Методика викладання курсу В«Матричні ігриВ»
Пояснювальна записка
При вирішенні багатьох практичних завдань доводитися аналізувати ситуації, де дві або більше сторони, що переслідують різні цілі, причому результат кожного залежить від того, який вибір зробить інша сторона. Вирішенням таких проблем займається - Теорія ігор.
У зв'язку з розвитком економіки країни я вважаю, що цей розділ математики буде цікавий студентам вузів, вивчають економіку.
Цей курс розрахований для 2-4 курсів вузів з математичним або економічним ухилом.
Головною метою даного курсу є вивчення основних понять теорії ігор та первинне знайомство з матрицями, розвиток математичних здібностей учнів, виховання інтересу до предмета, ініціативність і творчості.
Для досягнення цієї мети були сформульовані наступні завдання:
- Познайомити учнів з новими розділами математики - теорією ігор;
- Навчити учнів моделювати задані конфліктні ситуації;
- Навчити учнів працювати з матрицями 2 Г— 2, 2 Г— 3, 3 Г— 3;
- Навчити учнів користуватися математичним пакетом Maple.
При написанні цієї курсової роботи я припускав, що учні мають первинні знання з теорії ігор і математичного пакету Maple.
Заняття № 1: Основні поняття матричної ігор
Бібліотека В« simplex В» пакета Maple .
Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу.
Вид уроку: Лекція.
Тривалість: 2:00.
Цілі: 1) Повторити основні поняття матричної ігор
2) Сформулювати поняття прийнятною ситуації, ситуації рівноваги, рівноваги по Нешу, сідлова точка.
3) Вивчити новий метод рішення матричних ігор.
4) Виховати і прищепити інтерес до предмету.
1 етап: дати короткий огляд понять про матричних іграх.
2 етап: Розповісти про програму Maple та її переваги
3 етап: закріпити новий матеріал і дати домашнє завдання.
Хід заняття
На даному занятті ми познайомимося з матричними іграми, і математичним пакетом Maple. Матрична гра-це кінцева гра двох гравців з нульовою сумою, в якій задається виграш першого гравця у вигляді матриці, рядок матриці відповідає номером застосовуваної стратегії гравця 1, а стовпець - номера застосовуваної стратегії 2-го гравця; на перетині рядка і стовпця матриці знаходяться виграш гравця 1, відповідний застосовуваним стратегіям). Будь матрична гра має рішення - доведено.
Перший гравець має m стратегій i = 1,2, ..., m , другий має n стратегій j = 1,2, ..., n. Кожній парі стратегій ( I, j ) поставлено у відповідність число а ij , виражає виграш гравця 1 за рахунок гравця 2, якщо перший гравець прийме свою i- ю стратегію, а 2 - свою j -ю стратегію.
Кожен з гравців робить один хід: гравець 1 обирає свою i -ю стратегію ( i = ), 2 - свою j -ю стратегію ( j = ), після чого гравець 1 отримує виграш а ij за рахунок гравця 2 (якщо а ij < 0, то це означає, що гравець 1 платить друга сума | а ij |). На цьому гра закінчується.
Кожна стратегія гравця i = ; j = часто називається чистою стратегією.
А =
Головним у дослідженні ігор є поняття оптимальних стратегій гравців. У це поняття інтуїтивно вкладається такий сенс: стратегія гравця є оптимальною, якщо застосування цієї стратегії забезпечує йому найбільший гарантований виграш при всіляких стратегіях іншого гравця. Виходячи з цих позицій, гравець 1 досліджує матрицю виграшів А наступним чином: для кожного значення i ( i = ) визначається мінімальне значення виграшу в залежності від застосовуваних стратегій гравця 2
а ij ( i = )
тобто визначається мінімальний виграш для гравця 1 при умови, що він прийме свою i -ю чисту стратегію, потім з цих мінімальних виграшів відшукується така стратегія i = i про , при якій цей мінімальний виграш буде максимальним, тобто знаходиться
а ij = = (1).
Число , визначене за формулою (1) називається нижній чистої ціною ігри і показує, який мінімальний виграш може гарантувати собі гравець 1, застосовуючи свої чисті стратегії при всіляких діях гравця 2.
Гравець 2 при оптимальному своїй поведінці повинен прагне по можливості за рахунок своїх стратегій максимально зменшити виграш гравця 1. Тому для гравця 2 відшукується
а ij
тобто визначається max виграш гравця 1, за умови, що гравець 2 застосує свою j -ю чисту стратегію, потім гравець 2 відшукує таку свою j = j 1 стратегію, при якій гравець 1 отримає min виграш, тобто знаходить
a ij = = (2).
Число , що визначається за формулою (2), називається чистої верхній ціною ігри і показує, який максимальний виграш за рахунок своїх стратегій може собі гарантувати гравець 1.
Іншими словами, застосовуючи свої чисті стратегії, гравець 1 може забезпечити собі виграш не менше , а гравець 2 за рахунок застосування своїх чистих стратегій може не допустити виграш гравця 1 більше, ніж .
Якщо в грі з матрицею А = , то говорять, що ця гра має сідлову точку в чистих стратегіях і чисту ціну ігри
пЃµ = = .
Сідлова точка - це пара чистих стратегій (i про , j про ) відповідно гравців 1 і 2, при яких досягається рівність = . У цей поняття вкладений наступний сенс: якщо один з гравців дотримується стратегії, відповідної сідловій точці, то інший гравець не зможе вчинити краще, ніж дотримуватися стратегії, відповідної сідловій точці. Математично це можна записати й інакше:
де i, j - будь-які чисті стратегії відповідно гравців 1 і 2; (i про , j про ) - стратегії, що утворюють сідлову точку.
Таким чином, виходячи з (3), сідловій елемент є мінімальним в i про -й рядку і максимальним в j про -м стовпці в матриці А. Відшукування сідлової точки матриці А відбувається наступним чином: в матриці А послідовно в кожній рядку знаходять мінімальний елемент і перевіряють, чи є цей елемент максимальним у своєму стовпці . Якщо да, то він і є сідловій елемент, а пара стратегій, йому відповідна, утворює сідлову точку. Пара чистих стратегій (i про , j про ) гравців 1 і 2, твірна сідлову точку і сідловій елемент , називається рішенням ігри . При цьому i про і j про називаються оптимальними чистими стратегіями відповідно гравців 1 і 2.
Приклад 1:
сідлової точки є пара ( i про = 3; j про = 1), при якій пЃµ = = = 2.
Зауважимо, що хоча виграш в ситуації (3, 3) також дорівнює 2 = = , вона не є сідловою точкою, тому цей виграш не є максимальним серед виграшів тр...
