Вятському ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Курсова робота
Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики
Виконала студентка IV курсу
математичного факультету групи М-41
Бузмакова І.С.
Науковий керівник Старостіна О.В.
Кіров 2006
Зміст
Найбільш важливі прими перетворення рівнянь
Методика рішення ірраціональних рівнянь
Тотожні перетворення при рішенні ірраціональних рівнянь
Застосування загальних методів для рішення ірраціональних рівнянь
Методика рішення ірраціональних нерівностей
Висновок
Список бібліографії
Введення
Матеріал, пов'язаний з рівняннями і нерівностями, становить значну частину шкільного курсу математики.
У школі ірраціональних рівнянь і нерівностей приділяється досить мало уваги.
Однак завдання по темі "Ірраціональні рівняння і нерівності" зустрічаються на вступних іспитах, і вони досить часто стають "каменем спотикання ".
Так як при вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі застосовуються тотожні перетворення, то найчастіше виникають помилки, які зазвичай пов'язані з втратою чи придбанням сторонніх коренів в процесі вирішення. Тому необхідно розглянути такі ситуації, показати, як їх розпізнавати і як з ними можна боротися.
Мета даної курсової роботи: розробити методику навчання рішенню ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі, а також виявити можливості використання загальних методів розв'язання рівнянь при вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання:
Проаналізувати чинні підручники алгебри і початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;
Вивчити стандарти освіти з даної теми;
Вивчити статті та навчально-методичну літературу з даної теми;
Підібрати теоретичний матеріал, пов'язаний з рівносильно рівнянь і нерівностей, рівносильних перетворень, методами вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;
Показати, як загальні методи розв'язання рівнянь застосовні для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей;
Підібрати приклади рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей для демонстрації викладається теорії.
Гіпотеза дослідження: застосування розробленої методики вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей дозволить учням вирішувати ірраціональні рівняння й нерівності на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод, застосовувати різні методи вирішення, в тому числі ті, які не розглянуті в шкільних підручниках.
Аналіз шкільних підручників з алгебри і початків аналізу
При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи постає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Тому спочатку проаналізуємо чинні підручники з алгебри і початків математичного аналізу для 10-11 класів, щоб з'ясувати, як в них представлені методи рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей.
" Алгебра і початки аналізу, 10-11 ", авт.А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудніцін та ін [ 13].
Матеріал по даній темі викладено в IV главі "Показова і логарифмічна функції ", як пункт" Ірраціональні рівняння "параграфа "Узагальнення поняття ступеня". Автор рекомендує розглядати рішення ірраціональних рівнянь в темі "Рівняння, нерівності, системи", де систематизуються відомості про рівняннях.
У пункті "Ірраціональні рівняння" дається поняття ірраціонального рівняння, наводиться кілька прикладів найпростіших ірраціональних рівнянь виду, які вирішуються за допомогою зведення обох частин рівняння в квадрат. Знайдені коріння перевіряються підстановкою у вихідне рівняння, при цьому звернуто увагу на ті випадки, коли можуть з'явитися сторонні корені. Показано, що окрім зведення в квадрат ірраціональні рівняння зручно вирішувати, використовуючи рівносильний перехід від рівняння до системи, що складається з рівняння і нерівності. Розглянуто приклад ірраціонального рівняння, що містить корінь третього ступеня. Для того щоб "позбутися радикала", обидві частини такого рівняння зводяться в куб.
Після пункту наведені вправи для закріплення умінь розв'язувати ірраціональні рівняння. В № № 417-420 запропоновані найпростіші рівняння, вирішити які можна з допомогою зведення обох частин рівняння або в квадрат, або в куб, а також використовуючи рівносильні переходи. Такі завдання, на думку авторів підручника необхідно вміти вирішувати для отримання задовільної оцінки. Завдання ж в № № 422-425 трохи складніше. Тут уже рівняння містять корені вище третього ступеня.
Ірраціональним нерівностям в даному пункті уваги не приділено.
В заключній главі підручника "Завдання на повторення" поміщені практичні вправи для повторення курсу. Тут у параграфі "Рівняння, нерівності, системи рівнянь і нерівностей "ірраціональним рівнянням і нерівностям присвячений пункт "Ірраціональні рівняння і нерівності".
" Алгебра і початки аналізу, 10-11 ", авт. Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін [1].
У даному підручнику немає матеріалу, присвяченого ірраціональних рівнянь і нерівностей. Лише в кінці учня поміщені вправи для підсумкового повторення курсу алгебри. Тут є тільки один номер для вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь (№ 801). Вправ для вирішення ірраціональних нерівностей немає.
Це можна пояснити тим, що, на думку автора, вміння вирішувати ірраціональні нерівності не є обов'язковим для учнів і відповідна тема може бути запропонована для вивчення самостійно або на факультативних заняттях. [14] Тому в підручнику запропоновані завдання для позакласної роботи, де зустрічаються ірраціональні рівняння (№ № 934, 947) і нерівності (№ 942).
" Алгебра і початки аналізу, 10-11 ", авт.М.І. Башмаков [2].
У даному навчальному посібнику ірраціональні рівняння і нерівності розглядаються в заключній VI главі "Рівняння і нерівності". Глава призначена для систематизації та узагальнення відомостей про рівняння, нерівностях і системах рівнянь. На початку глави поміщена вступна бесіда, яка складається з трьох пунктів.
У пункті "Рівняння" вводяться такі поняття як рівняння, невідомі, корінь рівняння, детально розповідається, що значить вирішити рівняння з одним або двома невідомими, що означає знайти корені рівняння, наведені деякі рекомендації про форму запису відповіді при вирішенні рівнянь з одним або двома невідомими.
У пункті "Равносильность" з'ясовується, коли одне рівняння є наслідком іншого, вводиться поняття рівносильних рівнянь. Автор докладно зупиняється на деяких корисних перетвореннях рівнянь:
Тотожне перетворення однієї з частин рівняння і перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком.
Перехід до сукупності рівнянь.
Перехід до системі рівнянь.
Всі рівносильні переходи представлені у вигляді схем і розглянуті на прикладах.
У наступному пункті "Нерівність" наведені приклади вірних і невірних числових нерівностей, основні правила перетворення нерівностей, при цьому використовуються знаки слідства і равносильности. Вводяться такі поняття як ОДЗ нерівності, рішення нерівності, рівносильні нерівності, з'ясовується, коли одне нерівність є наслідком іншого.
В§ 1 "Рівняння з одним невідомим "складається з трьох пунктів:" Загальні прийоми ", "Приклади розв'язання рівнянь" і "Наближені методи обчислення коренів ". У першому пункті перераховані стандартні рівняння, які були вивчені раніше. Основним кроком у вирішенні рівняння є перет...
