Міністерство освіти і науки України
Міністерство освіти і науки АР Крим
Мала академія наук школярів Криму В«ШукачВ»
Секція математики
Керченський міський філіал
Похідна і її застосування для вирішення прикладних задач
Роботу виконав:
Коваленко Олександр,
учень 11-Б класу
керченського навчально-виховного
комплексу загальноосвітньої
школи
I-II ступенів-морський технічний ліцей
Науковий керівник:
Герасимова Валентина Леонідівна,
вчитель математики,
вчитель-методист
КУВК ош - МТЛ
Керч 2008
Зміст
Введення
1. Похідна та її застосування для вирішення прикладних задач
1.1 Історичні відомості
1.2 Поняття похідної, її геометричний і фізичний зміст
1.3 Диференціал
2. Перелік прикладних задач
3. Приклади розв'язання прикладних задач
3.1 Дослідження функцій та побудова їх графіків.
3.2 Знаходження найбільшого і найменшого значення функції, рішення прикладних задач (задач на оптимум).
3.3 Визначення періоду функції
3.4 Знаходження наближених значень функції
3.5 Знаходження величини кута між прямими і кривими.
3.6 Розкладання на множники і спрощення виразів.
3.7 Обчислення суми
3.8 Порівняння чисел і доказ нерівностей
3.9 Рішення нерівностей
3.10 Доказ тотожностей
3.11. Рішення рівнянь
3.12 Рішення систем рівнянь
3.13 Відбір кратних коренів рівняння
3.14 Обчислення меж функції за допомогою правила Лопіталя
3.15 Рішення фізичних задач, пов'язаних з перебуванням швидкості, прискорення і т.д.
3.16 Рішення економічних задач
3.17 Розкладання функцій в ряд за допомогою формули Тейлора
3.18 Задача про лінеаризації функції
Висновок
Список літератури
Введення
З усіх теоретичних успіхів знання навряд
чи небудь вважається настільки високим три-
умфом людського духу, як винахід ис-
числення нескінченно малих в другій половині
XVII століття.
Ф. Енгельс
Тема дослідницької роботи вибрана не випадково, оскільки застосування похідної дозволяє більш ефективно вирішувати багато завдань підвищеної складності. Застосування похідної для розв'язування задач потребує від учнів нетрадиційного мислення. Слід зазначити, що знання нестандартних методів і прийомів рішення завдань сприяє розвитку нового, нешаблонного мислення, яке можна успішно застосовувати також і в інших сферах людської діяльність (Обчислювальна техніка, економіка, фізика, хімія і т.д.) Це доводить актуальність даної роботи.
Метою роботи було: вивчення застосування похідної для розв'язування задач з алгебри і початків аналізу, фізики, економіки; поглиблення і розширення знань по темі В«ПохіднаВ». При вивченні змінюються величин дуже часто виникає питання про швидкості, про швидкість відбувається зміни. Так ми говоримо про швидкість руху літака, поїзда, автобуса, ракети, про швидкість падіння каменя, обертання шківа і т.д. Можна говорити про швидкість виконання певної роботи, про швидкості протікання хімічної реакції, про швидкість зростання населення в даному місті. Про швидкість можна говорити по відношенню до будь величині, яка змінюється з часом. Для всього цього використовується поняття похідної.
Фізичні похідні величини:
П… (t) = Х / (t) - швидкість
a (t) = П… / (t) - Прискорення
J (t) = q / (t) - сила струму
C (t) = Q / (t) - теплоємність
d ( l ) = m / ( l ) - лінійна щільність
K (t) = l / (t) - коефіцієнт лінійного розширення
П‰ (t) = П† / (t) - кутова швидкість
а (t) = П‰ / (t) - кутове прискорення
N (t) = A / (t) - потужність
Диференціальне числення широко застосовується для економічного аналізу як математичний апарат. В економіці дуже часто потрібно знайти найкраще або оптимальне значення показника: найвищу продуктивність праці, максимальний прибуток, максимальний випуск, мінімальні витрати і т. д. Кожен показник являє собою функцію від одного або декількох аргументів. Таким чином, знаходження оптимального значення показника зводиться до знаходження екстремуму функції.
Похідна в економічних формулах:
П (t) = П… / (t) - продуктивність праці,
де П… (t) - обсяг продукції
J (x) = y / (x) - граничні витрати виробництва,
де y- витрати виробництва в залежності від обсягу продукції, що випускається x.
В роботі розглянуті прикладні завдання, способи вирішення яких можна використовувати для вирішення нестандартних завдань з алгебри і початків аналізу, при підготовці до державної підсумкової атестації, зовнішнього незалежного оцінюванню. Досить велике число завдань розкривають потенційні можливості аналізу нескінченно малих величин.
1. Похідна та її застосування для вирішення прикладних задач
1.1 Історичні відомості
Ряд завдань диференціального числення було вирішено ще в давнину. Вони зустрічалися у Евкліда. Ряд таких завдань було вирішене Архімедом, що розробив спосіб проведення дотичній, застосований ним до спіралі, але застосовний для інших кривих. Основне поняття диференціального числення - поняття похідної - виникло в XVII в. У зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і математики. Диференціальне числення було створено Ньютоном і Лейбніцем на основі двох завдань: 1) про розшук дотичній до довільної лініі2) про розшук швидкості при довільному законі двіженіяЕще раніше поняття похідної зустрічалося в роботах італійського математика Тартальї (близько 1500 - 1557 рр..) - Тут з'явилася дотична в ході вивчення питання про вугілля нахилу знаряддя, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. У 17 столітті на основі вчення Г. Галілея про рух активно розвивалася кінематична концепція похідної. Різні викладу стали зустрічатися в роботах у Декарта, французького математика Роберваля, англійського вченого Л. Грегорі. Великий внесок у вивчення диференціального обчислення внесли Лопіталя, Бернуллі, Лагранж, Ейлер, Гаус.
1.2 Поняття похідної, її геометричний і фізичний зміст
Поняття похідної
Нехай y = f (x) є безперервна функція аргументу x, визначена у проміжку (a; b), і нехай х 0 - Довільна точка цього проміжку
Дамо аргументу x прирощення О”x, тоді функція y = f (x) отримає прирощення О”y = f (x + О”x) - f (x). Межа, до якого прагне відношення О”y/О”x при О”x в†’ 0, називається похідною від функції f (x).
y '(x) =
Геометричний зміст похідної полягає в тому, що вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Розглянемо графік функції (мал.). Видно,
що, тобто це відношення дорівнює кутовому
коефіцієнту січної mm. Якщо, то січна,
повертаючись навколо точки М, в межі переходить в
<...
