Основні Поняття Теорії ЙМОВІРНОСТЕЙ
1. Предмет Теорії ймовірностей
Теорія ймовірностей вівчає закономірності, властіві Випадкове явищем. Як будь-яка математична наука, вон має аксіоматічну побудову, з якої віводяться подальші результати. Основні Поняття Теорії ймовірностей мают не абстрактна характер. Смороду в загальній формі відображають певні Сторони реальної дійсності. Того Висновки и результати, Що одержують у Теорії ймовірностей, мают практичніше Цінність.
Випадкове назівається такє явищем, характер протікання Якого не можна ЦІЛКОМ передбачіті на підставі наявного у нас даніх. Неможлівість передбачення НЕ означає відсутності причинного зв'язку Між Початкова данімі и результатом. Вона віклікана неповною поінформованістю про цею зв'язок. Проти неповнота даніх НЕ є перешкод для з'ясування загально закономірностей, Що властіві Випадкове явищем. Експеріментатору добро відома така універсальна схема: чім більша кількість дослідів, тім більш впевнено можна вивести закономірність, тім менше є роль Випадкове відхілень.
Теорія ймовірностей вівчає масові віпадкові Явища, тобто Явища, Що допускаються хоча б експериментальне перевірку в однотипних умів НЕОБМЕЖЕНИЙ кількість разів. При цьому розглядаються Такі віпадкові Явища, об'єктивні характеристики якіх можут буті Отримані з будь-яким рівнем точності за будь-яких НЕОБМЕЖЕНИЙ повторень експерименту.
Під випробовувань у Теорії ймовірностей розуміється експеримент, Що Може буті повторення при дотріманні визначеного комплексу умів НЕОБМЕЖЕНИЙ кількість разів. У зв'язку з тім, Що Завдання комплексу розумів не вічерпує Всіх обставинні, які вплівають на результат експерименту, при повторенні іспіту Може спостерігатіся різній результат експерименту.
Наприклад, експеримент полягає у тому, Що з урні, в якій є m білих и М чорних куль, навмання виймають одну кулю. Комплекс умів: склад куль за кольори; вітаскування кулі навмання.
Експеримент Може буті повторено безліч разів, ЯКЩО війнята куля повертається назад. Сейчас експеримент можна назваті випробування.
При зміні комплексу завдань умів, Що характеризують випробування, буде здобуто нове випробування.
Для шкірного випробування можна вказаті Деяк систему можливости НАСЛІДКІВ, головна властівість якіх полягає в тому, Що в результаті випробування відбувається один и Тільки Один з ціх НАСЛІДКІВ. Така система НАСЛІДКІВ, пов'язаних з данім випробування, назівається простором елементарних подій W, а Наслідки, Що Його складають, елементарних подіямі w. Їх взаємозв'язок можна наочно зобразіті схема, наведення на рис.
Малюнок 1
Приклад 1. Випробування - віймання кулі з урні, Що містіть m білих и Mm чорних куль, з її поверненості назад. Можліві елементарні Події: w 1 - вітягнено білу кулю, w 2 - Вітягнено чорну кулю; простір елементарних подій W = (w 1 , w 2 ) Складається Тільки з двох подій.
Приклад 2. Іспіт - пострілі по мішені до Першого влучення. Тепер простір елементарних подій W (w 1 , w 2 , ..., w n ...) Складається з таких подій: w i - номер i-го влучення, w ВҐ - влучення НЕ відбулося при нескінченіх Спроба. При цьому W - нескінченна безліч елементарних подій.
Приклад 3. Постріл по мішені з гарантованого влученням. Розміром кулі можна зневажіті. Ставімо у відповідність Кожній точці мішені q результат випробування w (q). W містіть незліченну безліч елементарних подій.
2. Випадкове подія. Алгебра Випадкове подій
Випадкове подією, пов'язаних з данім випробування, назівається Деяка множини елементарних подій, Яки позначається прописними Латинська літерами (A, B, C,.). Тобто Випадкове подія - Ції підпростір простору елементарних подій W. Про елементарні Події, Що входять до віпадкової Події, говорять, Що смороду їй спріяють. W обов'язково з'являється в результаті випробування, тому W назівається достовірною подією.
Наприклад, ЯКЩО випробування полягає в одноразовому підкіданні гральної кості, то елементарних подіямі є віпадання на Верхній Грані цієї кості тієї чи іншої кількості очок. Тоді Випадкове подіямі можна вважаті або одну з елементарних подій, або їх якесь об'єднання, як, Наприклад, віпадання парної кількості очок, кількості, Що кратна трьом, віпадання довільної кількості очок (W) тощо.
Приклад 4. В урні знаходяться Дві білі и Дві чорні кулі. Випробування полягає у війманні навмання однієї кулі з урні. Занумеруємо кулі и позначімо елементарні Події, Що полягають у війманні білої кулі Під номером 1 через w 1 , білої кулі Під номером 2 - w 2 , так само чорної кулі Під номером 3 - w 3 , чорної кулі Під номером 4 - w 4 . W = (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ). Тоді подія А (w 1 , w 3 ) полягає у війманні з урні кулі з непарним номером, подія В (w 1 , w 2 ) - ції віймання білої кулі.
наочно віпадкові Події можна геометрично зобразіті підмножінамі простору елементарних подій W, Як це продемонстровано на рис.2.
Малюнок 2
Алгебра Випадкове подій (у межах того самого простору W):
1. Дві Події назіваються рівносільнімі (тотожня), ЯКЩО смороду складаються з одних и тих самих елементарних подій (А = В).
2. Подія В назівається наслідком Події А, ЯКЩО з появи Події А віпліває Поява В. Цей взаємозв'язок сімволічно позначають так: АГЊВ (рис.3).
Малюнок 3
ЯКЩО АГЊВ; ВГЊА, то А = В; кож, ЯКЩО АГЊВ и ВГЊС; то АГЊС.
3. Подією, протилежних Події А (позначається ЯК), назівається подія, рівносільна того, Що подія А не з'явиться (рис.4).
Малюнок 4
Очевидно, Що = А; ЯКЩО AГЊB; то.
4. - Неможливо подія - "порожня множини" ГЊА.
5. Сумою двох подій А та В назівається подія (вон позначається Як А + В, або АГ€В), Яка полягає в тому, Що в результаті випробування відбудеться прінаймні одна з подій А чі В (рис.5).
6. Добутком подій А та В (їх перетин) назівається подія (вон позначається Як А Г— В, або АГ‡В), Що Складається з елементарних подій, сприятливі и А, і В, тобто вон полягає в тому, Що в результаті випробування одночасно відбуваються обідві ці Події (рис.6).
Малюнок 5
Малюнок 6
Поняття суми та добутку подій можна пошіріті на будь-яку кількість подій, Як скінчену, так и нескінчену.
7. Події А і В назіваються несуміснімі, ЯКЩО смороду НЕ можут з'явитися в одному й тому самому віпробуванні. АВ = (рис.7).
Малюнок 7
Події назіваються попарно несуміснімі, ЯКЩО будь-які Дві з них є несуміснімі. Події А 1 , А 2, , ..., А n , складають повну групу, ЯКЩО смороду попарно несумісні, а їх сума Дає достовірну подію. Геометрично область W поділяється на області А 1 , А 2, , ..., А n , Що не мают попарно загально точок Перетин (рис.8).
теорія ймовірностей Випадкове подія
Малюнок 8
Основні формули алгебри Випадкове подій:
1. Комутатівність суми та добутку: А + В = В + А; А Г— В = В Г— А.
2. Асоціатівність суми та добутку: А + (В + С) = (А + В) + С; А Г— (В Г— С) = (А Г— В) Г— С.
3. А Г— В
4. АГЊ ВГћА + В = В, АВ = А, А + W = W; А Г— W = А; А + = А; А =; А + А = А; А Г— А = А.
5. Дістрібутівність множення відносно додавання
(А + В) С = АС + НД; В.
6. Дістрібутівність додавання відносно множення
(А Г— В) + С = (А + С) Г— (В + С).
7. Властивості протилежних подій: при переході до протилежних подій торба заміняється добутком и навпаки: ...
