Ризик і теорія ігор
1. Основні поняття теорії ігор. Класифікація ігор
2. Ігри з супротивником: формальне подання, вибір оптимальної стратегії
3. Ігри з В«НеживоїВ» природою
7.1 Основні поняття теорії ігор. Класифікація ігор
Предметом теорії ігор є такі ситуації, в яких важливу роль відіграють конфлікти і спільні дії.
Конфлікт може виникнути в результаті відмінності цілей які відображають не тільки неспівпадаючі інтереси різних сторін, але й численні інтереси одного і того ж особи. Наприклад, ЛПР, що формує економічну політику фірми, зазвичай переслідує різноманітні цілі, висуваючи суперечливі вимоги, пропоновані до ситуації (зростання обсягів виробництва, підвищення доходів, зниження екологічного навантаження і т. п.). Конфлікт також може бути результатом дії тих чи інших В«стихійних силВ», тобто зовнішнього оточення. Тому математична модель, адекватно відображає: будь соціально-економічне явище, повинна відображати властиві йому риси конфлікту, тобто описувати:
- безліч зацікавлених сторін; в теорії ігор вони називаються гравцями;
- можливі дії кожної зі сторін, які називаються стратегіями, чи ходами;
- інтереси сторін, що подаються функціями виграші платіжної матрицею
В теорії ігор передбачається, що функції виграшу і безліч стратегій, доступних кожному з гравців, загальновідомі тобто кожен гравець знає свою функцію виграшу і набір I наявних у його розпорядженні стратегій, а також функції виграшу і стратегії інших гравців, і відповідно до: інформацією організовує свою поведінку.
Різні види ігор можна класифікувати за різними ознаками. До них відносяться:
- число гравців;
-->p>
- число стратегій;
- властивості функції виграшу;
- можливість попередніх переговорів і взаємодії між гравцями в ході гри.
Залежно від числа гравців розрізняють ігри з двома, трьома і більше учасниками. У принципі можливі також ігри з нескінченним числом гравців. За кількістю стратегій розрізняють кінцеві і нескінченні гри. У кінцевих іграх гравці розташовують кінцевим числом можливих стратегій (наприклад, гра В«орел - решка В»). Самі стратегії в кінцевих іграх часто називають чистими стратегіями. Відповідно, в нескінченних іграх гравці мають нескінченне число можливих стратегій (наприклад, в ситуації продавець-покупець при встановленні ціни на товар і його кількості).
За властивостями функції виграшу розрізняють:
- антагоністичні ігри, або ігри з нульовою сумою; в даному випадку виграш одного гравця дорівнює програшу іншого, тобто в наявності прямий конфлікт між гравцями;
- ігри з постійною різницею, в яких гравці і виграють, і програють одночасно, так що їм вигідно діяти спільно;
- ігри з ненульовою сумою, де є і конфлікти, і узгоджені дії.
В залежності від можливості попередніх переговорів між гравцями розрізняють кооперативні та некооперативних гри. Гра називається кооперативної, якщо до початку гри гравці утворюють коаліції і приймають взаємного угоди про свої стратегії. Гра, в якій гравці не можуть координувати свої стратегії, називаються некооперативних. Очевидно, що всі антагоністичні ігри можуть служити прикладом некооперативних ігор. Прикладом кооперативної гри може служити ситуація утворення коаліцій у парламенті для прийняття рішення шляхом голосування.
2. Ігри з противником: формальне подання, вибір оптимальної стратегії
Будь гра задається функцією виграшу, або платіжною матрицею, яка в іграх партнерів має наступний вигляд:
де i - стратегії рядкового гравця;
j - стратегії столбцевого гравця;
a ij - платежі столбцевого гравця при виборі ним j-тій стратегії рядковому, якщо останній вибирає i-тую стратегію.
Якщо а, } > О, то столбцевой гравець платить рядковому; якщо а ij <про те рядковий гравець платить столбцевому; якщо а ij = О, ніхто нікому не платить.
В якості основного допущення в теорії ігор передбачається, що кожен гравець прагне забезпечити собі максимально можливий виграш при будь-яких діях партнера. Нехай є кінцева антагоністична гра з матрицею виграшів рядкового і столбцевого гравців. Рядковий гравець вважає, що яку б стратегію він не вибрав, столбцевой гравець вибере стратегію, максимізує свій виграш і тим самим минимизирующую виграш першого гравця. Тому для вибору оптимальної стратегії рядковий гравець спочатку в кожній вибирає мінімальний елемент:
Потім, серед отриманого стовпця значення вибирається більшого значення а , тобто
а вважається нижній ціною гри, а стратегія, яку рядковий гравець, - Максимін стратегією.
Аналогічно, столбцевой гравець спочатку в кожному стовпці, вибирає найбільше число
і оптимальною стратегією вважає
ОІ вважається верхній ціною гри, стратегія, яку вибрав столбцевой гравець, називається мінімаксного і, отже, а> ОІ
Якщо а = ОІ, то гра називається грою з сідловій точкою. Елемент, для якого виконується умова а ij = а = ОІ, називається сідлових елементом. Чи не всяка гра має сідлову точку, але якщо вона є, то стратегії гравців визначаються однозначно.
3. Ігри з В«неживоюВ» природою
Нехай в матриці гри рядки означають можливі варіанти рішень, що приймаються гравцем (їм можуть бути менеджер-керівник і т. п.), стовпці - можливі стани природи ( Т . тобто господарської середовища). Елемент матриці а ij , означає суму платежу в ситуації, коли гравець приймає рішення i, тобто вибирає стратегію i при стані природи j . У цьому випадку платіжна матриця гри буде мати вигляд:
Стратегія гравця
Стани природи
П1
П2
...
Пj
...
Пn
А1
A11
A12
...
A1j
...
A1n
А2
A21
A22
...
A2j
...
A2n
...
...
...
...
...
...
...
Аi
Ai1
Ai2
...
Aij
...
Ain
...
...
...
...
...
...
...
Аm
Am1
Am2
...
Amj
...
Amn
Введемо число, яке характеризувало б не тільки виграші гравців, але і вдалість вибору стратегії.
Ризиком ...
