ЗМІСТ
ВСТУП
1 ІСТОРИЧНА ДОВІДКА
2 РІШЕННЯ ЗАДАЧ З ВИКОРИСТАННЯМ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЇ
2.1 Використання монотонності функції
2.2 Використання обмеженості функції
2.3 Використання періодичності функції
2.4 Використання парності функції
2.5 Використання ОДЗ функції
3 ДЕЯКІ ШТУЧНІ СПОСОБИ РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ
3.1 Множення рівняння на функцію
3.2 Вгадування кореня рівняння
3.3 Використання симетричності рівняння
3.4 Дослідження рівняння на проміжках дійсної осі
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ДОДАТОК
ВСТУП
Не всяке рівняння або нерівність у результаті перетворень або за допомогою вдалою заміни змінної може бути зведене до рівняння (нерівності) того чи іншого стандартного виду, для якого існує певний алгоритм рішення. У таких випадках іноді виявляється корисним використовувати інші методи рішення, мова про які і піде в ході даної роботи. Вище сказане визначає актуальність курсової роботи. Об'єкт дослідження - рівняння і нерівності, не піддаються вирішенню за допомогою стандартних методів, або відрізняються громіздкістю стандартного рішення.
Метою даної роботи є ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей.
Для досягнення поставленої мети в даній роботі вирішувалися наступні завдання:
1. Зібрати відомості з історії математики про рішення рівнянь.
2. Розглянути і застосувати на практиці методи розв'язання рівнянь і нерівностей, засновані на використанні властивостей функції.
3. Розглянути і застосувати на практиці додаткові нестандартні методи розв'язання рівнянь і нерівностей
Практична значущість роботи полягає в тому, що не завжди при вирішенні складних рівнянь або нерівностей слід йти по В«накатаній коліїВ», намагаючись знайти рішення В«в лоб В»: досить лише поглянути на нього і знайти зачіпку, що дозволяє уникнути складних обчислень і перетворень. Курсова робота складається з вступу, трьох розділів та списку використаних джерел. У першому розділі наведені деякі відомості з історії математики про рішення рівнянь. У другій главі розглянуті методи рішення, засновані на використанні властивостей функції. Третя глава присвячена розгляду додаткових (штучних) методів рішення.
1 ІСТОРИЧНА ДОВІДКА
Рівняння і системи рівнянь математики вміли вирішувати дуже давно. У В«АрифметиціВ» грецького математика з Олександрії Діофанта (III в.) ще не було систематичного викладу алгебри, однак у ній містився ряд завдань, що вирішуються за допомогою складання рівнянь. Є в ній така задача:
В«Знайти два числа по їх сумі 20 і творові 96 В». [16]
Щоб уникнути вирішення квадратного рівняння загального вигляду, до якого приводить позначення одного з чисел буквою і яке тоді ще не вміли вирішувати, Діофант позначав невідомі числа 10 + х і 10-х (у сучасній записи) і отримував неповне квадратне рівняння 100-х 2 = 96, для якого вказував лише позитивний корінь 2.
Завдання на квадратні рівняння зустрічаються в працях індійських математиків вже з V ст. н. е..
Квадратні рівняння класифікуються в трактаті В«Коротка книга про числення алгебри і алмукабалиВ» Мухаммеда аль-Хорезмі (787 - бл. 850). У ньому розглянуті та вирішені (в геометричній формі) 6 видів квадратних рівнянь, що містять в обох частинах тільки члени з позитивними коефіцієнтами. При цьому розглядалися тільки позитивні коріння рівнянь.
У роботах європейських математиків XIII - XVI ст. даються окремі методи вирішення різних видів квадратних рівнянь. Злиття цих методів в загальне правило справив німецький математик Міхаель Штіфель (1487 - 1567), який розглядав уже й негативні коріння.
У найвідомішому російському підручнику В«АрифметикаВ» Леонтія Пилиповича Магницького (1669-1739) було чимало завдань на квадратні рівняння. Ось одна з них:
В«Якийсь генерал хоче з 5000 чоловік баталію учинити, і щоб та була в особі вдвічі, ніж в стороні. Колико она баталія буде мати в особі і в стороні? В», тобто скільки солдатів треба поставити по фронту і скільки їм у потилицю, щоб число солдатів по фронту було в 2 рази більше числа солдатів, розташованих їм В«в потилицюВ»?
У древневавілонского текстах (3000 - 2000 років до н. е..) зустрічаються і завдання, які вирішуються тепер за допомогою систем рівнянь, що містять і рівняння другого ступеня. Наведемо одну з них:
В«Площі двох своїх квадратів я склав: 25 . Стороні другого квадрата дорівнює боку першого і ще 5 В».
Відповідна система в сучасній запису має вигляд:
Цю задачу вавілонський автор вирішує правильно методом, який ми тепер називаємо методом підстановки, але він ще не користувався алгебраїчною символікою.
У XVI в. французький математик Франсуа Вієт (1540 - 1603), служив шифрувальником при дворі французького короля, вперше ввів літерні позначення не тільки для невідомих величин, але і для даних, тобто коефіцієнтів рівнянь. Ф. Вієт для позначення нерозшифрованих букв в донесеннях супротивника використовував рідкісні букви латинського алфавіту х, у і z, що й поклало початок традиції позначати невідомі в рівняннях буквами х, у і z. Особливо цінував Вієт відкриті ним формули, які тепер називаються формулами Вієта. Однак сам Вієт визнавав тільки позитивні коріння.
Лише в ХVII в. після праць Декарта, Ньютона та інших математиків рішення квадратних рівнянь прийняло сучасний вигляд.
Повернемося в початок XVI в. Тоді професор математики болонського університету Сципіон дель Ферро (1465-1526) вперше знайшов алгебраїчне рішення рівняння третього ступеня виду
x 3 + px = q, (1)
де р і q - числа позитивні.
Це відкриття, за звичаями того часу, професор тримав у суворій таємниці. Про нього знали лише два його учні, в тому числі якийсь Фіоре. Приховування математичних відкриттів тоді було звичайним явищем, так як в Італії практикувалися математичні диспути-поєдинки. На багатолюдних зборах супротивники пропонували один одному завдання для вирішення на місці або в певний термін. Найчастіше це були задачі з алгебри, яку називали тоді великим мистецтвом. Перемагав той, хто вирішував більше завдань. Переможець не тільки нагороджувався славою і призначеним грошовим призом, але і міг зайняти університетську кафедру, а потерпілий поразку часто втрачав займане місце. Ось чому учаснику диспуту було важливо володіти невідомим іншим алгоритмом рішення деяких завдань.
Після смерті професора дель Ферро його учень Фіоре, який сам не був глибоким математиком, викликав на публічний диспут одного з найвизначніших математиків того часу Нікколо Тарталья (1499-1557). Готуючись до диспуту, Тарталья відкрив формулу для знаходження коренів кубічних рівнянь в радикалах, оскільки передбачав, що Фіоре вже володів цією формулою. Пізніше Тарталья писав: В«Я доклав усіх свою старанність, старанність і уменье, щоб знайти правило для вирішення кубічних рівнянь, і, завдяки благословенній долі, мені вдалося це зробити за 8 днів до терміну В».
Диспут відбувся 20 лютого 1535 Тарталья протягом двох годин вирішив 30 завдань, запропонованих йому супротивником, а Фіоре не зміг вирішити жодної з 30 завдань, запропонованих Тарталья. Після диспуту Тарталья став знаменитим у всій Італії, але продовжував тримати відкриту формулу в секреті.
Інший італійський математик Джерол. але (1501 - 1576) дізнався від Тартальї правило розв'язання кубічного рівняння (1) і дав В«священну клятвуВ», що нікому не розкриє цієї таємниці. Правда, Тарталья лише частково розкрив свою таємницю, але Кардано, познайомившись з рукописами покійного професора дель Ферро, одержав повну ясність у цьому питанні. У 1545 р. Кардано опублікував знаменитий свою працю В«Про великому мистецтві, або про алгебраїчних речах, в одній кн...
