ГОУ ВПО
Уфімський Державний Авіаційний Технічний Університет
Кафедра обчислювальної математики і кібернетики
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
до курсової роботи
по теорії ймовірності
на тему:
Інтервальний аналіз доходу трамвайного парку в чергові добу із застосуванням довірчої ймовірності
Уфа 2010 р
Завдання 1
Умова
Вихідні дані - добовий дохід трамвайного парку (Млн. крб.):
12,56; 12,41; 12,52; 12,80; 12,98; 12,70.
Актуальні питання : Який практичний максимум добового доходу трамвайного парку? У яких межах практично буде знаходитися дохід трамвайного парку в чергові добу?
Сформулювати ці питання на мові теорії ймовірностей і дати на них відповіді.
Висловити припущення (З обгрунтуванням) про закон розподілу добового доходу трамвайного парку, знайти оцінки і побудувати довірчі інтервали для математичного сподівання і дисперсії добового доходу.
Рішення
Вихідний матеріал - дані спостережень над добовим доходом трамвайного парку (млн. руб):
За умовою відомо:
х 1 = 12,56; х 2 = 12,41; х < sub> 3 = 12,52; х 4 = 12,80; х 5 = 12,98; х 6 = 12,70; n = 6.
Під X будемо розуміти випадкову величину - дохід, який отримає трамвайний парк у майбутній день. Дана величина дискретна, так як отримати дохід, наприклад, 89,623 руб можна, існують певні стандарти. Але для вирішення цього завдання ми перейдемо до ідеалізації і припустимо, що ПЂ, е та ін - все це можливі значення
X . Тоді X - безперервна випадкова величина.
Вичерпної характеристикою випадкової величини є закон розподілу, який залежить від умов проведення досвіду. У нашому випадку, досвід - це завтрашня робота трамвайного парку. Врахувати всі умови неможливо. Може бути на Наступного дня різко зростуть ціни на проїзд в автобусах, і люди віддадуть перевагу користуватися трамваями. А може це буде вихідний, і людям просто захочеться залишитися вдома. Так як же проаналізувати умови?
1. У трамвайному парку працює безліч трамваїв. Нехай число трамваїв - s .
2. Дохід кожного трамвая завтра залежить від випадку. Занумеруем трамваї:
1,
2,
3
...
h
,
,
...
3. Загальний дохід, який отримають трамваї завтра:
X = + + + ... +
Тобто X можна представити у вигляді суми великого числа доданків. В силу центральної граничної теореми ми можемо очікувати, що закон розподілу X близький до нормального.
Нехай з - дохід, який буде отриманий трамвайним парком в чергові добу.
Подія є бажаним подією. Знайдемо його ймовірність.
Нам відомо, що ймовірність того, що X не перевищить величини з , згідно нормальному закону розподілу, залежить від з наступним чином:
де m = M ( X ) - математичне очікування X , = D (Х) - дисперсія, а - стандартне відхилення X . Ці константи можна оцінити, використовуючи формули:
(млн.руб)
Слід зазначити, що оцінки та залежать від даних спостережень, які залежать від випадку, коли m і від випадку не залежать.
Знаючи оцінки і, можна наближено відповісти на запитання: В«Який дохід (величина з ) отримає трамвайний парк в черговий день, тобто щоб ймовірність події була досить велика, наприклад, дорівнює? В»Величину з знайдемо з рівняння:
.
Зробимо підстановку, тоді:
,; при,; при,.
Отримаємо рівняння:
.
Виберемо ймовірність рівної 0,95 (Тобто щоб отримати практичний максимум добового доходу трамвайного парку) і вирішимо рівняння за допомогою таблиці значень нормальної функції розподілу. Отримаємо:
; (млн.руб)
Таким чином, ми отримали, що в чергові добу практичним максимумом добового доходу трамвайного парку буде 13,0132 млн. руб. Відповімо на запитання: В«У яких межах практично буде знаходитися дохід трамвайного парку в чергові добу? В»
Загальна формула:
, де
функція Лапласа, а a і b - кінцеві точки.
Нехай a і b розташовані симетрично відносно m : a = m - s *; b = m + s *. Тоді:
,
тому функція непарна. За таблицям знайдемо, що якщо s = 1,96, то.
Таким чином, нам відомо, що з імовірністю 0,95 Х буде знаходитися в межах.
Тобто дохід трамвайного парку буде практично знаходитися в межах від 12,262 до 13,077 млн. руб.
Як уже зазначалося, оцінки та залежать від випадку, в той час як m та від випадку не залежать. Про місце розташування цих констант на числовій осі дають уявлення довірчі інтервали, тобто такі інтервали, для яких до проведення спостережень відома імовірність того, що вони в підсумку спостережень накриють константу.
У нашому випадку кінцеві точки довірчого інтервалу для m знаходяться за формулами:,, де
,
а коефіцієнт залежить від влаштовує нас ймовірності накривання інтервалом константи m :
.
можна знайти з таблиці: при = 0,95 і k = 5 (де k = ( n -1) - Число ступенів свободи) = 2,57.
Довірчий інтервал для m : (12,45; 12,89) з імовірністю покриття 0,95.
Кінцеві точки довірчого інтервалу для знаходяться за формулами:
,.
Імовірність того, що такий інтервал накриє, позначимо:
Вона залежить від чисел і. Виберемо ймовірність накривання дисперсії, наприклад, і скористаємося таблицями для обчислення і . Для цього обчислимо:
(1-О±)/2 = 0,1 - похибка зліва; (1 + О±)/2 = 0,6 - похибка праворуч, k = n -1 = 5 - число ступенів свободи.
Значить = 1,610; = 9,24.
Інтервал: (0,113; 0,646) - довірчий інтервал для дисперсії з імовірністю покриття 0,8.
Завдання 2
Умова
У продовження завдання 1. Чи істотно змінилися умови проведення досвіду, якщо чергова серія спостережень привела до наступних даних? Поставити це питання на мові теорії ймовірностей і отримати відповідь.
11,84; 12,50; 11,70; 11,72; 11,81; 11,78; 11,70.
Рішення
Нові добові доходи трамвайного парку: п 2 = 7.
Перед нами стоїть питання: В«Чи істотно змінилися умови проведення досвіду, якщо чергова серія спостережень привела до наступних даних, тобто чи змінилися математичне очікування і дисперсія в новій серії спостережень? В»
Передбачається, що над випадковою величиною X проведені незалежних випробувань, а над Y - незалежних випробувань.
Нехай випадкові величини X і Y незалежні і кожна підпорядковується одному і тому ж нормальному закону розподілу.
Нормальний закон роз...
