Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини "
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Вивчення тригонометричного матеріалу в шкільному курсі математики
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-42 Головачова А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1. Методика введення понять синуса, косинуса і тангенса на геометричному матеріалі. Основні тригонометричні тотожності
2. Методика введення визначень тригонометричних функцій кутів від 0 В° до 180 В°
3. Методика вивчення тригонометричних функцій у курсі алгебри
4. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння і нерівності та методика навчання рішенню
Висновок
Література
Введення
Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій така: 1) спочатку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника; 2) потім введені поняття узагальнюються для кутів від 0 0 до 180 0 ; 3) тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин і дійсних чисел.
Перші два етапи реалізуються в курсі планіметрії. Геометричний характер визначень тригонометричних функцій пояснює той факт, що вони складають єдиний вид функцій, який починають вивчати не в курсі алгебри, а в курсі геометрії. Для геометрії важливий "общефункціональний погляд" на тригонометричні функції, а їх прикладна сторона (рішення прямокутних трикутників, застосування деяких тригонометричних тотожностей, теорем cos і sin, рішення довільних трикутників). Тому в курсі планіметрії немає терміна "Тригонометричні функції".
1. Методика введення понять синуса, косинуса і тангенса на геометричному матеріалі. Основні тригонометричні тотожності
Знайомство з тригонометричним матеріалом починається в курсі геометрії при знайомстві з прямокутним трикутником. Поняття, і гострих кутів трикутника вводиться для кутів від до, як відношення сторін цього трикутника. Попередньо учні повинні засвоїти назви сторін прямокутного трикутника: катети (сторони прямого кута) і гіпотенуза (сторона противолежащими прямого кута). Для цього необхідно запропонувати учням прямокутні трикутники, різноманітні по розташуванню вершин прямого кута і запропонувати назвати сторони трикутника.
Назвіть катети в ABC, APN. Назвіть гіпотенузи в LKM і EFA. Чи будуть гіпотенузи наступні відрізки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в зазначених трикутниках і чому?
Наступні вирази "прилежащий" і "противолежащий" відпрацьовуються на наступному етапі. Для цього необхідно за вказаними трикутникам запропонувати учням назвати прилежащие і противолежащие гострим кутках катети. Назвати відрізки: KL, PN, EA і попросити учнів назвати ті кути, проти яких лежать ці катети або, яким вони прилягають.
Першим вводиться поняття кута і доводиться теорема: "Косинус кута залежить від градусної міри кута і не залежить від розташування і розмірів трикутника ". Це визначення вже "працює" при доведенні теореми Піфагора.
З іншими поняттями учні знайомляться в пункті "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику ". sin, tg
Формується властивість: синус і тангенс кута так само, як і косинус, залежать від величини кута.
Для синуса це доводиться так:
=,
так як косинус залежить тільки від величини кута, то і синус залежить тільки від величини кута.
З визначень, і отримуємо наступні правила:
v Катет, противолежащий кутку, дорівнює добутку гіпотенузи на синус;
v Катет, прилеглий до кута, дорівнює добутку гіпотенузи на косинус;
v Катет, противолежащий кутку, дорівнює добутку другому катета на тангенс.
За цими правилами можна знаходити невідомі елементи в прямокутному трикутнику.
Перераховані правила можуть бути виведені учнями самостійно. Для цього пропонуються питання: В прямокутному трикутнику MNP, LN =, LM =, гіпотенуза MP = m. Знайти довжини катетів цього трикутника. (Задача вирішується за визначенням).
Раніше за програмою тригонометричні функції та співвідношення між кутами і сторонами в прямокутному трикутнику вивчалися в курсі 8 класу.
Після введення понять, і розглядалися рішення основних завдань, пов'язаних з відшуканням довжин сторін і величин кутів у прямокутному трикутнику.
Задача № 1. Дано: a, b. Потрібно знайти A, B, c.
Задача № 2. Дано: a, c. Потрібно знайти A, B, b.
Задача № 3. Дано: a, A. Потрібно знайти A, b, c.
Завдання № 4. Дано: a, B. Потрібно знайти A, b, c.
Завдання № 5. Дано: a, A. Потрібно знайти B, a, b.
За чинною програмою ці завдання в курсі 8 класу (колишній 7 клас) замінені такий: У прямокутному трикутнику дано: гіпотенуза c і гострий кут. Знайдіть катети, їх проекції на гіпотенузу і висоту, опущену на гіпотенузу.
Вводяться основні тригонометричні тотожності:
,,,.
Зокрема, основне тригонометричне тотожність виводиться з формулювання теореми Піфагора:
,.
Учні знайомляться з деякими властивостями функцій гострого кута: 1) при зростанні гострого кута і зростають, а - убуває; 2) для будь-якого гострого кута:,; які формулюються як теореми. Їх доказ зв'язується з співвідношеннями гострих кутів у прямокутному трикутнику:
,, тоді, .
,
тоді з рівності правих частин отримуємо:
.
, тоді.
Висновок властивості зростання та спадання виглядає так:
Нехай і - гострі кути, і, і вона перетинає сторони кутів і в точках і відповідно.
Так як, то точка лежить між точками і, тоді. А значить, по властивості похилих, (через порівняння їх проекцій). Так як,, то косинус убуває. А так як, то синус зростає.
2. Методика введення визначень тригонометричних функцій кутів від до
Розширення області визначення тригонометричних функцій від до відбувається в темі: "Декартові координати на площині ".
Розглянемо коло з центром на початку координат довільного радіуса R. Відкладаємо в полуплоскость кут . Нехай точка має координати і. , , То з трикутника:,.
Визначаються значення і цими формулами для будь-якого кута О± (для 0 -виключається).
Можна знайти значення цих функцій для кутів 90 0 , 0 0 , 180 0 . Доводиться, що для будь-якого кута О±, 0 0 <О± <180 0 ,.
повернемо рухливий радіус на кут 180 0 -О± =
по гіпотенузі і гострому куту: => OB 1 = OB; A 1 B 1 = AB => x = - x 1 , y = y 1 =>
Отже, в шкільному курсі геометрії поняття тригонометричної функції вводиться геометричними засобами зважаючи на їх більшої доступності.
Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій така: 1) спочатку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника; 2) потім введені поняття узагальнюються для кутів від 0 0 до 180 0 ; 3) тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин і дійсних чисел.
Перші два етапи реалізуються в курсі планіметрії. Геометричний характер визначень тригонометричних функцій пояснює той факт, що вони складають єдиний вид функцій, який починають вивчати не в курсі алгебри, а в курсі геометрії. Для геометрії важливий "общефункціональний погляд" на тригонометричні функції, а їх прикладна сторона (рішення прямокутних трикутників, застосування деяких тригонометричних тотожностей, теорем cos і sin, рішення довільних трикутників). Тому в курсі планіметрії нем...
