ВІДДІЛ ОСВІТИ Гомельського міського
ВИКОНАВЧОГО КОМІТЕТУ
Державне установа освіти
В«Середня загальноосвітня школа № 22 м. Гомеля В»
Навчально-дослідницька робота
В«Обсяг фігур обертання правильних багатогранників В»
Учня 11 В«АВ» класу
ГУО ЗОШ № 22 м. Гомеля
Гончарова Дмитра Євгеновича
Науковий керівник -
Горський Сергій Михайлович,
вчитель математики Державного
установи освіти
ЗОШ № 22 м. Гомеля
Гомель, 2009
Зміст
Введення. Фігури обертання правильних багатогранників
1. Види поверхонь в фігурах обертання
2. Теорема про перетин гіперболічної і циліндричної поверхонь обертання
3. Класифікація задач на обертання багатогранників
4. Рішення задач на обертання багатогранників
Висновок
Список літератури
Введення
Кожне геометричне тіло має поверхню, і якщо вона складається з плоских багатокутників, то таке тіло називається багатогранником, а складові його поверхню багатокутники - гранями. Межі між гранями називаються ребрами, а точки, в яких ребра з'єднуються, - вершинами многогранника.
Таким чином, многогранники - це тіла, обмежені плоскими багатокутниками. Вони оточують нас всюди: адже найпопулярніша форма сучасного будівлі, телевізора, меблів - паралелепіпед. Наприклад, розглянемо
o Використання теорії правильних багатогранників в архітектурі
o Національна бібліотека в Мінську (Автори проекту будівлі - Михайло Виноградов та Віктор Крамаренко.)
o Перевернута піраміда - використана при побудові будівлі сучасного мистецтва в Каракасі (Архітектор Оскар Німейєр).
o Зірчасті многогранники - створення на їх основі проектів адміністративної будівлі в Італії та національної бібліотеки в Дамаску (В.А. Сомов, А.М. Бреславець, В.Н. Гамаюнов).
Об'єктом дослідження в даній дослідницькій роботі є постаті обертання правильних багатогранників. Предмет дослідження - обсяг тіл обертання.
Працюючи над темою, мені вдалося зібрати дивно цікавий матеріал про правильні многогранниках. Виявилося, що навіть таємниця світобудови пов'язана з цими п'ятьма правильними многогранниками.
В процесі дослідження були побудовані розгортки і моделі багатогранників, сформульовані і вирішені задачі на обчислення об'ємів фігур обертання.
Фігури обертання правильних багатогранників
Поверхностью обертання називають фігуру, яка виходить обертанням якої лінії.
Якщо для якийсь фігури існує пряма, будь-який поворот навколо якої поєднує фігуру саму з собою, то цю фігуру називають фігурою обертання. При цьому пряма, будь-який поворот навколо якої відображає фігуру саму на себе, називається віссю обертання.
Тілом обертання називають всяке геометричне тіло, яке є фігурою обертання.
Тіла обертання характеризуються лінією, яка при своєму обертанні відносно осі утворює поверхню тіла обертання. Цю лінію для даного тіла обертання називаю твірною.
1 . Види поверхонь у фігурах обертання
чином поверхонь обертання в задачах представлених в даній роботі служать ребра многогранника, тобто загальні сторони двох граней багатогранника.
При обертанні будь-якого багатогранника навколо довільної осі виходить тіло обертання, яке може бути обмежене тільки наступними поверхнями:
o площиною;
o циліндричної поверхнею;
o конічної поверхнею;
o поверхнею однополостного гіперболоїда.
Якщо пряма (Твірна поверхні) перпендикулярна осі обертання, то виходить площину.
Якщо пряма (Твірна поверхні) паралельна осі обертання, то виходить циліндрична поверхню.
Якщо пряма (Твірна поверхні) перетинає вісь обертання, то виходить конічна поверхню.
Якщо пряма (Твірна поверхні) схрещується з віссю обертання, то виходить однополостного гіперболоїда обертання.
Отже, якщо пряма (твірна поверхні) схрещується з віссю обертання, то виходить однополостного гіперболоїда обертання.
чином поверхні однополостного гіперболоїда в розглянутих задачах є ребра багатогранників, що лежать на прямих, схрещуються з віссю обертання.
2 . Теорема про перетин гіперболічної і циліндричної поверхонь обертання
Правильні многогранники можна вписати в сферу, тому всі завдання на обертання правильних багатогранників, містять пересічні поверхні обертання, задовольняють наступної теореми.
Теорема Монжа
Дві поверхні другого порядку, які стосуються третіх поверхні другого порядку по плоских кривих лініях, перетинаються між собою по плоских кривих лініях другого порядку.
Очевидно, що в розглянутих задачах на обертання правильних багатогранників лініями перетину поверхонь обертання є окружності.
Як зазначалося, фігури, отримані в результаті обертання багатогранника щодо довільної осі, обмежені лише такими видами поверхонь як:
o конічна поверхню,
o циліндрична поверхню,
o коло або кільце,
o однополостного гіперболоїд.
У завданнях 3.2 і 4.2 перетинаються поверхню однополостного гіперболоїда з циліндричною поверхнею. Створюючими цих поверхонь обертання є ребра багатогранників, які, будучи сторонами правильних многокутників з непарним числом сторін, несуть в собі цікаву закономірність щодо висот кожного виду зазначених поверхонь для фігури обертання.
Теорема. Якщо правильний багатокутник з непарним числом сторін обертається щодо осі, паралельної одній з його сторін і проходить через перпендикуляр до площини багатокутника в центрі його, то відстань до осі обертання лінії перетину однополостного гіперболоїда і циліндричної поверхні, створюючими яких є сторони багатокутника, дорівнює відстані від осі обертання до сторони багатокутника, паралельної цій осі.
3 . Класифікація завдань на обертання багатогранників
Правильний тетраедр - чотиригранник.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням тетраедра відносно осі, що проходить через його ребро, якщо ребро тетраедра дорівнює a.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням тетраедра відносно осі, що проходить через центр грані і протилежну вершину, якщо ребро тетраедра дорівнює a.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням тетраедра відносно осі, що проходить через середню лінію бічній грані, якщо ребро тетраедра дорівнює a.
Куб (або правильний гексаедр) - шестигранник
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням куба відносно осі, що проходить через протилежні вершини, якщо ребро куба дорівнює a.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням куба відносно осі, що проходить через середини його протилежних ребер, якщо ребро куба дорівнює a.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням куба відносно осі, що проходить через центри його протилежних граней, якщо ребро куба дорівнює a.
октаедр- восьмигранник
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням октаедра відносно осі, що проходить через протилежні вершини, якщо ребро октаедра одно a.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням октаедра відносно осі, що проходить через середини його протилежних ребер, якщо ребро октаедра одно a.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням октаедра відносно осі, що проходить через центри його протилежних граней, якщо ребро октаедра одно a.
4 . Рішення задач на обертання багатогранників
тетраедра
Задача 1.1.
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням тетраедра
