Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини "
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Елементи інтегрального числення в курсі середньої школи
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-42 Локтєва А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1. Освітні цілі вивчення первісної функції та інтеграла в шкільному курсі математики
2. Методична схема вивчення первісної функції
3. Методична схема вивчення теореми про площі криволінійної трапеції
4. Методична схема і аспекти введення поняття інтеграла в середній школі
Висновок
Література
Введення
Основна освітня мета вивчення теми "Первісна та інтеграл" може бути сформульована так: 1) ознайомити учнів з операцією, яка є зворотною по відношенню до операції диференціювання функцій; 2) познайомити з використанням методу інтегрального числення для вирішення геометричних завдань, деяких задач практичного змісту. У зв'язку з цим розвиваючими цілями будуть: а) введення нового методу розв'язання задач (зокрема знаходження площі обсягу фігури) показати відому універсальність математичних методів; б) показ учням основних етапів вирішення прикладних задач засобами математики.
1. Освітні цілі вивчення первісної функції та інтеграла в шкільному курсі математики
Темі "Первообразная і інтеграл "передує тема" Похідна та її застосування ". Така послідовність вивчення матеріалу створює передумови для: 1) розуміння учнями взаємозв'язку між операціями диференціювання і інтегрування функцій, а також основної ідеї методу диференціального і інтегрального числень; 2) усвідомлення учнями того факту, що апарат похідної та інтеграла - основа методу математичного аналізу. З одного боку, він виступає як мова, що описує багато явища, процеси світу. З інший - як інструмент, за допомогою якого з урахуванням особливостей мови досліджуються ці явища і процеси.
Основу змісту теми складають два типи питань, кожен з яких групується біля двох понять: "Первообразная", "Інтеграл". Основна увага при вивченні приділяється: 1) знаходженню первісних і обчислення інтегралів на базі таблиць первісних та правил знаходження первісних; 2) вирахування площ криволінійної трапеції.
В якості основних задач, вирішених у процесі вивчення теми, можна виділити наступні:
В· введення понять первообразной і інтеграла;
В· ознайомлення учнів з основними властивостями первісних та правил знаходження первісних;
В· розкриття сенсу операції інтегрування як операції, зворотної стосовно операції диференціювання заданої функції:
В· провести класифікацію типів завдань (знаходження площі криволінійної трапеції, знаходження об'єму тіла, задачі з фізичним змістом), показати, яким чином реалізується метод інтегрального числення. При цьому звернути увагу на виділення в процесі їх вирішення етапів, що характеризують процес математичного моделювання.
Теоретичний матеріал включає в себе поняття первісної та її основна властивість поняття інтеграла функції; зв'язок між поняттями "інтеграл" та "первообразная", яка встановлюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца; формула Ньютона-Лейбніца як апарат обчислення інтеграла даної функції.
Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів.
Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їх формулювання, наприклад: "Знайти таку первісну функцію, графік якої проходить через дану точку ".
2. Методична схема вивчення первісної функції
У шкільному підручнику були "випробувані" різні варіанти введення поняття інтеграла. У перших виданнях навчального посібники (під ред. А.Н. Колмогорова) інтеграл визначається за допомогою формули Ньютона-Лейбніца (як приріст первісної), в пізніших виданнях застосовувалося традиційне визначення інтеграла як межі інтегральних сум.
Методична схема вивчення первісної:
1) розглянути приклади взаємно зворотних операцій;
2) ввести інтегрування як операцію, зворотну диференціюванню, а первісну як результат операції інтегрування;
3) виконати вправи типу: "Довести, що дана функція є первообразная інший даної функції "," Вирішити завдання на відшукання первісної для даної функції ";
4) ознайомити учнів з основними властивістю первісної;
5) скласти таблицю первісних;
6) ознайомити учнів з правилами знаходження первісних;
7) вирішити фізичні задачі з застосуванням первісної.
Визначенню первообразной передує завдання з механіки. . Якщо в початковий момент часу швидкість тіла дорівнює 0, тобто , То при вільному падінні тіло до моменту часу пройде шлях:. Продиференціювавши її, отримуємо; - прискорення постійно. Більш типово для механіки інше: відомо прискорення точки, потрібно знайти закон зміни швидкості і координату. Для вирішення таких завдань служить операція інтегрування.
При введенні поняття первообразной користуються аналогією з відомими учням прикладами взаємно зворотних операцій. Наприклад, операція додавання дозволяє за двома даними числах знайти третє число - Їх суму. Якщо ж відомо перший доданок і сума, то другий доданок може бути "відновлено" виконанням операції віднімання. Отже, віднімання - операція, зворотна додаванню, що призводить до єдиному результату. Однак таке буває не завжди. Наприклад, зведення в квадрат числа 3 дає число 9. Нехай тепер відомо, що число 9 є квадратом деякого числа:. Виконавши зворотну операцію - витяг квадратного кореня - отримуємо два значення: 3 і -3.
Диференціювання функції призводить до нової функції, яка є похідної функції Нехай тепер відомо, що похідна деякої функції дорівнює , Тобто:; потрібно знайти функцію.
Операція знаходження функції по її похідної називається інтегруванням. Виконуючи інтегрування, можемо отримувати наступні результати:;; і т.д. Функція називається первообразному функції. Таким чином, інтегрування є операцією, зворотною диференціюванню; результат операції інтегрування називається первісної. Після цього повідомляється визначення первісної: функція називається первообразной для функції f ( x ) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку.
Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей з допомогою конкретних прикладів.
Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їхні формулювання. Наприклад: знайти таку первісну функції, графік якої проходить через дану точку.
Доцільно звернути увагу учнів на наступне: запис F (x) + c (загальний вигляд первісних для функції f (x) на заданому проміжку). Вона пов'язує нас, з одного боку, з довільним значенням постійної с, а з іншого боку, в Залежно від умови запропонованої для вирішення задачі - з конкретним. З цією метою можна повернутися до аналізу рішень уже розглянутих задач. Щоб показати, що врахування конкретних умов завдання тягне звернення до цілком певної первообразной, можна запропонувати учням знайти керування шляху, якщо за 2 секунди тіло пройшло 15 м. (знайти рівняння кривої, що проходить через фіксовану точку А (1, 2)).
Рішення обох завдань пов'язане із знаходженням тих первісних заданих функцій, які задовольняють зазначеним початковим умовам.
Робота із завданнями переконує учнів у тому, що їх рішення ...
