Криволінійний інтеграл першого роду
Криволінійний інтеграл другого роду
1. Завдання приводить до поняття криволінійного інтеграла.
Визначення криволінійного інтеграла по координатах.
2. Властивості криволінійного інтеграла (рис. 1).
3. Обчислення
а)
б)
Рис. 1
Займемося узагальненням поняття визначеного інтеграла на випадок коли шлях інтегрування - крива -Крива,,. Т/н. А-роботу сили при переміщенні точки від до
1. Розіб'ємо на n частин:
Позначимо вектор-хорда дузі.
Нехай припустимо, що на тоді
Робота уздовж дуги обчислюється як скалярний добуток векторів і
Нехай
Тоді:
Робота
Якщо, то ця межа приймемо за роботу А сили при русі точки по кривій від точки до точки
,-не числа, а точки кінці лінії.
1. Властивості:
1 0 визначається
а) подинтегральних виразом
б) формою кривої інтегрування.
в) зазначенням напрямки інтегрування (рис. 2).
Рис. 2
-можна розглядати як інтеграл від векторної функції
Тоді - якщо-замкнута то-називають циркуляцією вектора по контуру.
3 0
4 0 не залежить від того яку точку взяти за початок
Обчислення криволінійного інтеграла
Криволінійні інтеграли обчислюються зведенням їх до звичайних інтегралів по відрізку прямої (рис. 3).
Рис. 3
-гладка крива.
1. Якщо -Неперервні, -Безперервні.
-неперервні по, то
Межі А і В не залежать ні від способу ділення на, ні від вектора
Отже:.
2. В разі:
1. Формула Гріна.
2. Умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.
3. Повний диференціал.
Зв'язок між визначеним і криволінійним інтегралами.
Нехай дано область D, замкнута, обмежена лінією (рис. 4).
інтеграл криволінійний грін формула
Рис. 4
безупинні на
- визначена і неперервна в замкненій області D.
- визначена і неперервна в замкненій області D. Тоді
Аналогічно
-Формула Гріна.
Зокрема: обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтеграла.
Приклад.
Умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування
Рис. 5
- безперервні приватні похідні в (рис. 5).
Які умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування?
Теорема: -Безупинні в області, тоді для того, щоб
в (рис. 6)
Рис. 6
Нехай
Зворотно
Т.д.
Нехай з безперервності і
-околиця точки така що в
припущення невірно. ч.т.д.
Зауваження.
Визначення. Функція-градієнт якої є вектор сили називається потенціалом вектора.
Тоді
Висновок: Криволінійний інтеграл від повного диференціала не залежить від форми шляху інтегрування.
Література
1. Ільїн В.А., Садовничий В.А., Сенді Б.Х. Математичний аналіз. 1-2 тому. Вид. МДУ, 1989 м.
2. Виноградова І.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Завдання і вправи з математичного аналізу. Частина 1,2 Изд. МГУ. Серія класичний університетський підручник 250 річчю МГУ 2005
3. Шилов Г.Є. Математичний аналіз. Частина 1,2. Москва. Вид. Лань. 2002 р. - 880 с.
4. Лунгу К.Н. Збірник завдань по математиці. Частина 1,2. Москва. Айріс прес 2005
