Федеральне агентство за освітою
ГОУ ВПО В«Красноярський державний педагогічний університет ім. В.П. Астаф'єва
Факультет математики та інформатики
Кафедра математичного аналізу та методики її викладання
Курсова робота
по математичного аналізу на тему
В«циклоїдиВ»
Виконала студентка 43 групи
Ковальчук М.В.
Науковий керівник
доцент кафедри мат. аналізу і мп
Шатохіна М.П
Красноярськ 2010
Зміст
1. Введення
2. Історичні відомості
3. Основні властивості циклоїди
4. Побудова циклоїди
5. Геометричне визначення циклоїди
6. Параметричне рівняння циклоїди і рівняння в декартових координата
7. Завдання на знаходження частин циклоїди і фігур, утворених циклоїдою
8. Висновок
Література
Введення
Крива циклоїда дуже цікава для вивчення, проте не так просто знайти літературу їй присвячену. У більшості таких джерел циклоїда згадується тільки побіжно або розглядається не досить повно. Однак вона використовується при вирішенні різних завдань. В увазі того, що в школах вводиться поглиблене вивчення математичних дисциплін, в незабаром може знадобитися докладна інформація про різних кривих, в тому числі і про циклоїди. Так само завдання пов'язані з циклоїдою зустрічаються і в фізиці і в вищій математиці. Тому я порахувала дану тему актуальною і цікавою для вивчення. </p>
Мета роботи: описати основні властивості циклоїди, привести рішення геометричних задач, пов'язаних з циклоїдою.
1. Історичні відомості
Першим хто став вивчати циклоїди, був Галілео Галілей (1564-1642) _ знаменитий італійський, астроном, фізик і просвітитель. Він же і придумав назву В«циклоїдаВ», що значить: В«нагадує про колоВ». Сам Галілей про циклоїди нічого не писав, але про його роботах в цьому напрямку згадують учні та послідовники Галілея: Вівіані, Торічеллі та інші.
Великий античний філософ - В«батько логікиВ» - Арістотель з Стагири (384-322 роки до н. е..), займаючись логічним обгрунтуванням поняття руху, розглядав, між іншим, наступний парадокс.
рис. 1
Нехай гурток, зображений на рис. 1 жирною лінією, котиться по прямій АВ. Коли гурток цей зробить повний оборот, точка М повернеться на пряму АВ та займе положення М х . При цьому, як ми знаємо, відрізок ММ Х буде дорівнює довжині В«жирноїВ» окружності. Розглянемо накреслений гурток з центром О, зображений тонкою лінією. Коли точка М прийде в положення М 1 цей маленький гурток теж зробить повний оборот і його точка До прийде в положення До 1 . При цьому в кожен момент часу якась одна єдина точка маленької окружності поєднується з єдиною же крапкою відрізка КК 1 . Кожній точці кола відповідає єдина точка відрізка і кожній точці відрізка - єдина точка окружності. Тому напрошується висновок: довжина маленької В«тонкоїВ» кола дорівнює довжині відрізка КК 1 - ММ 1 т. е. дорівнює довжині великої (В«жирноїВ») окружності. Отже, круги різних радіусів мають окружності однакової довжини! У цьому й полягає парадокс Аристотеля.
Помилка тут в наступному. З того, що кожній точці кола радіуса ОК відповідає єдина точка відрізка КК 1 зовсім не випливає, що довжина цієї окружності дорівнює КК 1 . Так, наприклад, на рис. 2 точки відрізка АВ наведені за допомогою променів, що проходять через точку D, під В«взаємно однозначнаВ» відповідність з точками вдвічі більшого відрізка РЄ, але нікому в голову не прийде стверджувати, що відрізки АВ і РЄ мають однакову довжину! Це ж відноситься не тільки до відрізкам прямих, але і кривих ліній. Парадоксу Аристотеля можна надати наступну, більш грубу, а тому і більш ясну форму: розглянемо дві концентричні кола (рис. 3). На них В«порівнуВ» точок: відповідні точки з'єднані на рис. 3 прямими лініями (радіусами). І все ж ніхто не стане стверджувати, що довжини цих окружностей однакові.
рис 2 рис. 3
Аристотель розглядав саме той рух, який через 1900 років призвело Галілея до відкриття циклоїди; але він не зацікавився кривими, які викреслюються точками окружності котиться кола.
На самому початку XVII століття юний Галілей намагався експериментально перевірити свою здогадку про те, що вільне падіння - рівноприскореного руху. Коли він переніс спостереження з Пізанської вежі в лабораторії, йому стало дуже заважати те, що тіла падають В«занадто швидкоВ». Щоб уповільнити цей рух, Галілей вирішив замінити вільне падіння тіл їхньої рухом по похилій площині, припустивши, що і воно буде рівноприскореному. Проводячи ці досліди, Галілей звернув увагу на те, що в кінцевій точці величина швидкості тіла, скотився по похилій площині, не залежить від кута нахилу площини, а визначається тільки висотою H і збігається з кінцевою швидкістю тіла, вільно впало з тієї ж висоти (як ви добре знаєте, в обох випадках | v М„ | = Вивчивши руху по похилих площинах, Галілей перейшов до розгляду руху матеріальної точки під дією сили тяжкості по ламаним лініям. Порівнюючи часи руху по різним ламаним, з'єднує фіксовану пару точок А і В , Галілей помітив, що якщо через ці дві точки А, В провести чверть окружності і вписати в неї дві ламані М і L , такі, що ламана L В«вписанаВ» в ламану М, то матеріальна точка з А в В швидше потрапляє по ламаній М, ніж по ламаній L. Збільшуючи у ламаної число ланок і переходячи до межі, Галілей отримав, що по чверті кола, що з'єднує дві задані точки, матеріальна точка спуститься швидше, ніж по будь вписаною в цю чверть окружності ламаної. З цього Галілей зробив нічим не аргументований висновок, що чверть окружності, з'єднує пару заданих точок А, В (які не лежать на одній вертикалі), і буде для матеріальної точки, що рухається під дією сили тяжіння, лінією найшвидшого спуску (пізніше лінію найшвидшого спуску стали називати брахістохроной). Згодом з'ясувалося, що це твердження Галілея було не тільки необгрунтованим, але й помилковим.
Властивості дотичної і нормалі до циклоїди були вперше викладені Торічеллі (1608-1647) в його книзі В«Геометричні роботиВ» (1644 рік). Торічеллі використовував при цьому додавання рухів. Дещо пізніше, але повніше, розібрав ці питання Роберваля (псевдонім французького математика Жілль персон, 1602-1672). У 1634 році Роберваля-обчислив площу, обмежену аркою циклоїди і її підставою. Властивості дотичної до циклоїди вивчав також Декарт; він виклав свої результати, не вдаючись до допомоги механіки.
2. Основні властивості циклоїди
Визначення циклоїди, введене раніше, ніколи не задовольняло вчених: адже воно спирається на механічні поняття - швидкості, додавання рухів і т. д. Тому геометри завжди прагнули дати циклоїди чисто геометричне визначення В»Але для того, щоб дати таке визначення, потрібно перш за все вивчити основні властивості циклоїди, користуючись її механічним визначенням. Вибравши найбільш просте і характерне із цих властивостей, можна покласти його в основу геометричного визначення.
Почнемо з вивчення дотичній і нормалі до циклоїди. Що таке дотична до кривої лінії, кожен уявляє собі досить ясно; точно визначення дотичній дається в курсах вищої математики, і ми його наводити тут не будемо. нормаль називається перпендикуляр до дотичної, восставленний в точці дотику. На рис. 16 зображена дотична і нормаль до кривої АВ в її точці М
Розг...
