Поліноми Чебишева » Українські реферати
Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Поліноми Чебишева

Реферат Поліноми Чебишева

Категория: Математика

Зміст

Введення

Інтерполяція многочленами

Методи інтерполяції Лагранжа і Ньютона

Сплайн-апроксимація

Метод найменших квадратів

Поліноми Чебишева

Практичне завдання


Введення

Припустимо, задана функція y (x), це означає, що будь-якому допустимому значенню х зіставлять значення у. Але іноді виявляється, що знайти це значення дуже важко. Наприклад, у (х) може бути визначено як рішення складної задачі, в якій х грає роль параметра або у (х) вимірюється в дорогому експерименті. У цьому випадку можна обчислити невелику таблицю значень функції, але пряме знаходження цієї функції при великому числі значень аргументу буде практично неможливо. Функція у (х) може існувати в яких-небудь фізико-технічних або математичних розрахунках, де її необхідно буде багаторазово обчислювати. У цій ситуації зручно замінити функцію у (х) наближеною формулою, тобто підібрати деяку функцію j (х), яка наближається в деякому розумінні до у (х) і просто обчислюється. Потім при всіх значеннях аргументу вважати, що у (х) "j (х)

Основна частина класичного чисельного аналізу грунтується на наближенні многочленами, тому як з ними легше працювати. Однак для більшості цілей використовуються інші класи функцій.

Вибравши значущі точки і клас функцій, що наближають, нам необхідно ще вибрати одну певну функцію з цього класу за допомогою якогось критерію - Деякої міри наближення або "рівності". До того як почати обчислення, ми повинні вирішити також, яку точність нам треба у відповіді і який критерій ми вибираємо для вимірювання цієї точності

Все викладене вище можна сформулювати у вигляді чотирьох питань:

Які значущі точки ми будемо використовувати?

Який клас функцій, що наближають буде нами використаний?

Який критерій згоди-"рівності" ми застосуємо?

Яка точність нам необхідна?

Існують три групи функцій, які широко застосовуються в чисельному аналізі. Перша група включає в себе лінійні комбінації функцій 1, х, х 2, ..., х n, що збігається з класом усіх многочленів ступеня n (або менше). Другий клас - Включає в себе функції cos aix, sin ai x. Цей клас має безпосереднє відношення до рядів Фур'є і інтегралу Фур'є. Третя група утворена функціями e - Az. Ці функції часто зустрічаються в реальних ситуаціях, до них, наприклад, часто призводять завдання накопичення і розпаду. Що стосується критерію згоди або "рівності", то класичним критерієм згоди є "точний збіг в значущих - Вузлових точках ". Цей критерій має перевагами простоти теорії і виконання обчислень, але він також має незручність через ігнорування шуму (похибки, виникає при вимірюванні або обчисленні значень в значущих (вузлових) точках). Інший досить хороший критерій - є "найменші квадрати". Це означає, що сума квадратів відхилень у вузлових точках повинна бути найменшою можливою або, іншими словами, наведена до мінімуму. Цей критерій використовує неточну інформацію, щоб отримати найменшу кількість шуму. Третій критерій безпосередньо пов'язаний з ім'ям Чебишева. Основна ідея його полягає в тому, щоб привести максимальне відхилення до мінімуму. Звичайно, можуть бути можливі й інші критерії

Більш точно відповісти на поставлені нами чотири питання можна лише виходячи з умов і мети кожної задачі окремо.


Інтерполяція многочленами

Мета завдання про наближення (інтерполяції): цю функцію у (х) необхідно приблизно замінити деякою функцією j (х), властивості якої нам відомі так, щоб відхилення в заданої області було мінімальним. Інтерполяційні формули застосовуються, в першу чергу, при заміні графічно заданої функції аналітичної, а також для інтерполяції в таблицях

Методи інтерполяції Лагранжа і Ньютона

Один з підходів до задачі інтерполяції - метод Лагранжа. Ідея цього методу є в тому, щоб в першу чергу знайти многочлен, який приймає значення 1 в одній вузловій точці і 0 у всіх інших. Легко можна побачити, що функція є необхідним многочленом ступеня n, який дорівнює 1, якщо x = xj і 0, коли x = x i, i № j. Многочлен L j (x) Ч yj приймає значення yi в i - ї вузловій точці і дорівнює 0 у всіх інших вузлах. З чого випливає, що мається многочлен ступеня n, проходить через n +1 точку (xi, yi)

Інший підхід - метод Ньютона (метод розділених різниць). Цим методом можна отримати аппроксимирующие значення функції без побудови в явному вигляді апроксимуючого полінома. В результаті чого отримуємо формулу для полінома P n, апроксимуючу функцію f (x):

P (x) = P (x 0) + (xx 0) P (x 0, x 1) + (xx 0) (xx 1) P (x 0, x 1, x 2) + ... +

(xx 0) (xx 1) ... (x - xn) P (x 0, x 1, ..., xn);

розділена різниця 1-го порядку;

розділена різниця 2-го порядку і т. д

Значення P n (x) у вузлах збігаються зі значеннями f (x)

Фактично формули Лагранжа і Ньютона породжують один і той же поліном, різниця є тільки в алгоритмі його побудови


Сплайн-апроксимація

Ще один метод апроксимації - сплайн-апроксимація - відрізняється від поліноміальної апроксимації Лагранжем і Ньютоном. Сплайном називається функція, яка разом з кількома похідними неперервна на відрізку [a, b], а на кожному приватному інтервалі цього відрізка [xi, xi +1] окремо є деяким многочленом невисокого ступеня. В даний час використовують кубічний сплайн, тобто на кожному локальному інтервалі функція наближається до Поліни третього порядку. Труднощі такий апроксимації пов'язані з низьким ступенем полінома, тому сплайн погано апроксимується з великою першої похідної. Сплайна інтерполяція може нагадувати лагранжевого тим, що вимагає тільки значення у вузлах, але не її похідних

Метод найменших квадратів

Припустимо, що потрібно замінити деяку величину та робиться n вимірів, результати яких рівні xi = x + ei (i = 1, 2, ..., n), де ei - це помилки (чи шум) вимірів, а х - дійсне значення. Метод найменших квадратів стверджує, що найкраще наближене значення є таке число, для якого мінімальна сума квадратів відхилень від:

Один з найбільш частих випадків застосування цього методу полягає в тому, що наявні n спостережень (xi, yi) (i = 1, 2, ..., n) потрібно наблизити многочленом ступеня m

y (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a m x m

Обчислена крива у (х) в деякому розумінні створює складне безліч значень у i. Метод найменших квадратів стверджує, що слід вибирати многочлен, який призводить функцію до мінімуму

Для знаходження мінімуму диференціюємо по кожній з невідомих a k. В результаті отримаємо:

Визначник цієї системи відмінний від нуля і завдання має єдине рішення. Але система ступенів не ортогональна, і при великих значеннях n задача погано обумовлена.

Цю трудність можна обійти, використовуючи многочлени ортогональні із заданою вагою на заданій системі точок, але до цього вдаються тільки в задачах, пов'язаних з особливо ретельної статичної обробкою експерименту

Поліноми Чебишева

Критерії згоди даного методу - мінімізація максимальної помилки Поліноми Чебишева визначаються таким чином: T n (x) = cos (n Ч arccos (x))

Наприклад: T 0 (x) = cos (0) = 1, T 1 (x) = cos (q) = x,

T 2 (x) = cos (2 q) = cos 2 (q) - sin 2 (q) = 2x 2 - 1

Можна було б і далі використовувати тригонометричні співвідношення для знаходження поліномів Чебишева будь-якого порядку, але буде краще встановити для них рекурентне співвідношення, що зв'язує T n +1 (x), T n (x) і T n - 1 (x):

T n +1 (x) = cos (nq + q) = cos (nq) cos (q) - sin (nq) sin (Q),

T n-1 (x) = cos (nq - q) = cos (nq) cos (q) - sin (nq) sin (Q)

Складаючи ці нерівності, отримаємо:

T n +1 (x) + T n - 1 (x) = 2 cos (nq) cos (q) = 2 xT n (x);

T n +1 (x) = 2xT n (x) - T n-1 (x)

Застосовуючи отримані формули можна знайти будь поліном Чебишева. Наприклад, Т 3 (x) = 2 xT 2 (x)...


Страница 1 из 2Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Товары
Наверх Зворотнiй зв'язок