Дисципліна: В«Вища математика В»
Тема: В«Невласні інтеграли В»
1. Невласні інтеграли з нескінченними межами
При введенні поняття визначеного інтеграла, а також при розгляді задач, пов'язаних з ним, всі час робилося припущення, що область інтегрування конечна, а інтегрована функція на ньому неперервна. Якщо інтервал інтегрування нескінченний або функція в цьому інтервалі має точки розриву, то введене вище поняття визначеного інтеграла незастосовне. Проте існує цілий ряд завдань, коли виникає необхідність поширити поняття визначеного інтеграла на випадки нескінченних інтервалів інтегрування і розривних функцій.
Розглянемо спочатку випадок інтегралів з нескінченними межами. Нехай функція неперервна на проміжку. Отже, можна обчислити будь визначений інтеграл з верхньою межею. Величина цього інтеграла буде змінюватися в процесі зміни, але його можна буде обчислити до тих пір, поки кінцеве число. Як тільки верхня межа стане рівним нескінченності,-а інтегральна сума, приводить в межі до певного інтегралу, втратить сенс. Дійсно, в цьому випадку вже не можна буде ні задати, ні обчислити. Інакше кажучи, остання часткова трапеція при записі-ої інтегральної суми буде завжди мати нескінченно велике підставу і її площа обчислити звичайними методами не вдасться. У цьому випадку вихід з положення полягає в тому, що знаходиться не на нескінченності, а прагне до неї.
Визначення 1. Якщо існує кінцевий межа, то ця межа називається невласним інтегралом з нескінченним межею від функції і позначається .
Отже, за визначенням. У цьому і полягає метод обчислення таких інтегралів. Очевидно, що оскільки дане обчислення пов'язане із знаходженням межі, то відповідь може існувати чи ні.
Визначення 2. Якщо в несобственном інтегралі межа існує, то інтеграл називається збіжним, якщо межа не існує або дорівнює нескінченності, то інтеграл називається розбіжним .
Очевидно, з геометричної точки зору невласний інтеграл з нескінченними межами дорівнює площі необмеженої області, що лежить між віссю, кривої і прямої.
Аналогічним чином визначаються невласні інтеграли і для інших нескінченних інтервалів:
Слід підкреслити, що інтеграл існує тільки тоді, коли існує кожен з інтегралів і .
Зі сказаного вище випливає, що невласний інтеграл це не межа інтегральної суми, а межа визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування.
Розглянемо приклад обчислення невласного інтеграла з нескінченним межею, який, крім того, застосовується й при вирішенні інших завдань, про що буде сказано надалі.
Якщо, то, тому. Отже, в цьому випадку.
Якщо, то, тому і. Аналогічно, якщо, то.
Таким чином, сходиться, якщо і розходиться, якщо.
Невласні інтеграли з нескінченними межами мають місце, зокрема, у фізиці при обчисленні роботи по переміщенню матеріальної точки з масою з нескінченності в точку під дією сили тяжіння. Ця робота називається потенціалом сили тяжіння матеріальної точки при.
2. Невласні інтеграли від розривних функцій
Розглянемо тепер випадок, коли функція неперервна на проміжку, а в точці терпить розрив другого роду. У цьому випадку введення певного інтеграла на відрізку як межі інтегральної суми також неможливо. Справа в тому, що відрізок розбити на часткових відрізків можна, але в цьому випадку перша часткова трапеція буде мати нескінченну висоту і її площа обчислити неможливо. Однак, як і у випадку з нескінченним інтервалом інтегрування, тут також існує вихід. Необхідно шукати площу трапеції, лівий кінець підстави якої наближається до точки.
Визначення. Якщо існує кінцевий межа, то ця межа називається невласним інтегралом від розривної функції і позначається .
Отже, обчислення невласного інтеграла від розривної функції пов'язане із знаходженням межі:
.
Так само як і в попередньому параграфі, якщо ця межа існує, то інтеграл називається збіжним, якщо не існує або дорівнює нескінченності, то - розбіжним.
З геометричної точки зору невласний інтеграл від розривної функції дорівнює площі криволінійної трапеції, у якої в якійсь точці висота дорівнює нескінченності.
Якщо функція терпить розрив в точці, то
.
Якщо ж розрив відбувається в точці, тобто всередині, то в цьому випадку
.
В останньому випадку невласний інтеграл існує (або сходиться), якщо сходяться обидва інтеграла.
Так само як і невласний інтеграл з нескінченними межами, даний інтеграл теж не є межею-ої інтегральної суми, а межею визначеного інтеграла.
Як і в попередньому параграфі, розглянемо приклад, використовуваний при вирішенні інших завдань.
Якщо в цьому інтегралі, то і тому. Отже, в цьому випадку.
Якщо, то. У цьому випадку і інтеграл розходиться. Аналогічний результат виходить і в тому випадку, коли. Дійсно,
.
Таким чином, розглянутий інтеграл розходиться при та сходиться при.
3. Ознаки збіжності невласних інтегралів
Як було показано, невласні інтеграли сходяться не завжди. Отже, якщо їх обчислення громіздко, то бажано заздалегідь з'ясувати їх існування. Крім того, бувають випадки, коли невласний інтеграл взагалі немає необхідності обчислювати, а потрібно лише знати, сходиться він чи ні. У цьому випадку використовуються теореми про збіжності невласних інтегралів, засновані на порівнянні досліджуваного невласного інтеграла з відомими.
Теорема 1. Нехай функції і безупинні на проміжку і задовольняють нерівностям. Тоді,
1) якщо інтеграл сходиться, то сходиться і інтеграл;
2) якщо інтеграл розходиться, то розходиться і інтеграл .
Доводимо першу частину. З нерівностей, грунтуючись на властивостях невизначених інтегралів (властивість 5, п. 2), випливає, що
,
де. При збільшенні верхнього межі інтегрування значення обох інтегралів будуть безупинно рости, так як підінтегральна функція по умові теореми позитивні. Отже, величини обох інтегралів будуть функціями верхніх меж інтегрування. Перейдемо до границі в нерівностях, коли. Відповідно до властивості 6 (п. 3.5) нерівності при цьому не порушаться:
.
За умовою теореми сходиться, тобто. У інтеграла величина буде монотонно рости з ростом. Однак ця монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху числом. Отже,, тобто невласний інтеграл сходиться.
У другому випадку також із випливає, що. Але в цьому випадку за умовою розходиться, то є. Тоді і, тобто невласний інтеграл розходиться. Теорема доведена.
Для невласних інтегралів від розривних функцій існує аналогічна теорема.
Теорема 2. Нехай функції і безупинні на проміжку, задовольняють нерівностям і в точці одночасно терплять розрив другого роду. Тоді,
1) якщо сходиться, то сходиться також;
2) якщо розходиться, то розходиться і .
Доказ теореми 2 проводиться абсолютно так само, як і теореми 1. Нижче відповідні теореми збіжності для невласних інтегралів від розривних функцій формулювати не будуть.
Теорема 3. Якщо на проміжку функція змінює свій знак, то якщо сходиться, то сходиться і, при цьому другий інтеграл називається абсолютно збіжним .
Доказ. Розглянемо допоміжну функцію. Очевидно, що вона задовольняє нерівностям. Згідно з теоремою 1 з збіжності слід збіжність. Але тоді і. Отже, невласний інтеграл сходиться, що і вимагалося довести.
Аналогічна теорема має місце і для невласних інтегралів від розривних функцій.
Теорема 4. Якщо позитивні функції і безупинні на проміжку і при цьому, то обидва невласних інтеграла і поводяться однаково .
Дану теорему доводити не будемо. Аналогічна теорема існує і для невласних інтегралів від розривних функцій, але при обчисленні межі змінна прагне до точки розриву.
На закінчення відзначимо, що в якості відомих або еталонних функцій, що згадуються в теоремах, часто використовуються функції і проінтегрувати в прикладах параграфів 15 і 1
Література
1. Бугров Я.С., Нікольський С.М. ВИЩА МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії 8-е изд. Вид-во: ДРОФА, 2006. - 284 с.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. М., В«НаукаВ», 1986.
3. Лобоцький Н.Л. Основи вищої математики. Мінськ, В«Вища школаВ», 1973.
4. Мінорскій В.П. Збірник задач з вищої математики.
5. Мироненко Е.С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109 с.
6. Нікольський С.М., Бугров Я.С. ВИЩА МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Диференціальне та інтегральне числення 8-е изд. Вид-во: ДРОФА, 2007. - 509 с.
7. Олійник С.М. Математичний аналіз в задачах і вправах. Невласні інтеграли і ряди Фур'є. Вид-во: Факторіал Прес, 1998. - 488c.
8. Черненко В.Д. Вища математика в прикладах і задачах. У трьох томах. ПОЛІТЕХНІКА, 2003.
