Курсова робота з математики
Нестандартні задачі з математики
Студент: Ігнатьєва Ольга Михайлівна
фізико - математичний факультет 4 курс
Науковий керівник: Емельченков Євген Петрович
СГПУ
2001
1 . Інваріанти
Інваріантом деякого перетворення або системи дій називається величина (або властивість), залишається постійною при цьому перетворенні.
Нерідко зустрічаються задачі, в яких запитується, чи можна в результаті деяких дій отримати той чи інший результат. Основним методом вирішення подібних завдань є знаходження властивості вихідного об'єкта, яке не змінюється після виконання таких дій, - це і є інваріант. Якщо кінцевий об'єкт завдання не володіє знайденим властивістю, то він, очевидно, не може бути отриманий в результаті цих дій з вихідного об'єкта .
Полуінваріант - величина, що змінюється тільки в одну сторону (тобто яка може тільки збільшуватися або тільки зменшуватися). Поняття полуінваріанта часто використовується при доказах зупинки процесів.
1. Є квадратна таблиця 10х10, в клітини якої в послідовному порядку вписані натуральні числа від 1 до 100: у перший рядок - числа від 1 до 10, у другу - від 11 до 20 і т. д. Доведіть, що сума S будь-яких 10 чисел таблиці, з яких ніякі два не стоять в одному рядку і ніякі два не стоять в одному стовпці, постійна. Знайдіть цю суму.
Рішення.
Позначимо доданок вихідної суми S з першого рядка через а1, з другий - через 10 + а2, з третьої - через 20 + а3 і т. д., нарешті, з десятої - Через 90 + А10.
Тут кожне з натуральних чисел а1, а2, ..., А10 укладено в межах від 1 до 10, причому ці числа попарно різні, так як, якщо б, наприклад, а1 = а2, то числа а1 і 10 + а2 стояли б в одному стовпці таблиці. Отримуємо:
S = а1 + (10 + а2) + (20 + а3) + ... + (90 + А10) =
= (10 + 20 + ... + 90) + (а1 + а2 + ... + А10) =
= 450 + (а1 + а2 + ... + А10).
Оскільки числа а1, а2, ..., А10 попарно різні і приймають всі цілі значення від 1 до 10, то кожне з натуральних чисел від 1 до 10 входить в суму а1 + а2 + ... + А10 в якості доданка рівно один раз. Отже,
а1 + а2 + ... + А10 = 1 + 2 +3 + ... + 10 = 55,
S = 450 + 55 = 505.
Сума S і є інваріантом: якщо в ній одні доданки замінити іншими, але так, щоб всі доданки нової суми стояли в таблиці в різних рядках і в різних стовпцях, сума прийме, теж саме значення.
Відповідь: 505.
2. На кожній клітині шахової дошки 8х8 написали вироб-ведення номера рядка, в якій розташована клітина, на номер її стовпця. Вибрали 8 клітин, з яких жодні дві не стоять в одному рядку і ніякі дві не стоять в одному стовпці. Доведіть, що добуток чисел, написаних у цих клітинах, постійно, і обчисліть його.
3. Аркуш паперу розірвали на 5 шматків, деякі з цих шматків розірвали на 5 частин, а деякі з цих нових частин розірвали ще на 5 частин і т. д. Чи можна таким шляхом отримати 1994 шматка паперу? А 1997?
Рішення.
При кожному розриванні аркуша або одного шматка паперу на 5 частин загальне число шматків збільшується на 4. Тому число шматків паперу на кожному кроці може мати тільки вид 4k + 1 (k-
натуральне число). Це вираз і є інваріантом.
Так як 1994 не можна представити у вигляді 4k + 1, то число шматків, рівне 1994, вийти не може, а 1997 = 4k + 1 при k == 499, отже, 1997 шматків вийти можуть.
4. Є два аркуші картону. Кожен з них розрізали на 4 шматки, деякі з цих шматків розрізали ще на 4 шматки і т. д. Чи можна таким шляхом отримати 50 шматків картону? А 60?
5. Кожне натуральне число від 1 до 50000 замінюють числом рівним сумі його цифр. З отриманими цифрами проробляють ту ж операцію, і так поступають до тих пір, поки всі числа не стануть однозначними. Скільки разів серед цих однозначних чисел зустрінеться кожне з цілих чисел від 0 до 8?
Рішення.
Зазначені однозначні числа в послідовному порядку такі: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, ....
Ця закономірність зберігається і далі. У самому справі, при заміні натурального числа сумою його цифр залишок від ділення числа на 9 залишається незмінним, тому при переході від кожного натурального числа до наступного залишок від ділення числа на 9 збільшується на 1 або перескакує від 8 до 0. Для того щоб дізнатися, скільки таких груп цифр по 9 цифр у кожній, розділимо 50000 на 9 із залишком: 50000 = вересні 5555 + 5.
Отже, таких груп 5555. Ще одну, неповну групу утворюють останні 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Відповідь: 1, 2, 3, 4, 5 - по 5556 разів, 6, 7, 8, 0 - 5555 разів.
6. На дошці написані числа 1, 2, 3, ..., 125. Дозволяється стерти будь-які два числа і написати замість них залишок від ділення суми цих чисел на 11. Після 124 таких операцій на дошці залишилося одне число. Яке це число?
7. Перший член послідовності дорівнює 1, а кожний Наступного, починаючи з другого, виходить додатком до попереднього члену суми його цифр. Чи може в цій послідовності зустрітися число 765432?
8. Коло розбитий на 6 рівних секторів, в кожному з яких варто по одній шашці. Одним ходом дозволяється будь-які дві шашки пересунути в сусідні сектори, причому так, щоб одна шашка рухалася за годинниковою стрілкою, а інша - проти. Чи можна за кілька таких ходів зібрати всі шашки в одному секторі.
9. Коло розбитий на 6 рівних секторів, в яких розставлені цифри 0, 1, 2, 0, 2, 1 (у зазначеному порядку). Дозволяється за один хід одночасно додавати одне і те ж число до двох що стоять поруч числах. Чи можна за кілька таких ходів домогтися того, щоб всі 6 чисел, що стоять в секторах були рівні?
Рішення.
Нехай на деякому кроку в секторах виявилися в послідовному порядку числа а1, а2, а3, а4, а5, а6. Складемо таку суму: S = а1 - а2 + а3 - а4 + а5 - а6.
Після кожного ходу вона не змінюється, так як кожна з різновидів а1 - а2, а3 - а4, а5 - а6 при збільшенні зменшуваного та від'ємника на одне і те ж число зберігає своє значення; отже, вона є інваріантом. Але в початковому положенні S = 0 - 1 + 2 - 0 + 2 - 1 = 2, а в кінцевому, коли кожне з шести чисел дорівнює одному й тому числу, S = 0. Тому зробити рівними всі шість чисел не можна.
Відповідь: не можна.
10. У вершинах опуклого шестикутника записані числа 8, 3, 12, 1, 10, 6 (у зазначеному порядку). За один хід дозволяється к4 будь-яким двом числах в сусідніх вершинах додати одне і те ж число. Чи можна за кілька таких ходів отримати в послідовному порядку шістку чисел 5, 2, 14, 6, 13, 4?
11. Дано чотири числа 3, 4, 5, 6. За один хід дозволяється написати чотири нових числа, замінивши кожне з вихідних чисел середнім арифметичним трьох інших. Доведіть, що за кілька таких ходів не можна отримати набір 1, 3, 5, 8.
12. У кожній клітині дошки 5 х 5 сидить жук. У деякий момент всі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітини. Доведіть, що після цього залишиться принаймні одна порожня клітка.
13. На диво-яблуні ростуть банани та ананаси. За один раз дозволяється зірвати з неї два плоди. Якщо зірвати два банани або два ананаса, то виросте ще один ананас, а якщо зірвати один банан і один ананас, то виросте один банан. У результаті залишився один плід. Який це плід, якщо відомо, скільки бананів і ананасів росло спочатку?
Рішення.
Парність числа бананами не змінюється, якщо число бананів було парних, то залишився плід ананас, якщо число бананів було непарним, то - банан.
14. На прямій стоять дві фішки: зл...
