Придністровський державний університет ім.Т.Г.Шевченка
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОДІВ
КУРСОВА РОБОТА
на тему: "Повторні і незалежні випробування. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності "
Виконав:
студент 303 групи
Рудницький Олександр
Петрович
Перевірив: зав. кафедрою
філософії
Граневского В.В.
Тирасполь, 2009
Зміст
1. Введення
2. Формула Бернуллі
3. Локальна формула Муавра-Лапласа
4. Формула Пуассона
5. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності
Список літератури
Додатка
1. Введення
При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із задачами, у яких одне і те ж випробування повторюється неодноразово. В результаті кожного випробування може з'явитися або не з'явитися деяка подія А, причому нас не цікавить результат кожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті серії дослідів. Наприклад, якщо проводиться група пострілів по одній і тій же меті, нас, як правило, не цікавить результат кожного пострілу, а загальне число влучень. У подібних завданнях потрібно вміти визначати ймовірність будь-якого заданого числа появ події в результаті серії дослідів. Такі завдання і будуть розглянуті. Вони вирішуються досить просто в випадку, коли випробування є незалежними.
Визначення. Випробування називаються незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату кожного з випробувань не залежить від того, які наслідки мали інші випробування.
Наприклад, кілька бросаний монети представляють собою незалежні випробування.
2. Формула Бернуллі
Нехай вироблено два випробування (n = 2). В результаті можливо наступ однієї з наступних подій:
Відповідні ймовірності даних подій такі:.
або - настання події тільки в одному випробуванні.
- імовірність настання події два рази.
- імовірність настання події тільки один раз.
- імовірність настання події нуль разів.
Нехай тепер n = 3. Тоді можливе настання одного з наступних варіантів подій:
.
Відповідні ймовірності рівні.
Очевидно, що отримані результати при n = 2 і n = 3 є елементами
і.
Тепер припустимо, вироблено n випробувань. Подія А може наступити n разів, 0 разів, n-1 раз і т.д. Напишемо подія, яке у настанні події А m раз
Необхідно знайти число випробувань, в яких подія А наступить m раз. Для цього треба знайти число комбінацій з n елементів, у яких А повторюється m разів, а nm разів.
- імовірність настання події А.
(1)
Остання формула називається формулою Бернуллі і являє собою загальний член розкладання:
.
З формули (1) видно, що її зручно використовувати, коли число випробувань не надто велике.
Приклади
№ 1 . Впадає монета 7 разів. Знайти ймовірність настання орла три рази.
Рішення.
n = 7, m = 3
.
№ 2. Кожен день акції корпорації АВС піднімаються в ціні або падають в ціні на один пункт з імовірностями відповідно 0,75 і 0,25. Знайти ймовірність того, що акції після шести днів повернуться до своєї первісної ціною. Прийняти умову, що зміни ціни акції вгору і вниз - незалежні події.
Рішення. Для того, щоб акції повернулися за 6 днів до своєї первісної ціною, потрібно, щоб за цей час вони 3 рази піднялися в ціні і три рази опустилися в ціні. Шукана ймовірність розраховується за формулою Бернуллі
№ 3. Мотори багатомоторних літаків виходять з ладу під час польоту незалежно один від іншого з вірогідністю р. Багатомоторний літак продовжує летіти, якщо працює не менше половини його моторів. При яких значеннях р двомоторний літак надійніше чотиримоторного літака?
Рішення. Двомоторний літак терпить аварію, якщо відмовляють обидва його мотора. Це відбувається з імовірністю р 2 . Чотиримоторний літак терпить аварію, якщо виходять з ладу всі 4 мотора а це відбувається з імовірністю р 4 , або виходять з ладу три мотори з 4-х. Імовірність останньої події обчислюється за формулою Бернуллі:. Щоб двомоторний літак був надійніше, ніж чотиримоторний, потрібно, щоб виконувалася нерівність
р 2 <р 4 +4 p 3 (1-p)
Це нерівність зводиться до нерівності (3р-1) (р-1) <0. Другий співмножник у лівій частині цього нерівності завжди негативний (за умовою завдання). Отже, величина 3р-1 повинна бути позитивною, звідки випливає, що повинна виконуватися умова р> 1/3. Слід зазначити, що якщо б ймовірність виходу з ладу мотора літака перевищувала одну третину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень була б дуже сумнівною.
№ 4. Бригада з десяти чоловік йде обідати. Є дві однакові столові, і кожен член бригади незалежно один від іншого йде обідати в будь-яку з цих їдалень. Якщо в одну з їдалень випадково прийде більше відвідувачів, ніж у ній мається місць, то виникає чергу. Яке найменше число місць повинно бути в кожній з їдалень, щоб ймовірність виникнення черги була менше 0,15?
Рішення. Рішення задачі доведеться шукати перебором можливих варіантів. Спочатку зауважимо, що якщо в кожній їдальні по 10 місць, то виникнення черги неможливо. Якщо в кожній їдальні по 9 місць, то черга виникне тільки у випадку, якщо всі 10 відвідувачів потраплять в одну їдальню. З умови задачі випливає, що кожен член бригади вибирає дану їдальню з імовірністю 1/2. Значить, всі зберуться в одній їдальні з імовірністю 2 (1/2) 10 = 1/512. Це число набагато меншою, ніж 0,15, і слід провести розрахунок для восьмимісних їдалень. Якщо в кожній їдальні по 8 місць, то черга виникне, якщо всі члени бригади прийдуть в одну їдальню, ймовірність цієї події вже обчислена, або 9 осіб підуть в одну їдальню, а 1 людина обере іншу їдальню. Імовірність цієї події розраховується з допомогою формули Бернуллі. Таким чином, якщо в їдальнях по 8 місць, то черга виникає з імовірністю 11/512, що поки ще менше, ніж 0,15. Нехай тепер у кожній з їдалень по 7 місць. Крім двох розглянутих варіантів, в даному випадку чергу виникне, якщо в одну з їдалень прийде 8 чоловік, а в іншу 2 людини. Це може статися з ймовірністю. Значить, в цьому випадку чергу виникає з ймовірністю 56/512 = 0,109375 <0,15. Діючи аналогічним чином, обчислюємо, що якщо в кожній їдальнею 6 місць, то черга виникає з імовірністю 56/512 +120/512 = 176/512 = 0,34375. Звідси отримуємо, що найменше число місць в кожній їдальні має дорівнювати семи.
№ 5. В урні 20 білих і 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожен вийнятий кулю повертають в урну перед витяганням наступного і кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що з чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білих.
Рішення. Подія А - дістали білу кулю. Тоді ймовірності
,.
За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
.
№ 6. Визначити ймовірність того, що в сім'ї, що має 5 дітей, буде не більше трьох дівчаток. Ймовірності народження хлопчика і дівчинки передбачаються однаковими.
Рішення. Імовірність народження дівчинки
, тоді.
Знайдемо ймовірності того, що в сім'ї немає дівчаток, народилася одна, дві або три дівчинки:
,,
,.
Отже, шукана ймовірність
.
№ 7. Серед деталей, оброблюваних робітникам, буває в середньому 4% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед узятих на випробування 30 деталей дв...
