Автор: Фільчев Е.Г.
Рішення кубічного рівняння в системі mn параметрів
Рішення кубічного рівняння на основі сучасних методів не представляється тривіальним. У будь-якому довіднику по математиці пропонуються наступні методи
- розкладання лівої частини на лінійні множники (якщо можливо)
- за допомогою формули Кардано
- застосування спеціальних таблиць
(див. наприклад, І.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Довідник з математики ... М. Наука 1980. стр.219).
В даній статті розглядається метод вирішення будь-яких кубічних рівнянь включаючи непріводімий випадок формули Кардано!
Завдання "Визнач кубічне рівняння виду ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Використовуючи формули системи mn параметрів запропонувати метод визначення нулів вихідного рівняння ". Нехай а = 1.
Рішення
На сайті fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc наведена, отримана автором, формула mn перетворення степеневої функції. Для кубічного рівняння ця формула має вигляд
(2 mn ) 2 + (3 x + b ) (2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx </b> + з = 0 (1)
де
x - будь-який з нулів (коренів) вихідного рівняння
2mn - Різниця будь-якої пари з трьох нулів вихідного рівняння
Вирішивши рівняння (1) відносно х і підставивши це значення в вихідне рівняння, в результаті, після простих, але громіздких перетворень, отримаємо
( 2mn) 6 +2 (3c - b 2 ) (2mn) 4 + (3c - B 2 ) 2 (2mn) 2 + [4 (3c - b 2 ) 3 + (2b 3 - 9bc + 27d) 2 ]/27 = 0 (2)
Це рівняння встановлює зв'язок коефіцієнтів вихідного рівняння з параметром (2mn) і є кубічним щодо (2mn) 2. На підставі формул Вієта і рівняння (2) можна зробити наступне твердження
Утвержденіе1 "Для будь-якого кубічного рівняння виду x3 + bx2 + cx + d = 0 справедливі рівняння
3x2 + 2bx + c = - (2mn) 1 (2mn) 2
2 (3c-b2) = - [(2mn) 12 + (2mn) 22 + (2mn) 32]
[4 (3c-b2) 3 + (2b3 - 9bc +27 d) 2]/27 = - (2mn) 12 (2mn) 22 (2mn) 32
де (2mn) j - різниця будь-якої пари коренів вихідного рівняння.
x - Один (будь-який) з коренів вихідного рівняння. "
1. Для будь-якого кубічного рівняння виду x3 + bx2 + cx + d = 0 визначаємо значення
D 1 = - = - (2mn) 1 2 в€™ (2mn) 2 2 в€™ (2mn) 3 2
2. Визначаємо значення
D 2 = - 2 (3c - b 2 ) = - [(2mn) 12 + (2mn) 22 + (2mn) 32]
З цих рівнянь випливає, що
- якщо вираз - 2 (3c -) - ціле число, то воно разложима на суму трьох квадратів
- і якщо при цьому виконується рівність D 1 = - (2mn) 12 (2mn) 22 (2mn) 32 , то в результаті отримаємо рішення для (2mn) 1, (2mn) 2, (2mn) 3.
3 . Визначаємо значення коренів вихідного рівняння
3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn ) 1 (2 mn ) 2
3x2 + 2bx + c = (2mn) 1 (2mn) 2
3x2 + 2bx + c = - (2mn) 1 (2mn) 3
3x2 + 2bx + c = (2mn) 1 (2mn) 3
3x2 + 2bx + c = - (2mn) 2 (2mn) 3
3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn ) 2 (2 mn ) 3
Задача вирішена!
Приклад 1 Вирішити рівняння за допомогою формул системи mn параметрів
x3 - 9x2 + 23x - 15 = 0
де a = 1, b = - 9, c = 23, d = -15
Рішення
1. Визначаємо значення D 1 == -
- в†’ D 1 = - [4 (69-81) 3 + (- 1458 + 1863 - 405) 2]/27 = - [4 (69-81) 3 +0]/27 = 256 = 162
Звернемо увагу, що в цьому прикладі (2b3-9bc +27 d) = 0
2. Визначаємо значення D 2 = - 2 (3c -)
- в†’ D 2 = - 2 (3 в€™ 23 - 81) = 24 = 4 + 16 + 4
Це єдине розкладання числа 24 на три квадрати. Отже
маємо (2mn) 1 = 2, (2mn) 2 = 4, (2mn) 3 = 2.
3 . Визначаємо значення нулів (коренів) вихідного рівняння
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn) 1 (2mn) 2
- в†’ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Немає дійсних рішень.
3.2 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn ) 1 (2 mn ) 2
- в†’ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 - в†’ x2 - 6x + 5 = 0
- в†’ X 1 = 3 + 2 = 5 , X 2 = 3 - 2 = 1
Тут X 1 = 5 - одне з рішень вихідного рівняння.
Тут X 2 = 1 друге рішення вихідного рівняння.
3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn) 1 (2mn) 3
- в†’ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 27 = 0 - в†’ x2 - 6x + 9 = 0
- в†’ X 2 = 3
Тут X = 3 - останнє з рішень вихідного рівняння.
3.4 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn ) 1 (2 mn ) 3
- в†’ 3x2 - 18x + 23 = 2 в€™ 2 - в†’ 3x2 - 18x + 19 = 0. Ні рішень вихідного рівняння.
Задача вирішена!
Приклад 2 Вирішити рівняння за допомогою формул системи mn параметрів
x3 - 20x2 + 113x - 154 = 0
де a = 1, b = - 20, c = 113, d = -154
Рішення
1. Визначаємо значення D 1 = -
- в†’ D 1 = - [4 (339-400) 3 + (- 16000 + 20340 - 4158) 2]/27 = - [- 907924 +33124]/27 = 32400
2. Визначаємо значення D 2 = - 2 (3c -)
- в†’ D 2 = - 2 (- 400) = 122 = 3 2 + 7 2 + 8 2 = 4 2 + 5 2 + 9 2
Тут має місце два подання числа 122 у вигляді суми трьох квадратів.
Тому, перевіряємо на відповідність з числом D 1 = 32400.
2.1 3 2 в€™ 7 2 в€™ 8 2 = 28224 в‰ 32400
2.2 4 2 в€™ 5 2 в€™ 9 2 = 32400. Цей варіант підходить!
- в†’ (2mn) 11 = 4, (2mn) 12 = - 4,
(2mn) 21 = 5, (2mn) 22 = - 5,
(2mn) 31 = 9, (2mn) 32 = - 9.
3 . Визначаємо значення нулів (коренів) вихідного рівняння
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn) 1 (2mn) 2
- в†’ 3x2 - 40x + 113 = - 4 ...
