Гомелькая науково-практична конференція учнів з природничо-наукових напрямках "Пошук"
Державна установа освіти
"Гімназія імені Я. Купали"
Навчально-дослідницька робота
Фігури постійної ширини. Трикутник Рело
Учня 11 класу
Гімназії імені Я.Купали
Кутуева Володимира В'ячеславовича
Науковий керівник - вчитель
математики вищої категорії
Гімназії імені Я.Купали
Чак Олена Миколаївна
Мозир
Зміст
Введення
1. Діаметр фігури
2. Фігури постійної ширини
3. Криві постійної ширини і їх властивості
4. Трикутник Рело
4.1 Історичні відомості
4.2 Обрис чотирикутника
4.3 Рух вершини і центру трикутника Рело
4.4 Площа трикутника Рело
5. Застосування трикутника Рело
5.1 Застосування в деяких механічних пристроях
5.2 Застосування в автомобільних двигунах
5.3 Застосування альтернативних видів палива РПД
5.4 Застосування трикутника Рело в грейферні механізми в кінопроекторах
Висновок
Література
Введення
Питання розгляду та дослідження характерних точок і ліній трикутників виникла, як з наукової цікавості, так і з чисто практичних цілей. Якщо в стародавні часи найбільш широко застосовувався на практиці прямокутний трикутник Піфагора, то в наш час найбільший інтерес викликають незвичайні властивості трикутника Рело (Reuleaux Franz, 1829-1905).
Моя робота присвячена розгляду основних властивостей фігур постійної ширини. Взагалі, мало хто знає, що таке діаметр, ширина фігури. Може здатися, що коло є єдиною опуклою фігурою, у якої ширина в будь-якому напрямку одна і та ж: вона дорівнює діаметру кола. Однак це не так: існує безліч фігур постійної ширини, тобто таких опуклих фігур, у яких у всіх напрямках ширина однакова. Найпростішим прикладом є трикутник Рело. У своїй роботі я доводжу, що з усіх фігур постійної ширини трикутник Рело має найменшу площа.
Мета моєї роботи - вивчити основні властивості фігур постійної ширини, історію винаходу, розглянути області застосування фігур постійної ширини і вивчити їх властивості, довести, що з усіх фігур постійної ширини трикутник Рело має найменшу площу.
Для цього поставлено такі завдання .
Г? Познайомитися з історією винаходу;
Г? Розглянути і вивчити властивості фігур постійної ширини;
Г? Довести, що з усіх фігур постійної ширини трикутник Рело має найменшу площу;
Г? Виявити і розглянути відкриті проблеми і завдання, пов'язані з трикутником Рело;
Г? З'ясувати області застосування трикутника Рело.
Для реалізації мети та завдань дослідження я використовував наступні методи: Теоретичний аналіз літератури з досліджуваної теми. Доказ, що з усіх фігур постійної ширини трикутник Рело має найменшу площу. Розглянути практичне технічне застосування фігур постійної ширини.
Тепер докладніше про трикутник Рело. У цієї фігури є загальні властивості з колом, але присутні і свої, наприклад, обрис чотирикутника. Траєкторії руху точки на окружності і точки на вершині трикутника Рело різні, хоча у обох присутній циклоїда. Траєкторія геометричного центру трикутника також не пряма, а трохоіда.
Трикутник Рело знайшов своє застосування в свердлі Уаттса, висвердлюють квадратне отвір, в грейферні механізми Перший кінопроектор. На основі трикутника Рело Ф. Ванкель сконструював роторно-поршневий двигун. Цей двигун має безліч переваг перед звичайним двигуном внутрішнього згоряння, хоча є і свої мінуси. Перший автомобіль з цим двигуном випустили (NSU Prince) випустили в середині 60-х років, а зараз роторно-поршневий двигун встановлюють на деякі моделі Mazda. В СРСР теж розробляли роторно-поршневі двигуни, але у нас вони не набули розвитку з багатьох причин. В Англії має форму кривої постійної ширини, побудованої на семикутники.
1. Діаметр фігури
Розглянемо коло діаметра d . Відстань між будь-якими двома точками М і N цього кола (рис.1) не перевершує d . В той же час можна знайти дві точки А і В нашого кола, видалені один від одного в точності на відстань d .
Розглянемо тепер замість кола якусь іншу фігуру. Що можна назвати "діаметром" цієї фігури?
Сказане вище наводить на думку назвати діаметром фігури найбільшу з відстаней між її точками. Інакше кажучи, діаметром фігури F (рис. 2) називається таке відстань d , що, по-перше, відстань між якими двома точками М і N фігури не перевершує d , і, по-друге, можна відшукати у постаті F хоча б одну пару точок А, В, відстань між якими в точності дорівнює d .
Нехай, наприклад, фігура F представляє собою півколо (рис.3).
Позначимо через А і В кінці обмежує його півкола. Тоді ясно, що діаметром фігури F є довжина відрізка АВ . Взагалі, якщо фігура F представляє собою сегмент, обмежений дугою l і хордою а, то в разі, коли дуга l не перевершує півкола, діаметр фігури F дорівнює а (тобто довжині хорди); у разі ж, коли дуга l більше півкола, діаметр фігури F збігається з діаметром всього кола.
Зрозуміло, що якщо F представляє собою багатокутник, то його діаметром є найбільша з відстаней між вершинами. Зокрема, діаметр будь-якого трикутника дорівнює довжині його найбільшої сторони. Наведене визначення діаметра фігури неявно припускає, що кожна розглянута "фігура" являє собою замкнутий безліч (тобто до фігури зараховуються всі її граничні точки). Наприклад, якщо F - відкритий круг діаметру d (тобто коло, до якого не зараховуються точки обмежує його окружності), то точна верхня грань відстаней між двома точками фігури F дорівнює d ; проте в цьому випадку не існує двох точок фігури F , відстань між якими в точності дорівнює d . Якщо ж ми зарахуємо до фігури F всі граничні точки (тобто будемо розглядати замкнене коло), то ця верхня грань буде досягатися: знайдуться дві точки А і В , відстань між якими дорівнює d .
2. Фігури постійної ширини
Нехай F - обмежена опукла фігура і l - деяка пряма. Проведемо до фігури F дві опорні прямі, паралельні l (опорна пряма - пряма, що має хоча б одну спільну точку з фігурою F і вся фігура F розташована по одну сторону від l ).
Відстань h між цими двома опорними прямими називається шириною фігури F в напрямку l .
Неважко укласти, що висота рівностороннього трикутника є його найменшої шириною, а його сторона - найбільшою шириною. У кола ширина в будь-якому напрямку одна і та ж: вона дорівнює діаметру кола.
Існує нескінченна безліч фігур постійної ширини , тобто таких опуклих фігур, у яких у всіх напрямках ширина однакова. Найпростішим прикладом такої фігури є трикутник Релло , зображений на рис.6. Він являє собою перетин трьох кіл радіуса h , центри яких знаходяться у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною h .
Взагалі, якщо F - правильний багатокутник з непарним числом вершин і h
