Граничні теореми. Характеристичні функції
1. Теорема Чебишева
Теорія ймовірностей вивчає закономірності масових випадкових явищ. Якщо явище носить одиничний характер, то теорія ймовірностей не може передбачити результат події.
Інша річ, коли явище - Масове. Закономірності проявляються саме при великому числі випадкових подій, що відбуваються в однорідних умовах.
При великому числі випробувань характеристики випадкових подій і випадкових величин практично мало змінюються, тобто стають невипадковими. Ця обставина дозволяє використовувати результати спостережень над випадковими явищами для передбачення результатів майбутніх випробувань.
Надалі ми ознайомимося з двома типами граничних теорем: законом великих чисел і центральною граничною теоремою. Закон великих чисел відіграє дуже важливу роль в практичному застосуванні теорії ймовірностей до явищ природи і технічним процесам, пов'язаних з масовим виробництвом.
Для доказу цих теорем скористаємося нерівністю Чебишева.
Нехай m x і D x - математичне очікування і дисперсія випадкової величини Х.
Тоді нерівність Чебишева говорить: ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування буде за абсолютною величиною не менше будь-якого позитивного числа, обмежена величиною, тобто
Доказ. Нехай Х - неперервна випадкова величина з щільністю розподілу ймовірностей f (x). За визначенням
(1)
Виділимо на числовій осі інтервал АВ, що складається з точок
А У
х
Так як під інтегралом в (1) знаходиться ненегативна величина, то, викинувши з інтервалу інтегрування відрізок АВ, ми значення інтеграла не збільшимо, тобто
Так як тепер , то
Звідси безпосередньо і випливає нерівність Чебишева.
Якщо Х - дискретна випадкова величина, то доказ нерівності Чебишева проводиться по виконаній вище схемою з тією лише різницею, що замість інтеграла треба записати суму.
Так як
,
то нерівність Чебишева можна записати в іншому вигляді
Якщо взяти, то отримаємо, що нерівність Чебишева дає оцінку
,
що свідомо виконується, тому ймовірність
З іншого боку, якщо взяти, то
,
тобто дає непогану оцінку. Таким чином, ми бачимо, що нерівність Чебишева корисно лише щодо (відносно s х ) великих
Теорема Чебишева. При необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини, що мають кінцеву дисперсію, сходиться по ймовірності до її математичному очікуванню.
Визначення. Випадкові величини сходяться по ймовірності до величини а, якщо для, починаючи з якого виконується нерівність або, по іншому, якщо для будь-якого малого
Отже, потрібно довести, що для будь-якого малого
Доказ. Введемо випадкову величину
Знайдемо числові характеристики випадкової величини Y, користуючись їхніми властивостями:
Тепер застосуємо нерівність Чебишева до випадкової величиною Y:
Оскільки за умовою D x обмежена, то
Перш ніж сформулювати центральну граничну теорему введемо характеристичні функції.
2. Характеристичні функції
Характеристичні функції є одним із способів опису випадкових величин, зручним при вирішенні багатьох задач теорії ймовірностей.
Нехай є речова випадкова величина Х. Введемо комплексну випадкову величину W по наступному закону:
де.
характеристичні функцією g (t) випадкової величини Х називається математичне сподівання випадкової величини W, тобто
Знаючи закон розподілу випадкової величини Х, завжди можна знайти її характеристичну функцію g (t).
Для дискретної випадкової величини Х з законом розподілу
Таблиця 1
Х
х1
х2
...
хn
Р
p1
p2
...
pn
характеристична функція
Для неперервної випадкової величини з щільністю розподілу ймовірностей f (x) характеристична функція
є перетворенням Фур'є щільності розподілу f (x). За допомогою зворотного перетворення Фур'є можна знайти щільність розподілу
Для того, щоб ці формули можна було застосовувати потрібно, щоб
Як приклад знайдемо характеристичну функцію нормованої гауссовсокой випадкової величини. Випадкова величина Х називається нормованою, якщо її числові характеристики m x = 0 і D x = 1. Щільність розподілу ймовірності нормованої гауссовской випадкової величини має вигляд:
За визначенням маємо
(2)
Після перетворення
і заміни в інтегралі
z = x - jt
співвідношення (2) приймає вид
але так як
то
Таким чином, характеристична функція з точністю до постійного множника збігається з щільністю розподілу.
2.1 Властивості характеристичної функції
1. Характеристична функція g (t) речовинна тоді і тільки тоді, коли f (x) - парна функція. Причому g (t) також парна. Це випливає з властивостей перетворення Фур'є.
2. Якщо випадкові величини Х і Y зв'язані співвідношенням
Y = aX,
де а - постійний множник, то
g y (t) = g x (at).
Доказ.
3. Характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добутку характеристичних функцій.
Доказ. Нехай Х 1 , Х 2 , ... , Х n - незалежні випадкові величини з характеристичними функціями g x 1 (t), g x 2 (t), ... , G xn (t).
Знайдемо характеристичну функцію
Маємо:
Так як випадкові величини незалежні, то незалежні і випадкові величини, тому
Використовуючи апарат характеристичних функцій можна показати, що випадкові величини Z = X + Y (Z - носить назву композиції), де X, Y незалежні випадкові величини мають біномінальні розподіл або розподіл Пуассона, або нормальний розподіл також підкоряються відповідно біномного розподілу, законом Пуассона, нормальному закону.
3. Центральна гранична теорема
Теорема. Якщо випадкові величини Х 1 , Х 2 , ... , Х n взаємно незалежні і мають один і той же закон розподілу f (x) і
то при необмеженій збільшенні n закон розподілу суми необмежено наближається до нормального.
Вона може бути сформульована в більш загальному випадку. Закон розподілу ймовірностей суми незалежних випадкових величин однакового порядку при необмеженому збільшенні доданків незалежно законів розподілу доданків прагне до нормальному закону з щільністю ймовірностей
де
Доказ використовує апарат характеристичних функцій, представляючи і розкладаючи функцію g x (t) в ряд Макларена. Далі, роблячи нормировку випадкової величини Y n , тобто заміну показується, що
Приклад. Складаються 24 незалежних випадкових величини, кожна з яких підпорядкована рівномірному закону на інтервалі (0, 1).
Написати наближене вираження для щільності суми цих випадкових величин. Знайти ймовірність того, що сума буде укладена в межах від 6 до 8.
Рішення. Нехай де Х i - рівномірно розподілені випадкові величини. Випадкова величина Y задовольняє центральної граничної теоремі, тому її щільність розподілу
Так як Х i - рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1), то
Отже,
Підставимо отримані значення у формулу щільності ймовірності випадкової величини Y:
Значить
