ТЕМА
Випадкове ВЕЛИЧИНА
1 Випадкове величина. Функція розподілу віпадкової величини
Зіставімо шкірних елементарних подію конкретного випробування з Деяк числом. Наприклад, розглянемо випробування, Що полягає в підкіданні монети. Маємо простір елементарних подій - множини з двох можливости Рівно ймовірніх НАСЛІДКІВ випробування: w 1 - віпадання "решки" та w 2 - віпадання герба. Введемо до Розгляд функцію x = f (w), Що візначається за формулами: f (w 1 ) = 0, f (w 2 ) = 1. Це - числова функція (випадкові величина), Яка поклади від випадка. Позначімо її через:
Для значень, якіх у результаті випробувань Може Рівно ймовірно набуваті функція, застосуємо символи та. Відповідно з Нашою угідь, смороду дорівнюють
и
У загально випадка задовільної віпадкової величини позначатімемо її однією з грецьк літер x, h, ..., а значення, якіх вон набуває літерами латинської Абетки: х, y, ..... Відповідність Між цімі значення та ймовірностямі, з якімі їх набуває така функція, Зручний задаті у вігляді табл. 1, Що назівається законом розподілу діскретної віпадкової величини:
Таблиця 1
...
...
У випадка зазначеної конкретної віпадкової величини, пов'язаної з віпадінням сторін підкінутої монети, табл. 1 конкретізується у вігляді табл. 2:
Таблиця 2
0 </b>
1
1/2
1/2
Цю закономірність можна кож наочно представіті на площині xOy, розмістівші на горізонтальній осі значення І, а на вертікальній осі, Що доцільно Було перемістіті з її традіційного положення - відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції Складається Тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горізонтальної осі функція взагалі принципова НЕ визначена.
Ще більш наочно закон розподілу діскретної віпадкової величини зображається спеціфічною функцією
Що назівається функцією розподілу віпадкової величини.
Малюнок 1
У відповідності з її визначенням, вон Дає в точці x ймовірність того, Що Випадкове величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для віпадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складаний Вигляд Із різнімі представлені на різніх інтервалах
На рис. 2 наведено її графік з двома неусувнімі розриву 1-го роду.
Малюнок 2
Розглянемо Ще один приклад Введення віпадкової величини. Нехай є мішень - коло радіуса а, влучення до Якого гарантовано. Як Випадкове величину, Що позначімо як, візьмемо відстань від центру мішені до точки влучення. Ймовірність того, Що ця Випадкове величина набуває різніх значення r від нуля до а, обчіслюється за формулою геометрічної ймовірност:
При цьому функція розподілу
графік якої зображено на рис. 3, має Вигляд
Малюнок 3
Модіфікуємо попередній приклад: нехай всередіні кола радіуса а, влучення до Якого гарантовано, проведено два концентрічні кола (рис. 4) з радіусамі a/3 і 2a/В залежності від відстані точки влучення від центра мішені Стрілець одержує 10, 5 чі 1 бал, відповідно.
Малюнок 4
За Випадкове величину, Що позначімо як, візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можліві значення: 10, 5, 1. Обчіслімо ймовірності віпадків Прийняття ціх значення завбільшки
,
,
При цьому закон розподілу віпадкової величини має Вигляд табл. 3:
Таблиця 3
1
5
10
5/9
1/3
1/9
За ЦІМ законом розподілу віпадкової величини знаходимо функцію її розподілу та Будуємо її графік (рис. 5).
Малюнок 5
Властивості функції розподілу:
1. F (x) - неубутна функція. Дійсно, ЯКЩО x 1 2 (рис. 6).
Малюнок 6
F (x 1 ) 2 );
2. F (+ ВҐ) = 1; F (- ВҐ) = 0; F (+ ВҐ) = P (x <ВҐ) = 1;
P (- ВҐ
P (a ВЈ x x (b) - F x (a ).
ЯКЩО функція розподілу в деякій точці x = а має неусувній розрив 1-го роду - стрібок на величину р, (рис. 7) то Р (x = а) = р.
Малюнок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b В® a +0.
P (x = а) =.
Найбільш Важливим типами Випадкове величин є діскретні и неперервні віпадкові величини, які Будуть розглянуті більш доповідні.
2 Дискретна Випадкове величина
Випадкове величина назівається дискретні, ЯКЩО її можліві значення можна перенумеруваті.
Нехай х 1 , х 2 , ..., х n - Можліві Значення діскретної віпадкової величини в порядку зростання.
Віпадкові Події [x = x 1 ], [x = x 2 ], ... [x = x n ] утворять повну систему елементарних подій. При цьому
,
Закон розподілу діскретної віпадкової величини можна задаті таблиці (табл. 1) чі геометрично - точками на площіні (x i , p i ); або Ламанов, Що з'єднує ці точки та назівається багатокутніком розподілу (рис. 8):
Малюнок 8
Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу
F x (x) = P (x
або
де
Її графік наведено на рис. 9
Малюнок 9
Як видно з рис. 9, функція розподілу діскретної віпадкової величини є кусково неперервно. У точці х i вон зростає на величину. При цьому
.
3 Найважлівіші закони розподілу дискретних Випадкове величин
Біноміальній Розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з якіх подія А відбувається або НЕ відбувається. Ймовірність появи Події А в шкірному віпробуванні постійна І не Поклади від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:
Р (А) = р;.
Як Випадкове величину, Якові позначімо, розглянемо кількість появ Події А у n випробуваннях. Чи не Важко перевіріті, Що ймовірність появи Події візначається формулою Бернуллі у вігляді
; (1)
де - кількість сполучень з елементів по (1).
Відповідній цїй формулі закон розподілу віпадкової величини назівається біноміальнім, ТОМУ ЩО Його коефіцієнті збігаються з коефіцієнтамі членів розкладання бінома Ньютона (p + q) n (Табл. 4).
Таблиця 4
x n
0
1
|
