Кафедра: Вища математика
Реферат
з дисципліни Вища математика
Тема: В«Загальне поняття визначеного інтеграла, його геометричний і механічний зміст. Необхідна умова интегрируемости В»
Тольятті, 2008.
Зміст
Введення
Завдання, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами. Формула Ньютона-Лейбніца
Властивості визначеного інтеграла
Геометричний зміст визначеного інтеграла
Механічний сенс певного інтеграла
Необхідна умова інтегрованості
Список використаної літератури
Введення
Інтеграл (від лат. integer - цілий), одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з одного боку, відшукувати функції по їхніх похідних (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений що рухається точкою, за швидкістю цієї точки), а з іншого - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу і т.п. Відповідно до цього розрізняють невизначені і певні інтеграли, обчислення яких є завданням інтегрального обчислення.
Певний інтеграл - одне з основних понять математичного аналізу - є потужним засобом дослідження в математиці, фізиці, механіці та інших дисциплінах.
Завдання, призводять до поняття визначеного інтеграла
Задача про пройденому шляху.
Нехай відомий закон зміни миттєвої швидкості v = v (t). Визначимо шлях, пройдений при русі точки за проміжок часу від t = О± до t = ОІ. Рух в загальному випадку передбачається нерівномірним.
Поступимо таким чином.
1). Розіб'ємо весь проміжок часу на n довільних інтервалів
t 0 = О± 1 2 <... i -1 i <... t n -1 n = ОІ,
де t i - t i -1 = О”t i . На довільному ділянці [t i -1 , t i ] будемо вважати рух близьким до рівномірному з постійною швидкістю v = v (П„ i ), t i -1 ≤ П„ i ≤ t i . Тоді за час О”t i пройдений шлях наближено дорівнює s i = v (П„ i ) О”t i . Результат справедливий для кожного інтервалу (i = 1, 2, ..., n).
2). Якщо зазначені інтервали досить малі, то весь шлях наближено дорівнює сумі:
Ця формула тим точніше, чим дрібніше розбиття даного проміжку часу.
3). Для отримання точної формули шляху перейдемо до межі, збільшуючи число дроблень (n в†’ в€ћ) і нескінченно подрібнюючи самі інтервали. Позначимо О» = О”t i , тоді
Задача про кількості речовини, що вступило в реакцію.
Нехай швидкість хімічного перетворення деякого речовини, що бере участь в хімічній реакції, є функція часу v = v (t). Знайти кількість m вступило в реакцію речовини за проміжок часу від t 0 до T. Проробимо послідовно ті ж операції, що і при вирішенні попередньої задачі. В результаті отримаємо:
Робота змінної сили.
Нехай матеріальна точка під дією постійної сили F переміщується у напрямку цієї сили. Якщо пройдений шлях дорівнює s, то, як відомо з курсу фізики, робота Р цієї сили F обчислюється за формулою: Р = F S .
Нехай тепер матеріальна точка рухається по осі Ох від точки А (а) до точки B (b) (b> a) під дією змінної сили, спрямованої по Ох і є функцією від х: F = f (x).
Для знаходження роботи Р в цьому випадку розіб'ємо відрізок [a; b] точками a = x 0 1 <... n = b на n часткових відрізків і покладемо: О”x i = x i - x i -1 , i = 1, 2, ..., n. Найбільшу з цих різниць позначимо через О» = maxО”x i . Якщо ці відрізки досить малі, то без великої помилки на кожному з них силу F можна вважати постійною (рівній f (П„ i )), що дає наближене вираження для роботи
,
де П„ i - одна з точок сегмента [x i -1 , x i ]. Звідси:
Задачі про площі криволінійної трапеції.
Нехай на проміжку [a; b] задана функція f (x) ≥ 0. Криволінійної трапецією називається плоска фігура, обмежена зазначеної кривої y = f (x), прямими x = a, x = b і віссю Оx. (Рис. 1). Для обчислення її площі проробимо декілька операцій.
Рис. 1.
1). Розіб'ємо проміжок [a; b] довільними точками на n частин. Покладемо О”x i = X i - x i -1 , тобто О”x i є довжина i-го часткового відрізка, а найбільшу з цих довжин позначимо О», (О» = max О”x i ).
2). На кожному відрізку [x i -1 , x i ] візьмемо по довільній точці c i ,
x i -1 i i і обчислимо f (c i ). Побудуємо прямокутник з підставою [x i -1 , x i ] і висотою f (c i ). Його площа дорівнює S i = f (c i ) (x i - x i -1 ). Проробимо це для кожного i = 1, 2, ..., n.
3). Площа всій заштрихованої ступінчастою фігури, складеної з прямокутників, дорівнює сумі
Площа S криволінійної трапеції буде наближено дорівнює площі ступінчастою фігури:
Чим дрібніше відрізки ділення, тим точніше отримана фігура "відображає" криволінійну трапецію.
4). За площа криволінійної трапеції беруть межу, до якого прагнуть площі східчастих фігур, коли довжини відрізків поділу прагнуть до нуля, а їх число необмежено збільшується (n в†’ в€ћ). Таким чином,
Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
Природний хід розв'язання кожної з розглянутих конкретних завдань дозволяє встановити ту математичну операцію, з виконанням якої пов'язане отримання відповіді у всіх питаннях такого ж характеру.
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція y = f (x).
1). Заданий відрізок розділимо на n проміжків (Рівних або нерівних) точками
причому для всякого індексу i, приймаючого цілі значення від 1 до n, має місце співвідношення x i -1 i . Висловимо довжину кожного з цих часткових проміжків:
x 1 - x 0 = О”x 1 , x 2 - x 1 = О”x 2 , ..., x n - x n -1 = О”x n .
При цьому позначимо довжину найбільшого з них через О».
2). У кожному з цих проміжків виберемо довільне число Оѕ i так, що x i -1 ≤ Оѕ i ≤ x i ., і по кожному такому числу визначимо відповідне значення функції f (Оѕ i ). Обчислимо для кожного проміжку твір f (Оѕ i ) О”x i .
3). Складемо суму таких творів по всіх n проміжкам заданого відрізка:
f (Оѕ 1 ) О”x 1 + f (Оѕ 2 ) О”x 2 + f (Оѕ 3 ) О”x 3 + ... + f (Оѕ n ) О”x n =.
Така сума називається інтегральною сумою.
Побудова інтегральної суми полягає в довільному розподілі заданого відрізка [a, b] на часткові і довільному виборі числа Оѕ i на кожному відрізку.
4). Виконується дроблення кожного з на...
