загибелі античної цивілізації наукове життя в Європі стала відроджуватися тільки в XV столітті. Завдання на екстремуми опинилися серед тих, якими цікавилися кращі уми того часу. Якщо в античні часи задачі на екстремуми досліджувалися тільки геометричними методами і кожна задача для свого рішення вимагала специфічного прийому, то в XVII столітті з'явилися загальні методи вивчення задач на екстремуми, які призвели до створення диференціального й інтегрального числень. Перші елементи математичного аналізу були створені І. Кеплером (1615 рік), який так описує появу свого відкриття: "Мені як доброму господарю слід було запастися вином. Я купив його кілька діжок. Через деякий час прийшов продавець - виміряти місткість діжок, щоб призначити ціну на вино. Для цього він опускав в кожен бочонок залізний прут і, не вдаючись ні до якого обчисленню, негайно оголошував, скільки в бочці вина ". Після роздумів Кеплер відкрив секрет такого простого способу вимірювання об'єму бочок. Виявилося, що бондарі за довгу історію навчилися виготовляти бочки такої форми, при якій вони мали найбільший обсяг при заданій довжині мокрою частини прута. А оскільки в околиці максимуму значення функції змінюються мало (в цьому суть відкриття І. Кеплера), то торговець вина майже не помилявся при оголошенні обсягу бочки по одному вимірюванню.
Відкрите І. Кеплером основна властивість екстремумів було потім оформлено у вигляді теореми спочатку П. Ферма (для многочленів), потім І. Ньютоном і Г. В. Лейбніцем для довільних функцій і носить тепер назву теореми Ферма, згідно з якою в точці екстремуму x0 неперервної функції f (x) похідна функції дорівнює нулю...
