Федеральне агентство з освіти Російської Федерації
Саратовський ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ Н. Г. Чернишевського
Кафедра комп'ютерної алгебри та теорії чисел
Основна теорема алгебри
Курсова робота
студента 1 курсу 121 групи механіко-математичного факультету
Батура Ірина Сергіївна
Науковий керівник Є.В. Коробченко, асистент
Зав. кафедрою В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., професор
САРАТОВ
2009
ЗМІСТ
1. Введення
2. Основні визначення, що використовуються в курсовій роботі
3. Елементи теорії меж для комплексних чисел
4. Доведення основної теореми
5. Список використаної літератури
1. ВСТУП
Дана робота присвячена Основною теоремою Алгебри, вивченню існування коренів в поле. Як припущення ця теорема вперше зустрічається у німецького математика Пітера Роут (1617г.). Д'Аламбер першим в 1746г. опублікував доказ цієї теореми. Його доказ грунтувалося на лемі. Доказ це було б абсолютно строгим, якби Д'Аламбер міг довести, щось на комплексній площині значення модуля многочлена досягає найменшого значення. У другій половині 18 століття з'являються докази Ейлера, Лапласа, Лагранжа та інших. У всіх цих доказах передбачається заздалегідь, що якісь "ідеальні" коріння багаточлена існують, а потім доводиться, що, принаймні, один з них є комплексним числом. З часів доведення теореми в алгебрі було відкрито дуже багато нового, тому сьогодні "основний" цю теорему назвати вже не можна: ця назва тепер є історичним.
Метою моєї роботи є виявлення, що поле комплексних чисел алгебраїчно замкнуто. Для доказу Основний теореми Алгебри я використовувала ряд лем: лема Даламбера і лема про досягнення точної нижньої грані значень.
При написанні роботи мною була використана наступна література: Д.К.Фадеев "Лекції з алгебри", Л.Д.Кудрявцев "Курс математичного аналізу". А.Г.Курош "Курс вищої алгебри".
2. Основні визначення, використовувані в курсовій роботі
Множини, задовольняють вимогам :1-операція додавання ,2-операція множення ,3-зв'язок операцій додавання і множення, і містять хоча б один елемент, відмінний від нуля, називається полями.
Безліч комплексних чисел можна визначити як безліч впорядкованих пар дійсних чисел,,, в якому введено операції додавання і множення згідно наступного визначення:
В результаті цього визначення безліч зазначених пар перетворюється в поле, тобто задовольняє умовами 1,2,3. Отримане таким чином поле, називається полем комплексних чисел.
Послідовність комплексних чисел - це функція, визначена на множині натуральних чисел і що має своїми значеннями комплексні числа.
Послідовність називається підпослідовність, якщо для будь-якого k існує таке натуральне, що =, причому Б тоді і тільки тоді, коли.
Комплексне число - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається. Будь комплексне число може бути представлене як формальна сума, де x і y-речові числа, i-уявна одиниця, тобто число, задовольняє рівнянню.
Речовий число (Дійсне число) - будь-яке позитивне число, негативне число або нуль.
Функція - 1) Залежна змінна величина; 2) Відповідність між змінними величинами, в силу якого кожного розглянутого значенню деякої величини x (аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення величини y (залежної змінної або функції в значенні 1).
Теорема Больцано-Вейєрштрасса: з будь обмеженої послідовності можна витягти сходяться підпослідовність.
Послідовність називається обмеженою на множині Е, якщо існує така постійна М> 0, що для всіх і всіх виконується нерівність
Послідовність сходиться до функції f рівномірно на безлічі Е, якщо для будь-якого існує такий номер, що якщо, то для всіх виконується нерівність. Послідовність називається рівномірно збіжної на безлічі Е, якщо існує функція f, до якої вона рівномірно сходиться на Є.
3. Елементи теорії меж для комплексних чисел
У моїй роботі поліноми розглядаються тільки над полями і як функції від комплексної або речової змінної, так що моя робота є скоріше главою математичного аналізу, а не алгебри, хоча теорема про існування кореня у будь-якого відмінного від константи полінома з комплексними коефіцієнтами (тобто встановлення алгебраїчної замкнутості поля) носить назву основної теореми алгебри.
Визначення: Нехай задана послідовність комплексних чисел. Число називається її межею, якщо для будь-якого дійсного числа існує такий номер, що при виконується нерівність. У цьому випадку пишуть lim, а = lim, b = lim. Граничне співвідношення lim = c рівносильно співвідношенню, бо
max
Послідовність така, що R, при деякому R, називається обмеженою.
Для речових змінних відома теорема Больцано-Вейєрштрасса: з будь обмеженою послідовності можна витягти сходяться підпослідовність. Те ж саме вірно і для послідовностей, складених з комплексних чисел.
Дійсно, нехай обмежена послідовність, тобто , Тоді, так що є обмежена послідовність дійсних чисел. З неї можна вибрати сходяться підпослідовність . Розглянемо відповідну підпослідовність уявних частин. Вона обмежена, і з неї можна витягти сходяться підпослідовність.
Відповідна підпослідовність комплексних чисел має сходяться послідовності речових і уявних частин і, отже, сходяться, і її межа дорівнює.
4. Доказ основної теореми
Перш ніж приступити до формального доказу, намітимо його ідею. Нехай-поліном, розглянутий як функція від комплексної змінної. Уявімо собі "графік" функції, вважаючи, що значення зображуються на горизонтальній площині, перпендикулярній до площини креслення, а значення відкладаються вгору в напрямку осі. Ми встановимо, що є безперервними функціями від на всій площині комплексної змінної. Функція від комплексної змінної називається безперервної в точці, якщо достатньо близьким до значеннями відповідає як завгодно близькі до значення. В більш точних термінах - для будь-якого знайдеться таке, що, як тільки.
Безперервність дає підстави уявляти собі графік у вигляді безперервної поверхні, що накриває площину, і місцями доходить до цієї площини. Власне кажучи, нам і потрібно довести, що існує таке значення, в якому, і, тим самим,, тобто що поверхня доходить до площини в точці. Ми доведемо, що якщо дана точка на поверхні, яка розташована вище площині, то в її околиці знайдеться точка поверхні розташована нижче даної точки. Тоді залишиться тільки довести, що на поверхні існує найнижча точка, скажімо, при. Вона не може знаходитися вище площини, бо тоді вона була б найнижчою точкою. Отже, і, отже, тобто корінь полінома.
Тепер приступимо до доказу основної теореми, розбивши це доказ на ланцюжок лем. ​​
Лемма 1. Дан поліном c нульовим вільним членом.
Тоді для будь-якого знайдеться таке, що, як тільки.
Доказ: Нехай. Тоді
Покладемо
Якщо
то
що й потрібно довести.
Лемма 2. Поліном є безперервна функція у всіх точках площини комплексної змінної.
Доказ: Нехай дано поліном і точка . Розташуємо поліном по ступенях
,
Тоді так що
Права частина є поліном від з нульовим вільним членом.
За лемі 1 для будь-якого знайдеться таке, що як тільки що й потрібно довести.
Лема 3. Модуль полінома є безперервна функція.
Доказ: З нерівності випливає, що для даного те, яке "обслуговує" , Підходить і для. Дійсно, при маємо
Лемма 4. (Про зростання модуля полінома). Якщо-поліном, відмінний від константи, то для будь-якого М> 0 існує таке R> 0, що M, як тільки.
Це означає, що будь-яка горизонтальна площина відрізає від поверхні кінцевий шматок, накриває частину круга | z | ≤ R.
Д...
