Зміст
Введення
1.Крівие другого порядку
1.1 Еліпс
1.2 Гіпербола
1.3 Парабола
2.Теореми, пов'язані з кривих другого порядку
Література
Введення
Вперше криві другого порядку вивчалися одним з учнів Платона. Його робота полягала в наступному: якщо взяти дві пересічні прямі і обертати їх навколо бісектриси кута, ними утвореного, то вийде конусна поверхня. Якщо ж перетнути цю поверхню площиною, то в перерізі виходять різні геометричні фігури, а саме еліпс, коло, парабола, гіпербола і кілька вироджених фігур.
Однак ці наукові знання знайшли застосування лише в XVII, коли стало відомо, що планети рухаються по еліптичних траєкторіях, а гарматний снаряд летить по параболічної. Ще пізніше стало відомо, що якщо додати тілу першу космічну швидкість, то воно буде рухатися по колу навколо Землі, при збільшенні цієї швидкості - по еліпсу, а по досягнення другої космічної швидкості тіло по параболі покине поле тяжіння Землі.
1. Криві другого порядку
Кривий 2-го порядку називається лінія на площині, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
де a, b, c, d, e, f - речові коефіцієнти, причому a2 + b2 + c2 в‰ 0.
Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів:
інваріанти щодо повороту і зсуву системи координат:
</p>
інваріант відносно повороту системи координат (полуінваріант):
Багато важливих властивості кривих другого порядку можуть бути вивчені за допомогою характеристичної квадратичної форми, відповідної рівнянню кривої:
Так, наприклад, невироджена крива виявляється речовим еліпсом, уявним еліпсом, гіперболою або параболою в залежності від того, чи буде позитивно певної, негативно певної, невизначеною або полуопределенной квадратичною формою, що встановлюється по корінню характеристичного рівняння:
Або
О»2 - IО» + D = 0.
Коріння цього рівняння є власними значеннями речовій симетричної матриці і, як наслідок цього, завжди речовинні:
Криві другого порядку класифікуються на невироджені криві і вироджені.
Доведено, що крива 2-го порядку, що визначається цим рівнянням належить до одного з наступних типів: еліпс, гіпербола, парабола, пара прямих (пересічних, паралельних або співпадаючих), точка, порожня множина.
Іншими словами, для кожної кривої 2-го порядку (для кожного рівняння) існує така система координат, в якій рівняння кривої має вигляд:
1.1 Еліпс
еліпса називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок площині, званих фокусами еліпса, є величина постійна. Відрізки, що сполучають точку еліпса з фокусами, називаються фокальними радіусами точки.
Якщо еліпс описується канонічним рівнянням
де a> 0, b> 0, a> B> 0 - велика і мала півосі еліпса, то фокуси еліпса розташовані симетрично на осі абсцис і мають координати (-c, 0) і (c, 0), де
Величина e = c/a називається ексцентриситетом еліпса.
За визначенням еліпса r1 + R2 = 2a, r1 і r2 - фокальні радіуси, їх довжини обчислюються за формулами
Якщо фокуси еліпса збігаються, то еліпс є окружністю.
1.2 Гіпербола
гіпербола називається крива другого порядку, яка в деякій декартовій системі координат описується рівнянням
де a> 0, b> 0 - параметри гіперболи.
Це рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи, а система координат, в якій гіпербола описується канонічним рівнянням, називається канонічною.
У канонічній системі осі координат є осями симетрії гіперболи, а початок координат - її центром симетрії.
Точки перетину гіперболи з віссю OX (В± a, 0) називаються вершинами гіперболи.
З віссю OY гіпербола не перетинається.
Відрізки a і b називаються півосями гіперболи.
Рис.1
Прямі ay - bx = 0 і ay + bx = 0 - асимптоти гіперболи, при видаленні точки гіпербли в нескінченність, відповідна гілка гіперболи наближається до однієї з асимптот.
Рівняння описує гіперболу, вершини якої лежать на осі OY в точках (0, В± b).
Рис.2
Така гіпербола називається сполученої до гіперболи її асимптоти - ті прямі ay - bx = 0 і ay + bx = 0. Кажуть про пару спряжених гіпербол.
1.3 Парабола
Параболою називається крива другого порядку, яка в деякій декартовій системі координат описується рівнянням
y2 = 2 px
де p> 0 - параметр параболи.
Таке рівняння називається канонічним рівнянням параболи, а система координат, в якій парабола описується канонічним рівнянням, називається канонічною.
У канонічній системі вісь абсцис є віссю симетрії параболи, а початок координат - її вершиною.
Рис.3
Рівняння y2 = -2 px, x2 = 2 py, і x2 = -2 py, p> 0, в тій же самій канонічної системи координат також описують параболи:
2. Теореми, пов'язані з кривими другого порядку
Теоремма Паскамля - ​​теорема проективної геометрії, яка свідчить, що:
Якщо шестикутник вписаний в окружність або будь-яке інше конічний перетин (еліпс, параболу, гіперболу, навіть пару прямих), то точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній прямій. Теорема Паскаля двоїста до теоремі Бріаншона.
Теорема Бріаншона є класичної теоремою проективної геометрії. Вона сформулюйте наступним чином:
Якщо шестикутник описаний близько конічного перетину, то три діагоналі, що сполучають протилежні вершини цього шестикутника, проходять через одну точку.
Зокрема, в виродженням випадку:
Якщо сторони шестикутника проходять почергово через дві дані точки, то три діагоналі, що з'єднують його протилежні вершини, проходять через одну точку.
Теорема Бріаншона двоїста до теоремі Паскаля, а її вироджений випадок двоїстий до теоремі Паппа.
Література
1. Корн Г., Корн Т. Криві другого порядку (конічні перетини)// Довідник з математики. - 4-те видання. - М: Наука, 1978. - С. 64-69.
2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристична квадратична форма і характеристичне рівняння// Довідник з математики. - 4-те видання. - М: Наука, 1978. - С. 64.
3. В.А. Ільїн, Є.Г. Позняк. Аналітична геометрія, гл. 6. М.: "Наука", 1988.
